把握命题方向 提升备考质量

2024年云南省初中学业水平考试数学学科的试题，以《义务教育数学课程标准》（2022年版）为依据，结合云南省初中数学教学实际，在知识覆盖面的广度、能力考查的深度及对数学本质特征的精准把握上均展现出显著优势，突出数学学科素养，坚持素养立意，凸显育人导向.以核心素养为导向的考试命题关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养，稳中求进，变中有新，打破固化，以考促学，以教促学，以评促学，着力引导教学，实现“教—学—评”一体化.试题的具体变化如下：

变化点1：反对常规思维，持续调整试题结构

新课标颁布以来，连续三年的云南省初中数学学业水平考试试题结构不断调整.2022年云南省初中学业水平考试数学学科的试题结构是全卷三个大题，共24个小题，满分120分，其中选择题12题，每题4分，共48分;填空题6题，共24分;解答题6题，共48分.2023年云南省初中学业水平考试数学学科的试题结构是全卷三个大题，共24个小题，满分100分，其中选择题12题，每题3分，共36分;填空题4题，共8分;解答题8题，共56分.2024年云南省初中学业水平考试数学学科的试题结构是全卷三个大题，共27个小题，满分100分，其中选择题15题，每题2分，共30分;填空题4题，共8分;解答题8题，共62分.新课标理念下的云南省初中数学学业水平考试试卷打破了以往的常规思维和结构模式，灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序，有助于打破考生机械应试的套路，打破教学中僵化、固定的训练模式，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力，引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力，灵活地整合知识解决问题.试卷中基础知识考查占70%左右，中档题占20%左右，难题占10%左右，梯度设置非常好.

【变化解读】从2022年开始，云南省初中学业水平考试数学学科试题的填空题和选择题不再设置有一定难度的压轴题，对学生十分友好，考查的均是最基础的知识，确保得分率和整卷的及格率，有难度的试题仅控制在10分，适当控制满分人数.2025年的云南省初中学业水平考试数学学科的试题结构将与2024年的试题结构保持一致，但题型内部还将进一步优化，试题还将进一步提高及格率，难度为7∶2∶1，命题风格也会与2024年的试题相似.

【备考建议】教学应坚持以基础知识为主，确保学生基础题稳拿分，中等题少丢分，难题尽量得点分.重视基础概念和基本技能，深入理解并透彻掌握课本内容，特别是要细致研究每个单元的基础知识部分、例题，以及思考题，这是精准把握云南省初中数学学业水平考试命题趋势与方向的关键所在.

变化点2：打破固有形式，不断凸显育人价值

例1 （2024年第23题）为使考生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”.某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等;八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等.记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y.

（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数;

（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P.

例2 （2023年第20题）甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种.记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C.假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等.记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y.

（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数;

（2）求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P.

【变化解读】优化问题情境设计，增强数学应用能力的考查是2024年云南省初中学业水平考试数学试题的一个特点.近几年的概率试题均以社会热点事件或贴近学生生活的场景为背景设置，考查学生对统计思想、概率意义的理解，以及运用列举法求概率方法的掌握，特别是今年的概率问题，选材新颖，增强应用，打破随机事件的抽取元素固有的形式.2023年的概率试题两次抽取的元素完全相同，而2024年的概率试题设置了体验“有一种叫云南的生活”这一热门又真实的情境，设计了七年级和八年级抽取的元素中部分相同.这样抽取元素的方式与往届试题相对比，是创新的，关键是既能让试题答题过程简化，还能有效考查学生对概率本质的理解.同样的考点，今年这种情境，明年那种情境，今年这样问，明年那样问，标新而不立异，交叉而不偏离，年年创新，常考常新.这些试题设问科学，注重创新，关注日常生活实际情况和国家前沿科学技术发展.设计有特色、有背景、有价值的实际问题，考查了学生的应用意识和创新意识，有助于培养学生的创新思维、实践能力和综合素养，凸显数学学科育人价值，使学生更好地适应未来社会的发展需求，是今后命题的趋势.

【备考建议】在数学课堂教学中，教师应面向全体考生，踏实做好基础知识的教学工作，注重创设真实情境，创新问题设置，指导学生善于抓住数学的本质和核心，强化基本概念和基本性质的落实，切实抓好基本技能、基本思想方法、基本活动经验的教学.

变化点3：摒弃套路模式，秉持思维过程考查

例3 （2024年第24题）如图1，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形;

（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长.

例4 （2023年第22题）如图2，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF.

（1）求证：四边形AECF是菱形;

（2）若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4，求平行线AB与DC间的距离.

【变化解读】云南省初中数学学业水平考试近几年与特殊平行四边形有关的试题大多是以菱形或矩形为背景，均以特殊平行四边形的判定和性质为切入点，突出考查学生对知识的理解和运用.这些试题注重考查学生的运算能力、推理能力、抽象能力、几何直观、应用意识和创新意识等数学核心素养，关注数学思想和数学方法的理解和掌握，全面考查学生的数学思维能力和数学学习能力.2023年的试题中规中矩，除了以演绎推理的形式考查菱形的判定和性质外，利用三角函数、面积、平行线间的距离等相结合，考查了与菱形有关的运算;2024年的试题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、三角形中位线定理、菱形的性质和判定、菱形面积公式、勾股定理、完全平方公式，从特殊平行四边形构图再到设问角度和方式的优化，增强了试题解答的开放性和灵活性.对于第（2）问，在连接对角线构成直角三角形的基础上，学生可以利用运算求出两条直角边的平方和，进而整体代换求出结果，或者直接计算出两条直角边后再利用勾股定理求出结果，但第二种方法明显增加了计算的难度.整道试题考查了学生灵活运用所学知识解决问题的能力，解题思路和方法自然合理，体现了自主探究的学习理念，考查了学生解题的思维过程.

【备考建议】教师应仔细分析历年云南省初中学业水平考试数学真题中关于特殊平行四边形的题目，了解考查重点、题型变化和命题趋势;针对特殊平行四边形中的边长、角度、面积等计算问题进行专项训练，总结常考知识点和解题技巧，有针对性地进行复习.

变化点4：破解押题猜题，延续代数推理考查

例5 （2024年第26题）已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=.设m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标，记M=.

（1）求b的值;

（2）比较M与的大小.

例6 （2023年第24题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性.形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.

同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题.

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.

设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T.

（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点;

（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值;若不存在，请说明理由.

【变化解读】《义务教育数学课程标准》（2022年版）中指出：“要关注基于代数的逻辑推理，如代数运算规律的论证、韦达定理的论证、基于图象的函数想象.”代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等内容的运算、变形、证明，抽象程度较高.2024年的第26题与2023年的第24题一样，都是以二次函数为背景的代数推理问题，只是压轴大题进行了调整，二次函数题被调整至次压轴位置，即变成整套试卷的倒数第二题.2023年的第24题主要考查的是二次函数的性质、图象与x轴交点、整点的探究.2024年的第26题则主要考查的是二次函数的对称轴公式、图象与x轴交点问题、解一元二次方程、无理数的大小比较、高次式子的降次化解，这些问题均可以归结为代数推理问题的探究考查.由此，我们可以看出命题规律就是以数、式、方程或不等式作为载体对代数推理进行考查，破解押题猜题，在反套路、反机械刷题上下足功夫.

【备考建议】代数推理往往以二次函数为背景，结合数、方程或不等式来进行推理，这类题目有利于引发教师的思考，科学引导中学教学，明确如何培养学生的数学素养，应如何在重点知识上下功夫.我们可以发现二次函数有关的代数推理试题的逻辑性很强，对于函数问题，能够数形结合，经常结合函数中的对称性、增减性综合进行问题判断和解决，同时在很多问题中还渗透了分类讨论思想.所以，在平时的教师教学和学生学习过程中，除了掌握好基础知识以外，还要有针对性地钻研拔高题，注重对模型的识别和归类，总结相应的解题技巧和解题方法.教师还要加强初高中的衔接研究，把握数学核心素养，从教材中挖掘核心素养的内容，强化典型问题和典型方法的教学，同时也要让学生自己发现问题，通过合作交流，创造性地去解决问题.教师应针对命题趋势进行精讲精练，在解题方法上要多创新，对这类问题要多探索、多比较、多思考，使学习探究的过程成为再发现、再创造的过程，努力锻炼学生思维的灵活性、发散性和批判性，以不变应万变，抓住解题规律提高学生解决问题的能力，提升学生的代数推理能力，精准备考.

变化点5：突破思维创新，赓续拔尖人才培养

例7 （2024年第27题）如图3，AB是☉O的直径，点D、F是☉O上异于A、B的点.点C在☉O外，CA=CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN=∠ABM，AM·BM=AB·MN.点H在直径AB上，∠AHD=90°，点E是线段DH的中点.

（1）求∠AFB的度数;

（2）求证：直线CM与☉O相切;

（3）看一看，想一想，证一证：

以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB<CB，CE+EB=CB，CE+EB>CB，你认为哪个正确？请说明理由.

例8 （2023年第23题）如图4，BC是☉O的直径，A是☉O上异于B、C的点.☉O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC=DC·AB.设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2.

（1）判断直线EA与☉O的位置关系，并证明你的结论;

（2）若BC=BE，S2=mS1，求常数m的值.

【变化解读】2024年的第27题与2023年的第23题一样，都以圆为背景，变化的是分值从8分提高到12分，在设置问题上从二问变为三问，有效降低了该题型的零分率，从而更加科学地评估学生的数学素养.第（1）问主要是求圆周角的度数.第（2）问主要是考查切线的证明.第（3）问表面上是以双切线模型为背景的圆的综合题目，使用的知识都为三切线模型内容，其中证明三点共线也是学生比较陌生的知识点，对学生分析问题与解决问题的能力要求较高，涉及的知识多，综合程度高，入口较难，重在考查学生的逻辑推理能力，具有极大的挑战性，属于压轴难题，承担选拔和区分的功能.2024年第27题以思维能力为核心，通过全面考查学生的数学思维能力和综合运用知识的能力，为选拔拔尖创新人才提供了有力支持.这一变革不仅符合数学教育的发展趋势，更有助于培养出一批具有创新思维和独立思考能力的优秀人才，为国家和社会的发展作贡献.

【备考建议】教学中，教师要发挥教材作用，让学生充分学习圆的基本内容，通过实例，培养学生解决问题的能力.圆的知识虽然复杂，但有一定的规律性，教师要引导学生发现规律，注重圆的常见模型的应用，归纳解题的途径和方法.

2022年4月，新课标发布以来，命题者一直强化在初中学业水平考试中落实核心素养，结合数学学科特点，合理设置试题结构，减少机械记忆试题和客观性试题比例，提高探究性、开放性、综合性试题比例，积极探索跨学科命题.试题更加关注数学本质和主干知识的考查，注重问题情境，加强与生活的联系，重视跨学科整合，阅读能力和实践探究能力的考查.未来我们备考或者设计模拟题，都需关注“情境设计”“跨学科学习”“综合与实践”“依标命题”“避免套路化”等趋势.从落实立德树人根本任务的角度，引导学生关注数学本身，回归教材，发展学生核心素养，唯有如此，方能从容教学，也才能让学生以不变应万变，切实提高他们在各种情境中解决问题的能力.