“因式分解”单元复习课的教学设计与实践

一、教学设计与实施

教学内容分析：“因式分解”是新湘教版七年级下册第三章内容，课标要求“能用提公因式法、公式法进行因式分解”。因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，有助于培养学生的逆向思维能力。本节课通过单元复习，帮助学生系统梳理因式分解的知识脉络，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等方法，提升综合运用能力。

教学目标：1. 知识目标：掌握因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），了解十字相乘法和配方法；2. 能力目标：通过变式训练和拓展延伸，提升学生综合运用因式分解方法的能力；3. 素养目标：培养学生的数学建模、数学运算、数学运用等核心素养。

教学重点与难点：1. 重点：综合运用提公因式法、公式法分解因式；2. 难点：熟练灵活地运用因式分解的两种基本方法进行因式分解。

教学策略：1. 整体教学：通过知识梳理、典例精讲、巩固练习、课堂延伸、课堂小结五个环节，构建“因式分解”知识体系；2. 归纳演绎：通过口诀、歌曲等形式，帮助学生记忆因式分解的步骤和易错点；3. 变式训练：通过变式题组训练，提升学生综合运用因式分解方法的能力。

二、教学过程

（一）知识脉络梳理

1. 温故旧知：通过提问“什么叫因式分解？它与整式乘法是什么关系？”引导学生回顾因式分解的定义及其与整式乘法的互逆关系。（教师提问，学生思考回答，师生合作，快速回忆旧知）

【设计意图】通过整式乘法和因式分解对比，形成口诀，构建模型，理清关系。

2. 口诀记忆：将因式分解步骤总结为“一提二套三查”，并以歌曲形式呈现，帮助学生记忆。

师生活动：教师提问，学生思考回答：一提：ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）；二套：a2－b2＝（a＋b）（a－b）  a2 ± 2ab＋b2＝（a ± b）2；三查。

【设计意图】提炼步骤，提醒做题习惯及易错点，培养数学建模思想。

（二）典例精讲，抛砖引玉

常见错误汇编：将因式分解常见的四种错误（提而不尽、张冠李戴、半途而废、错找一二）集中汇编成一道例题，通过典例示范，警示学生避免类似错误。问题：王老师在数学课上让同学们将8a3－18a进行因式分解，下面四位同学的做法正确吗？（抽问学生，教师有针对性地引导回答）

甲：8a3－18a

解：原式＝2（4a3－9a）

乙：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）

丙：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）＝2a（2a－3）2

丁：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）＝2a（4a＋9）（4a－9）

（三）巩固练习

通过变式题组训练，提升学生综合运用因式分解方法的能力。（学生独立完成后互评互改，教师巡视及时纠错并投屏，共同解决）

1. 将下列各式因式分解：x3－x，x3－2x2y＋xy2，81－a4。

2. 将上面对应题变式：a2（m－n）＋b2（n－m），-x3－2x2y－xy2，-a4＋81。

【设计意图】通过第1题检查效果，师生订正后，通过变式2，进一步检验效果，从而达到查漏补缺目的，达成目标1。

（四）拓展延伸，能力提升

1. 提出疑惑，留出悬念

如何将x2＋9x＋20因式分解？还能提公因式或套公式吗？

【设计意图】设疑惑，留悬念，激发学生探索新知的欲望。

2. 探究规律

两个长和宽都相等的长方形，其长为（x＋a），宽为（x＋b），（1）第一个长方形的面积可表示为S1＝     ，第二个长方形的面积可表示为S2＝     ，由此你发现一个等量关系是     ，这是关于字母系数是1的两个一次两项式相乘的计算规律，展开式的右边是一个二次三项式，其中常数项是     ，一次项系数是    。（2）利用你所得的规律（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，快速计算：（x＋4）（x＋5）＝    ；（x－6）（x－1）＝     ；（x＋3）（x－2）＝     。（3）利用你所得的规律x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b），因式分解：x2＋9x＋20＝     ；x2－7x＋6＝      ；x2＋x－6＝            。

十字相乘法方法总结：竖分2次项与常数项；交叉相乘，和相加；检验确定，横写因式。口诀：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。（拆、凑）

【设计意图】让学生从观察、思考、推理、归纳中得出规律，通过整式乘法逆用得出新的因式分解方法，进一步让学生体验过程，加深理解，总结步骤，提炼方法。

3. 检查效果，巩固练习

用所得规律x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）尝试下列因式分解：x2＋5x＋6，x2＋5x－6，x2＋x－12。

【设计意图】初步体验，检查学生效果。

4. 变式训练，能力提升

因式分解x2＋ax＋b时，甲看错a，分解成（x＋1）（x＋5）；乙看错b，分解成（x－2）（x－4），则x2＋ax＋b正确的因式分解结果为（    ）

A.（x－2）（x＋5）  B.（x＋1）（x－4）

C.（x－1）（x－5）  D.（x＋1）（x－5）

【设计意图】通过变式训练，进一步检查学生对新知的理解。

变式训练：小明还给出了另一种因式分解的方法：x2－6x＋5＝x2－6x＋32－32＋5＝（x－3）2－4＝（x－3＋2）（x－3－2）＝（x－1）（x－5），请模仿上述配方法分解因式：x2－12x＋20，x2－6xy＋5y2。

总结配方方法（口诀）：二系为1是前提，一系折半再平方；哪里加来哪里减，完全式后平方差。

【设计意图】一题多解，训练学生思维，让学生做中对比、小结，提升能力。

（五）小结提升，提炼方法

你能从数学知识、方法、思想三方面说说你本节课有哪些收获吗？1. 三字步骤：一提二套三查；2. 注意四错：提而不尽、张冠李戴、半途而废、错找一二。（学生谈自己的收获，教师利用口诀提炼方法、强调易错处）

【设计意图】提炼方法，总结数学思想，纳入已有知识体系，使学生对整个学习过程脉络更清晰。

（六）课后作业，分层设计

1. 将下列各式分解因式：2a2－8，-a3＋4a2－4a，（a2＋4）－16a2。

2. 若a－b＝1，求[12]（a2＋b2）－ab的值。

3. 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，得x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）。利用这个式子可以将某些二次项第数是1的二次三项式因式分解。

例如：将式子因式分解。分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋（1＋2）x＋1×2，即x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）。

请仿照上面的方法，解答下列问题：因式分解：x2＋6x－27；若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则求出整数p的所有可能值。

【设计意图】前两题为必做题，第3题作为有能力的学生选做，分层作业，尽可能地满足各类学生对知识的需求。

三、教学反思

教学亮点：通过口诀、歌曲等形式，帮助学生记忆因式分解的步骤和易错点，寓教于乐，激发学生学习兴趣；通过变式训练和拓展延伸，提升学生综合运用因式分解方法的能力；通过整体教学模式，构建“因式分解”知识体系，培养学生的数学核心素养。

改进建议：教学容量较大，部分学生思考时间不足，需适当调整教学节奏；十字相乘法的拓展延伸不够完整，需在后续教学中进一步补充。