指向应用性的高中数学解题教学探讨

【摘 要】解题教学是数学教学的重要组成部分，研究如何基于解题教学提升数学应用能力是重要课题。解答社会实践情境下的问题是提高数学应用能力的重要路径。指向应用性的解题教学要更加突出教审题，指向培养学生高质量地认识问题、分析问题与解决问题的能力。

【关键词】高中数学；数学应用；解题教学；应用题：社会实践情境

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2025）07-0016-04

【作者简介】渠东剑，南京市秦淮区教师发展中心（南京，210002）数学教研员，正高级教师，江苏省数学特级教师。

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）指出“要强调数学与生活以及其他学科的联系”，对数学教学提出了明确要求。《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确指出，要“着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力”，为高考内容改革指明了方向。《中国高考评价体系》则是命题的理论基础与实践指南，“四翼”是其核心内容之一，回答了“怎样考”的问题，其中之一便是“应用性”，强调突出考查学以致用的导向。这些都对数学教学突出应用性、提高学生数学应用能力、体现数学育人价值、推进“五育并举”，具有积极而重要的意义。

“‘数学应用’是一个比较宽泛的概念……除了生活实际中的应用之外，数学作为工具学科，和其他学科有着密切的联系……从更广义的角度来说，数学学科内部知识之间的关联与交互可以看作是数学应用的一种延伸。”［1］这为理解“数学应用”提供了参考，为突出数学应用的教学给出了路径，为指向提高学生数学应用能力的教学明确了方向。

问题是数学的心脏。就基础教育阶段的数学学习与质量评价而言，一定意义下，数学题目是数学问题的主要外显形式，解答题目是解决问题的重要表现形式，是关键能力的外在表现。提高学生解题水平，是深化学生思维能力、发展学生素养的重要路径，进而研究解题教学具有重要的、现实的意义。

依据高考数学问题情境的分类：课程学习情境、探索创新情境和社会实践情境，其中社会实践主要关注数学与其它学科和社会生活实际的关系，包括生活生产实际、科学研究等背景。［1］社会实践情境下的问题，是体现数学应用的重要载体，其解题教学对提高学生数学应用能力具有重要意义。本文主要探讨社会实践情境下的解题教学。其基本观点是，解题教学要更加突出审题过程，悉心启发引导，渗透数学建模，提升应用能力，促进思维发展。

二、坚持应用性问题解题大方向

一定意义下，“数学应用”是指将数学知识主动运用于问题解决中，即用已有数学知识去解决问题。从问题解决过程看，数学是主角，问题归根到底是数学问题。解决问题的大方向是，将生活实践或其他学科背景下的问题转化为数学问题，再运用数学知识去解决这个数学问题，并回答所要解决的问题。因此，解题首先是尽快地从情境中“解脱”出来，将问题转化为数学问题，而不是在情境中作过多“停留”，或纠缠于无关数学解题的情境活动。这是解答社会实践情境下问题的基本原则，是解题教学所必须坚持的。社会实践情境下问题的解题路径如图1所示。

例1（2019年高考数学全国Ⅱ卷理科第4题） 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行。L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：[M1（R+r）2] + [M2r2]=（R+r） [M1R3]。设α= [rR]，由于α的值很小，因此在近似计算中[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3，则r的近似值为（   ）

A.[M2M1R] B.[M22M1R] C.[3M2M1R] D.[M23M1R]

本题属于科技背景的问题，题目表述长度达200多字符，信息量较大，对学生阅读理解能力要求较高。但是，题目的前半部分只是背景介绍，意在让学生理解问题的来龙去脉，了解中国航天事业伟大成就，渗透爱国主义教育，实现高考立德树人功能。就高考而言，解题本质上就是追求答案，因此题目中有用的信息是从“r满足方程”开始的。解题当然要全面审题，但是要突出审题方向，应尽快从情境中“解脱”出来，尽快将实际问题转化为数学问题：题目要求什么？可以依据的条件是什么？条件有怎样的结构特征？条件[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3意味着什么，怎样创造条件用上它？

三、注重应用性问题解题信息读取

社会实践背景下的题目，一般都具有如下特征：创设真实的情境，提出真实的、有意义的问题；全面考查数学应用的一般过程，充分体现数学的价值。这类题目一般表述篇幅比较长，文字符号比较多，信息比较纷杂，将实际问题转化为数学问题需要的时间比较漫长。这些都指向审题难度比较大。审题是解题的重要步骤，也是至关重要的第一步。因此，解题教学要坚持教师不读题原则，让学生“亲自”读题。

根据建构主义学习理论，学习是学习者主动建构内部心理表征的过程，即学习是一种心理活动，重在心理体验。解题教学也不例外，必须让学习者“亲身”经历解题的过程。在这里，读题就是审题，画图也是审题，如果教师读题、画图，就是包办代替，越俎代庖。

试想，教师进行解题教学，一般都是事前充分备课，对所选择题目了然于胸，对情境创设、命题立意、多种解法、变式引申、规律总结等都作充分的研究。当走向课堂，已然是成竹在胸。因此如果教师读题，必然会渗透进去个人的情感，其读题过程中的口气、语气、标点、断句……都将对学生理解题意产生帮助作用。这看似缩短了学生理解题意的路程，降低了审题的时间成本，加大了课堂的“容量”，但是学生通过解题所经受的思维的训练将大打折扣。毕竟到了考场上，谁给学生读题呢？

当然，突出学生读题，并不意味着教师可以袖手旁观，而是要密切关注学生得审题进程，适时地启发引导。甚至需要事前设计好启发性问题串，以引导学生审题，展开探究学习。

例2（2014年高考数学江苏卷第18题）

如图2，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区。规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80m。经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=[43]。

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？

分析第（2）题时，教师可以设计如下启发性问题串，用于教学过程中引导学生探究。

何时圆形保护区的面积最大？（圆的半径最大时）——OM是什么？——它决定圆的圆心位置；圆M因圆心运动而引起半径变化，那么半径与OM长有何关系？——变化中的不变量是什么？——圆M与直线BC相切——相切有什么条件？怎样建立圆半径与OM的关系……

四、突出应用性问题解题思维能力发展

数学应用下的社会实践情境题目，重在用已有知识去解决新情境下的问题，一定意义上是“换汤不换药”。以高考数学试题为例，根据课标，考查的知识点就那么几十个；常用基本数学思想方法、解题策略就那么几种，考知识、考方法、考思想的变化不可能太大。创新主要在情境与问题上：创新情境设计，变换角度提出问题。因此，在某种意义上解题就是多元表征条件，实现化归转化——将问题转化为数学问题，再将数学问题转化为简单的、熟悉的问题。

例3（2021年“八省联考”数学卷第20题）

北京大兴国际机场（如图3）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是[π3]，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×[π3]=π，故其总曲率为4π。

（1）求四棱雉的总曲率：

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数。

从知识考查视角而言，该题涉及空间图形、多面体、角、欧拉公式等。从情境设置、问题提出、解题过程等角度来说，则与传统的立体几何题目相去甚远：没有考查空间直线与平面的位置关系的推理证明，没有考查用空间向量解立体几何问题。这是一道“社会实践情境”的问题，突出数学应用考查，本质上考查了学习迁移能力：题目给出一个新概念，要求考生学习理解，并运用所学概念，去解决新的问题。［3］

第（1）（2）题中都涉及概念“总曲率”，所以理解总曲率的概念是解题的基础。学生之前并没有学习过总曲率的概念，这就要求在新的情境下学习新的数学定义（具体问题情境之下的），并在准确理解新定义的基础上，去理解题意，即用定义去思考，并用已有知识去解决问题。

该题是借北京大兴国际机场背景开启话题，引出总曲率的概念，并不是从该情境中抽象出数学问题。没有这个情境或换成别的情境，比如其它建筑物，一样提出总曲率的概念。因此，审题就是要“尽快地”从情境中走出来，直奔“总曲率”这一概念而去。理解“总曲率”的概念，既是解题的基础，也是解题的难点。

理解总曲率的概念，关键是读懂题目中的这句话：“多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。”这其中又涉及对概念“曲率”“多面体的面角”的理解，可以把它们看作是概念“总曲率”的子概念。而对这些子概念的理解，又需要具备立体几何基本知识。审题就是要厘清每一个子概念，并在此基础上理解总曲率的概念。理解“多面体的面角”的概念可能是困难的，需要具备立体几何基本知识去，甚至需要借助“熟悉的”多面体模型去理解，题目中所给的“正四面体的总曲率”，就是一个帮助理解概念的具体的例子，审题时自然要充分利用。

由此可见，理解题意是一个漫长的探索过程，是一个建构新概念的过程，也是解题的至关重要的过程。在理解题意的基础上，自然就是基于概念去思考，利用立体几何基础知识去解决所面对的问题，但这已经是数学问题了。

“想得明白，写得恰当”应该成为解题教学“两步曲”。想得明白，就是突出审题，执果索因，化归转化，探寻解决问题的起点；写得恰当，就是基于“想得明白”，从起点出发，谋篇布局，书写表达，突出逻辑，环环相扣。解题教学，先教“想得明白”，后教“写得恰当”；只有想得明白，方能写得恰当。解答社会实践背景下的题目的教学，也不例外。

【参考文献】

［1］赵轩，任子朝，翟嘉祺.新高考数学应用能力考查研究［J］.数学通报，2021（3）：22-24，32.

［2］渠东剑.春来江水绿如蓝：2024年高考数学江苏卷试题赏析［J］.中学数学教学参考，2014（9）：43-46.

［3］渠东剑.八省联考数学分析及启示［J］.中学数学教学参考，2021（6）：59-63.