新高考背景下探究性解题教学的实践与思考

【摘 要】新高考增强了试题的的探究性。在高中数学教学中，教师应着力培养学生的探究能力，开展探究性解题教学。探究性解题教学回归本真，强调学生的自主参与，调动所学的知识探索解题的方向、途径。

【关键词】高中数学；探究性解题教学；数学思想方法；数学思维方法

【中图分类号】G633.3  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2025）07-0020-04

【作者简介】张乃贵，江苏省兴化中学（江苏泰州，225300）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师。

一、问题提出

1.高中数学解题教学的现状

在高中数学解题教学中，不少教师只关注各种题型的教学，采用“填鸭式”的教学方式。在学生还没有理解题意、细致思考、形成解题思路的情况下，就要求学生说出解题方法。当学生遇到困难、疑惑时，老师就直接告知具体的解法。由于没有引导学生开展数学探究活动，学生没有自主探索，没有积累探索性解题活动经验，当面对高考中的新题、难题，就无法入手。

2.高考命题的要求

《教育部关于做好2024年普通高校招生工作的通知》（［教学2024］2号）中明确提出：注重考查学生的必备知识、关键能力和学科素养，引导培养探索性、创新性思维品质。优化试卷结构和试题形式，增强试题的应用性、探究性、开放性。高考的试题设计注重对探索性思维品质的考查，强调在面对问题，特别是新问题新情境时，能够自主探究分析问题背后的数学模型，抽象出数学结构，利用所学数学知识寻找解决问题的路径。［1］

面对新高考增强试题探究性、突出理性思维和探究能力的考查，在解题教学中教师应强化探究性教学，让思维能力培养、探究能力培养和解决问题能力的培养成为最重要的教学任务。［2］

二、探究性解题教学的要义

解题是指从问题的起始状态出发，对条件进行有机组织，实施连续的操作达到问题解决的最终状态，解题的关键是探索这些操作。探究性解题指学生从阅读题目开始，依据题目的条件，发现问题、困惑和障碍，明确解题的目标，调动所学的知识，运用观察、比较与类比、归纳与猜想、分析与综合、抽象与概括等思维方法主动探索解决问题的方案，并不断调整，不断优化。探究性解题教学则指在教师的引导下，学生积极、主动地直面问题，历经尝试、实验、改进、调整、优化等过程，孕育解题思路，探索、研究解决问题方法，推广解题结果。探究性解题教学着力培养学生面对陌生情境，发现、提出、分析、解决问题的能力、创新能力和实践能力，提升探索性思维品质。

三、探究性解题教学的策略

探究性解题教学不是把现成的结果、问题的解法直接告诉学生，而是让学生不断提出问题、分析问题、解决问题，从而让学生经历探究的过程、思考的过程。具体来说，有如下策略。

1.引导反思质疑，增强探究动力

问题是数学探究活动的动力，反思质疑是提出问题的重要方法，因此反思质疑有利于增强学生的探究动力。数学教科书是教学的载体，在数学学习中，教师尤其要重视学生对课本中的概念、定理、公式、解法等的深化理解。

例如，对等差数列的通项公式的推导，苏教版高中数学教材采用的是叠加法。在教学中，教师可以追问学生，为什么要把n-1个式子叠加起来？其目的是什么？从而引发学生反思，开展探究活动，帮助学生弄清叠加法背后的底层逻辑，把探究活动与有意义地接受新知自然地结合起来。

在新授课上这样来教学，学生就能理解叠加法的原理，同时积累了探究活动经验。到了高三复习课上就可以引导学生探究下面问题的解法。

例1：对于给定的正整数k，若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”。若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，求证：{an}是等差数列。

师：这是一道高考试题的变式题，同学们思考怎样解决这个问题。

学生尝试解答：

因为{an}是“P（2）数列”，所以n≥3，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①

因为{an}是“P（3）数列”，所以n≥4，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an。 ②

学生的思路到此受阻，需要教师进行引导。

师：证明数列是等差数列有哪些方法？

生：定义法，中项法和通项公式函数特征法。

师：就此题而言，你认为哪种方法比较合适？

生：中项法，即要证明an+1-an=an-an-1（n≥2）。

师：为什么要这么选择？

生：因为题目中出现了数列的项与项之间的关系，根据以往的经验，就选择了中项法。

师：接下来，怎么办？

生：消去多余的项an-3，an-2，an+2，an+3。

师：怎么消？

生：由①得，n≥2，an-1+an+an+2+an+3=4an+1，③n≥4，an-3+an-2+an+an+1=4an-1。④③+④－②得，n≥4，an-3+an+1=2an。即an+1-an=an-an-1。所以数列{an}从第3项起成等差数列，设公差为d。在①中，令n=4得，a2+a3+a5+a6=4a4，所以a3-a2=d。在②中，令n=3得，a1+a2+a4+a5=4a3，所以a2-a1=d。所以数列{an}是公差为d的等差数列。

学生在消元法的统领下，把变通后的叠加法迁移到新的情境下解决问题。基于以上探究可以看到，例1的解法来源于课本，由此可见研读课本，反思探究，深入探究、挖掘课本内容背后蕴藏的数学思想方法，对解决高考试题是大有帮助的。

2.采用启发性提问，促进探究活动

探索性解题常见的启发性提问有：“解题的目标是什么？次目标是什么”“为了实现解题目标，怎么办？”“数学对象有怎样的性质？数学对象之间有怎样的关系”等。

例2（2024年月九省高考适应性考试第14题）以maxM表示数集M中最大的数。设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为_________。

师：问题要求三个数b-a，c-b，1-c中最大数的最小值，可以分类讨论，具体找出哪个数是最大的，但运算麻烦，可不可以，不具体找出哪个数解决问题呢？

生：运用方程中设出未知数的方法，设b-a，c-b，1-c中最大数为t。

师：t有怎样的性质呢？用不等式怎样表示t与这三个数之间的关系？

生：[ t≥b-at≥c-bt≥1-c]。

师：怎样运用已知的不等式0<a<b<c<1，b≥2a或a+b≤1，求出t的最小值呢？要求t的最小值，就是从以上的这些不等式，推出t≥s（s是常数）。

以上探索出要解决问题的目标。

师：怎样实现这一目标？

生：利用不等式的性质，消去字母a，b，c。

师：先考虑在b≥2a条件下，怎样消去字母a，b，c？

生：注意到只有t≥b-a（1）中含有字母a，将（1）两边同乘以2得2t≥2b-a （2）

为了消去字母c，将两个不等式t≥c-b，t≥1-c相加得2t≥1-b （3）

由（2）+（3）得4t≥b-2a+1≥1，于是t≥[14]。

师：再考虑a+b≤1条件下，怎样消去字母a，b，c？

解题的关键是设出三个数中的最大值为t，依据约束条件，在目标t≥s（s是常数）的指引下。探索不等式之间的关系，利用数学运算、不等式的性质，消去变量a，b，c。由于关系比较隐蔽，可以借助换元法，凸显数量关系，减少思维量，优化解题过程。

3.关注数学思维方式，优化探究活动

数学思维方式是运用数学方法和逻辑来思考和解决问题的思维活动形式。数学思维方式从数学的角度，发现、提出、分析和解决问题，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

例如，依据直角坐标系下坐标的特征，横坐标是水平的，纵坐标是竖直的，所以向横纵两个方向转化是解析几何中的基本的思维方式。解析几何中斜率公式、两点间的距离公式、弦长公式、向量坐标公式、点到直线的距离公式、定比分点公式、焦半径公式、直线的参数方程、一元一次不等式表示的平面区域表示等的推导都体现这一思维方式。2021年八省市新高考适应性考试第21题第（2）问，要证明两个角之间的关系，运用这一思维方式，探索出把两个角之间的关系转化为两个角的正切之间的关系。正切的意象是竖直与水平之比，正好与坐标的特征相符合，解析几何中的角往往转化为角的正切，和坐标发生联系，体现解析几何的坐标化思想。

例3（2024年新高考全国Ⅰ卷第16题）已知A（0，3）和P [3，32]为椭圆C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0）上两点。

（1）求C的离心率；

（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程。

对于第（2）问，如图3，不同的表达△ABP面积的方法，导致此题的解法繁简有别，△ABP的边AP，AB，BP都可以作为三角形底，但注意到[AP]=[352]，预测选择AP作为底边的解法是比较简洁的。如果进一步注意到所给数据的特殊性，运用向横纵转化的思维方式，探索得到下面的最简解法。

解析几何考查的要点是数形结合。充分挖掘图形的几何特征、性质，有助优化运算的途径，减少运算量。只有多想方能少算。解析几何运算是认识几何特征下的运算，不是纯粹的代数运算。

4.精致数学表达，深化探究活动

表达与交流是最基本的数学素养，书面表达是把自己的思维成果写出来与他人分享与交流，这种表达要合乎逻辑。数学解题不但要探索出解题思路，还要探究如何书写，严谨和准确表达。精致数学表达，用清晰的形式化数学符号准确地表达，不断把数学探究引向深入，既有利于发展用符号语言表达的能力，更有利于发展理性思维。

例4高三复习课上，再次推导等差数列的前n项和公式Sn=[n（a1+an）2]，探究倒序相加，是如何配对的？用数学符号怎样表示？

师：怎样推导等差数列的前n项和公式？

生：用倒序相加法，Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a1，两式相加得2Sn=n（a1+an）。

师：你能说清楚是怎样的项配对相加的吗？

生：首尾配对的。

师：还能表达更清楚一些吗？

生：项数和为n+1的项配对的。

师：用符号语言怎样表达？（学生感到困难）可否引入一个变化的字母来表达？

生：设等差数列第k项为ak（k=1，2，…，4），把第k项ak与第n+1-k项an+1-k配对。

师：用求和符号怎样写出详细的证明过程？

生：证明：Sn=a1+a2+a3+…+an=[k=1nak]，Sn=an+an-1+an-2+…+a1=[k=1nan+1-k]，两式相加得2Sn=[k=1nak]+[k=1nan+1-k]=[k=1n（ak+an+1-k）]，因为{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，所以ak+an+1-k=2a1+（n-1）d=a1+an。于是2Sn=[k=1n（a1+an）]=n（a1+an），Sn=[n（a1+an）2]。