高中数学开放性试题的常见类型及教学建议

【摘 要】与条件给定，且不多不少，全部应用就可以解题的传统数学试题不同，开放性试题以不确定性、发散性、探究性及生成性为基本特征，注重考查学生的灵活性和广泛性。目前的开放性试题一般有列举实例型、结论是否型、结构不良型等类型。教学中，教师可以通过开放题境，现场编题；开放结论，实施探究；合作学习，开放思维；建立模型，开放策略等策略，助力学生有效应对开放性试题。

【关键词】高中数学；解题解学；高考；开放性试题

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2025）07-0024-04

【作者简介】王克亮，江苏省射阳中学（江苏射阳，224399）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师。

教育部在《关于做好2024年普通高校招生工作的通知》（教学〔2024〕2号）中明确提出“优化试卷结构和试题形式，增强试题的应用性、探究性、开放性。”开放性试题以不确定性、发散性、探究性及生成性为基本特征在各种考试题型中独树一帜，它在一定程度上弥补了传统试题的一些不足，在考查学生灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着比较明显的优势。

一、数学开放性试题的常见类型

传统数学试题的特点是条件都是给定的，而且不多不少，全部应用就可以解题；解题的思路是固定的，即使是一题多解的题目，每种解法的思路也是固定的，只要沿着固定的思路就能解题；解题的结果也是唯一确定的，能得出确切的结论和数值。与之相对，开放性试题通常会具有以下一些特点：有的题目条件不充分，需要学生补充后才能解题，补充的条件不同，解题的思路和解法也会不同；有的题目的结论不是事先给定的，甚至答案是不确定的，存在着多样的解答；有的题目没有现成的解题模式，往往需要在求解过程中从多个角度进行思考和探索。目前出现的开放性数学试题，通常有以下几种类型。

1.列举实例型

这类试题一般会给出一些条件，要求学生从中获取信息，整理信息，写出符合要求的结论或是具体实例。

例1（2021年新高考2卷第14题）：写出一个具有性质①②③的函数f（x）=_______。

①f（x1x2）=f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f '（x）>0；③f '（x）是奇函数。

评注：该题要求学生在理解函数性质①②③的基础上从抽象到具体构建出一个函数f（x）。解题的关键是理解函数性质，第①条为自变量积的函数值等于对应函数值的积，第②条是在x轴正半轴为增函数，第③条导函数是奇函数，则原函数为偶函数。本题的结论开放，答案不唯一，例如f（x）=|x|，f（x）=x2等。该试题在考查学生思维的灵活性方面发挥了很好的作用，同时也给不同水平的学生提供了充分发挥自己数学能力的空间。

2.结论是否型

这类试题没有给出明确的结论，通常以“是否存在”或“是否满足”等问询的方式出现。 需要学生根据条件进行推理，自己确定试题的结论。

例2（2020年北京卷第21题）

已知{an}是无穷数列。给出两个性质：

①对于{an}中任意两项ai，aj（i>j），在{an}中都存在一项am，使[ai2aj=am]；

②对于{an}中任意项an（n..3），在{an}中都存在两项ak，al（k>l）。使得an=[ak2al]。

（1）若an=n（n=1，2，……），判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；

（2）若an=2n-1（n=1，2，……），判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（3）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列。

评注：本题前两小题的结论都是以“是否”的形式出现，结论不明确，且第（1）小题的结论是否定的，所给数列不满足性质①；第（2）小题的结论是肯定的，所给数列同时满足性质①和性质②。本题具有较好的开放性，有利于考查不同层次学生的推理与思维能力。

3.结构不良型

初始条件、解决策略和目标结论这三者中至少有一个不明确的试题称为结构不良试题。数学学科的结构不良试题主要包括：问题条件或部分数据缺失或冗余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定。高考中的结构不良试题通常不要求学生自己补充条件，而是从所给出的几个条件中选择一条或多条补充到试题中，然后进行解答，或者对给出的条件进行重新组合，实现不同的问题解答路径。此外，也有高考试题给出不同的结论，请学生选择并加以论证。

例3（2021年高考甲卷理科第18题）

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。

①数列{an}是等差数列；②数列{[Sn]}是等差数列；③a2=3a1。

评注：本题要求学生根据所给条件合理构建一个命题，并证明命题成立。试题设计了个不同的组合方案，组成三个真命题，给学生充分的选择空间，选择什么样的条件和结论，直接影响到问题的思维和证明过程，有益于不同学生在不同层面上发挥自己的数学能力。

二、数学开放性试题的教学建议

如何有效应对开放性试题，目前大家还在探索之中，笔者作了以下几点尝试。

1.开放题境，现场编题

教学中，对于一些可改变题境的问题，教师可以创设开放性问题情境，让学生现场编题，举一反三，鼓励学生大胆提出问题与解决问题。

例如，教师先让学生解决下列抛物线的问题：已知定点A（4，1），F是抛物线C：y2 = 4x的焦点，P是C上一点，则|PA|+|PF|的最小值为______。然后让学生类比该题解题原理，若定点A（4，1）不变，请以椭圆[x2100+y236=1]或双曲线[x24−y212=1]为背景，命制一道类似的问题，并解答。

本题的关键是将抛物线上的点到焦点的距离，转化为其到准线的距离。基于这个原理，以椭圆或双曲线为背景命题时，最后的表述式要写成|PA|+[1e]|PF|的形式。所以，以椭圆、双曲线为背景的两道试题可命制为：

（1）已知定点A（4，1），F是椭圆C：[x2100+y236=1]的右焦点，P是C上一点，则|PA|+ [54]|PF|的最小值为________。

（2）已知定点A（4，1），F是双曲线C：[x24−y212=1]的右焦点，P是C上一点，则|PA|+ [12]|PF|的最小值为________。

评注：更换题境，让学生现场命题，可引导学生领悟一类问题的内在规律，达到举一反三的效果。经常这样做，可增强学生对问题进行变式意识，能有效提升学生解决开放性试题的能力。对于本题而言，如果想提高难度，还可以不给出椭圆与双曲线的方程，让学生自己去寻找一个适合题意的椭圆或双曲线。

2.开放结论，实施探究

教学中，对于一些背景相同但结论多样的问题，可以放手让学生探究，让其自行发现相关结论或性质。

例5：如图1，已知F是抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过点F且倾斜角为α的直线交抛物线于A，B两点，由点A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1，B1，设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）。以此为背景，你能得到的结论有   。

评注：开放结论，组织学生探究，可充分培养学生分析问题与解决问题的能力。值得注意的是，让学生记住这些结论不是目的，更重要的是引导领悟解决问题的方法、体验探究的过程，这样才能有效提升学生解决开放性试题的能力。

3.合作学习，开放思维

在教学中，对于解题切入角度较多的试题，宜开展合作学习，互相启发，共同探索解题思路。

例6（2022·新高考Ⅰ卷第14题改编）：写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的两条直线的方程____________。

解析：如图2所示，根据条件，可判断出两圆相外切，所以共有3条公切线。如何选择不同的切线方程去求解，不同的学生有不同的想法。图3中的切线n和切线l，其方程是易求的；而切线m方程的求解，解法多样，是培养学生发散性思维能力的好机会。为此，在教学中，笔者给了学生充分思考时间后，又开展了小组合作讨论，然后让学生上台展示，结果出现了如下几种解题思路：方程组法、向量法、等角法。

评注：采用合作学习，学生之间可以进行有效思维碰撞，集思广益，得到意想不到的效果（事实上，课堂上学生还得到了其它解决，这里不再赘述）。经常开展小组合作学习，可拓宽学生的思维渠道，提升学生应对开放性试题的能力。

4.建立模型，开放策略

在教学中，教师可以引导学生建立一些常见的模型。虽然这些模型的性质与结论不能直接应用于解题之中，但有助于我们明确方向，指导探究，优化解法，进而拓展解题策略。

例7（2023·新高考Ⅱ卷第21题改编）如图3，双曲线C：[x24]－[y216]＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P。试探究：是否存在一条直线，使得点P恒在该直线上？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由。

解析：这样的直线是否存在，方向不明。平时教学中，如果帮助学生建立了下列模型1，则可帮助其快速明确结论方向。

模型1：圆锥曲线极点与极线的双割线模型

如图4，P（x0，y0）为不在圆锥曲线上的点（非圆锥曲线的中心），过点P引两条割线依次交曲线于点A，B，C，D，连接DB，CA交于点M，连接AD，BC交于点N，则直线MN为点P对应的极线，且直线MN的方程为Ax0x+Cy0y+D[x0+x2]+E[y0+y2]+F=0。

不难发现，该试题中就有这样的模型1，图3中的MN与A1A2是过点（-4，0）的两割线，且MA1与NA2的交点P，若设MA2与NA1的交点为Q，则直线PQ就是点（-4，0）关于该双曲线的极线。如此一来，结论的方向就明确了，存在这样的直线，且其方程为x=-1。

评注：除了圆锥曲线极点与极线的双割线模型以外，本题还涉及到圆锥曲线的手机筒模型和类直径所对圆周角斜率之积模型等模型。实际解题时，学生运用的模型个数不一样，可以得到不同的解题策略。所以，帮助学生建立一些常见的模型，可以开阔学生的视野，提高学生解决开放性试题的能力。当然，这里也有一个度的问题，不能过多过滥，以免增加学生的负担。

【参考文献】

［1］中国高考报告学术委员会.高考关键能力培养与应用［M］.现代教育出版社，2024：9.