中英法日数学教材中“数列”例习题难度的国际比较研究

［摘  要］ 例习题作为教材中数学问题的载体，综合反映了教材难度. 文章借助鲍建生构建的综合难度五因素模型，对中国、法国、日本和英国现行高中数学教材中数列内容的例习题进行比较. 基于四国教材在五个难度因素上的共性与差异，为我国新一轮高中数学教材编写提出三点建议：丰富习题情境类型，创新德育融入的背景；关注计算思维培养，算理与算法联合培智；极限思想三次回归，对立与统一中谋发展.

［关键词］ 数列；高中数学教材；难度因素；比较研究

引言

21世纪是科学技术飞速发展、全球经济一体化的时代，也是各国综合国力竞争的时代，而国力竞争最终仍要归旨于基础教育的比拼. 教材是国家意志、民族文化、社会进步和科学发展的集中体现，是实现教育培养目标最直接的载体［1］. 前国际数学教育委员会秘书长阿尔伯特·杰弗里·豪森（Albert Geoffrey Howson）曾指出，人们对数学教育历史的感知在很大程度上依赖于对旧式数学教材的历史研究，并且课程的发展总是以教材的发展为先导. 教科书主要由章引言、例题、习题、专栏、正文构成，其中例习题作为学生学习任务的主要来源，在数量、水平、风格和侧重点上的差异既反映一个国家数学教科书的整体水平、风格和倾向，也对数学课堂教学实践产生不可忽视的影响［2］.

在2001年，大卫·野原（David Nohara）在提交给美国国家教育统计中心的工作报告中首次提出了“总体难度（Overall difficulty）”的概念［3］；随后在2002年，鲍建生在Nohara.D提出难度框架的基础上提出了综合难度模型［4］. 在2010年，我国教育部启动高中数学课程教材的国际比较项目，有关数学教材的研究在此间前后30年得到长足发展. 在2014年，鲍建生和王建磐搭建并应用综合难度模型对中、美、法、俄、澳的六套高中数学教材中的例题进行了定量比较和定性分析［5］101. 自此，有关教材例习题的难度研究如雨后春笋般涌现.

研究对象及研究工具

1. 研究对象

考虑到世界各国在地理位置和社会文化背景上的共性与差异，本研究选取中国、法国、日本和英国作为比较研究的国家. 从文化背景上看，中国和日本同属儒家文化圈；从教材编写上看，我国数学家齐友民在阅读藤田宏（ふじた ひろし）主编的高中数学教材后呼吁广大教育工作者“应注重日本的中学教材”［6］. 英国和法国是众多欧美国家的代表，随着2014年中英数学教师交流项目成立以来，中国的教材在英国广受好评. 纵观教材的国际比较研究，法国教材因其独特的文化特色、先进的科技意识、现代化的内容以及独树一帜的编排设计而备受瞩目［7］. 2019年1月22日，法国教育部在第1号特别官方公告上公布了新版课程标准，其对学生综合素质、建模能力的要求与我国不谋而合，对算法思想和探究活动的重视契合我国当前的人才培养方向，故将法国作为比较国之一.

数列作为离散数学的典型代表之一，既是数的序列，又与函数相连；既是极限的载体，又是级数的基础. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文提及的所有国家的课程标准均简称为《课标》）将数列纳入选择性必修中函数主题的子单元，其中蕴含着一般到特殊、有限归纳无限的思想，包含累加、累乘、倒序相加、错位相减和裂项相消等运算和代数变换方法，较好地关注和培养学生的核心素养. 因此，本文选择“数列”作为研究主题.

在选择教材时，本文考虑教材的适用范围以及教材是否符合所在国家课程改革的主流思想两个方面，并结合《课标》颁布时间和教材出版时间，确定了表1所列的数学教材［8-11］.

为了控制研究中的变量，并坚持基于本土教材编写的原则，本文选择以中国教材中出现的数列内容作为编码范围的标准——包括数列的概念、等差数列、等比数列、数学归纳法等，不包括级数、数列的极限等内容.

2. 研究工具

例题反映了教材在问题解决方面的基本要求，也从侧面反映了教师的知识能力以及教材的难度水平［5］101. 习题是学生任务的主要来源，具有挑战性和吸引力，深刻影响学生对数学概念的理解［12］. 因此，将教材中的例习题难度作为衡量教材难度和课程理念的指标，运用鲍建生提出的五因素综合难度模型，从探究、背景、运算、推理和知识含量这五个维度对中国、英国、法国、日本教材中的数列内容进行编码分析. 详细内容见表2.

统计结果及分析

1. 结果分析

首先对每道例习题的难度因素进行定量分析和定性描绘，随后利用公式绘制综合难度五边形，以便进行比较分析.

（1）四国教材在探究难度因素上的共性与差异

如图1所示，从整体来看，除FTB的例习题外，其余几国教材中处于理解水平的例习题数量最多，处于识记水平和探究水平的次之. 这表明高中数学教材注重学生理解和领悟知识，而非简单地识记.

从探究难度因素来看，CTB、JTB、ETB教材的例习题在各个水平上的表现较为吻合，习题与例题的认知要求匹配度高，例题的示范引领功能突出. 而FTB的例题在探究难度因素方面的表现近似直线下降，其更强调例题的巩固新知这一首要功能［13］. JTB在理解水平的例习题数量较多，具体来说，理解水平的习题数量（72%）比整体平均值（58%）高出14个百分点，例题数量（66%）比整体平均值（51%）高出15个百分点，这与日本数学学习指导要领中强调的“系统地理解学习的各个内容的基本概念和原理及规律是至关重要的”相一致. CTB的例习题数量在探究水平上的占比是最高的，在“练习”和“拓广与探索”板块中增加探究性习题，反映出我国教科书编写者正逐步将《课标》中对学生思考力、探究精神的培养要求融入课堂教材中.

（2）四国教材在背景难度因素上的共性与差异

如图2所示，从整体来看，鉴于数学的严谨性，教材中的许多题目经过抽象处理，使得文字表达简洁且严谨，大多缺乏实际背景.

在例题的背景难度因素方面，四国教材中无实际背景的题目数量最多. 具体来说，CTB例题背景在三个水平上的分布较为均衡；而ETB、FTB、JTB在个人生活、公共常识和科学情境三个水平上的题目数量相当，个人生活类题目占比约10%，公共常识和科学情境类题目均不足5%. JTB例题背景尤为单一，全部集中于无实际背景. ETB和FTB的情况大致相同，均强调从实际背景出发，运用所学知识解决实际问题；特别是法国，有较多需要使用表格生成数列进行规律探究或通过编写算法生成数列并求和的题目，重视算法思维和计算机能力的培养. 此外，法国是十四个国家（中国、日本、韩国、新加坡、英国、法国、德国、俄罗斯、芬兰、荷兰、美国、加拿大、南非和澳大利亚）中唯一一个将信息技术渗透到高中数学五个知识领域（数与代数、图形与几何、概率与统计、微积分及其他）的国家［14］. 反观JTB的例题情境，其全部采用数学语言陈述问题，无特殊情境设置，问题情境的多样化有待加强. CTB在例题背景设置上表现得较为客观，涵盖银行复利计算、设计电子产品品控提升方案和生活垃圾处理等社会生活背景，这有助于教师在精讲例题时培养学生建模思维和综合解决问题的能力，发挥例题的示范和引导作用.

在习题的背景难度因素方面，四国教材的习题仍以无实际背景为主，FTB习题则具有相对丰富的实际背景，占比达42%，反映出法国教材题目的强实用性. FTB习题的背景极为丰富，在个人生活、公共常识和科学情境三个水平均领先于其他三国；该教材的习题背景形式多样，强调建模思想，从日常的存钱问题到复杂的密码测试、保险方案选择乃至偿还贷款利率的决策都有所涉及. 法国的课程标准在习题的设置和选择方面特别强调“在任何情况下，习题必须是精心设计的，用于发展学生的数学知识和技能”［15］. ETB与CTB在习题背景方面的表现相似，在公共常识水平，CTB（7%）高于ETB（3%），仅次于FTB. JTB习题绝大多数（97%）无实际情境，题目背景十分单薄.

（3）四国教材在运算难度因素上的共性与差异

如图3所示，从整体来看，四国教材的例习题在运算难度因素上表现出“轻识记、重运算”的特点，并且更加突出代数运算的重要性. FTB例题注重基础的数值运算，而习题则强调代数运算，这体现了“小步子、低坡度”的训练原则.

从例题在运算难度因素的表现来看，CTB、ETB、JTB的例题在运算各水平的走势一致，近半数为简单符号运算. 其中，在“无运算”水平上，CTB（0%）的题目数量最少，其次是FTB（3%）和JTB（3%），而ETB（7%）的题目数量最多. 值得注意的是，ETB中有一些解释数列模型拟合度的例题，这些题目侧重于考查学生计划和调整策略的能力. 这正是英国《课标》所强调的核心理念：“利用数学知识，在解决纯数学和各种背景下的问题时做出合乎逻辑和理性的决定，并清楚地传达这些决策的数学原理.”［16］在FTB例题中，近一半（49%）的题目涉及简单的数值运算，重点在于学生对数列定义及其相关术语的理解与计算，主要考察学生识别数列类型、确定公差或公比、求解数列某几项的能力，强调公式的灵活应用，没有（0%）复杂符号运算. 在CTB例题中，近一半（49%）的题目涉及简单的符号运算，大多数立足于生活情境，从具体背景中提取数列基本要素进行代数运算，或求解“知三求二”的联立方程问题.

从习题在运算难度因素的表现来看，CTB和JTB的习题在数值运算和简单符号运算上的走势一致，相差不到3个百分点，但JTB的整体运算难度高于CTB，体现在更少的无运算习题（0%）和更多的复杂符号运算习题（30%）. FTB习题的运算难度低于其他三国，仅有12%的复杂符号运算习题；而ETB习题中超过半数（56%）涉及简单符号运算.

（4）四国教材在推理难度因素上的共性与差异

如图4所示，从整体来看，除FTB外，CTB、JTB、ETB的例题均呈现“中间高、两头低”的分布特点.

从例题在推理难度因素的表现来看，CTB、ETB、JTB的趋势一致，大约一半的题目需要简单推理，而无推理和复杂推理题目的占比均在25%左右. 其中，CTB的无推理题目（26%）和复杂推理题目（23%）相差3个百分点，JTB的无推理题目（18%）和复杂推理题目（32%）相差14个百分点，ETB的无推理题目（17%）和复杂推理题目（24%）相差7个百分点. FTB的例题显示出随着推理水平的上升，数量逐渐减少的趋势，非常注重基础性和示范性，强调通过学习例题来提升学习者的实际解题能力，充分发挥例题的示范引领功能［17］.

从习题在推理难度因素的表现来看，在四国教材中，简单推理习题的数量最多，其中ETB的占比最高，达到68%，其次是JTB，占比为60%. 接着是FTB和CTB，分别占56%和49%. 值得注意的是，FTB和CTB中无推理题目的比例高于复杂推理题目，而JTB和ETB的情况则相反.

（5）四国教材在知识含量难度因素上的共性与差异

如图5所示，从整体来看，除ETB外，其他国家的教材例习题呈现出随着知识含量难度的提升，题目数量逐步减少的趋势.

从例题在知识含量难度因素的表现来看，CTB和JTB在知识含量难度因素的各个水平上的表现一致，呈现出随着知识含量难度的提升，题目数量逐步减少的趋势. 两国教材均强调题目的基础性，不存在显著差异. ETB的例题倾向于体现题目的综合性，其中52%的题目涉及两个知识点，例如将数列的通项公式、求和公式与不等式相结合，或已知数列某几项的和逆推公差（公比）和通项公式. FTB的绝大多数例题（92%）仅涉及一个知识点，并且分布在每一个小知识点的后面，起着巩固新知、供学生模仿解题的作用；只有少数题目（8%）涉及两个知识点，多出现在章末的“Modéliser avec une suite”栏目中，注重模型思想，将数列和不等式相结合，以求解满足实际条件的最大项数.