模型构建讲“定义”，分层强化促“应用”

［摘  要］ “投影向量”与“数量投影”尽管是两个不同的概念，但由于涉及“投影”内容，因此存在一定的关联性. 在教学“投影向量”与“数量投影”的过程中，研究者结合模型开展知识梳理，引导学生深刻理解，通过实例强化让学生掌握应用方法与解题技巧，进而提升学生分析、解决问题的能力.

［关键词］ 模型构建；分层强化；定义；应用；投影向量；数量投影

新课标明确指出：向量的投影是高维空间到低维空间的一种线性变换，知识核心为将平面向量投影的结果由“数量”变为“向量”，引出了“投影向量”的概念. 基于新课标的要求，教学中需要教师着重指导学生掌握“投影向量”这一知识点，并结合“数量投影”进行对比探究.

知识梳理，教学指导

“投影向量”与“数量投影”尽管是两个不同的概念，但由于均涉及“投影”内容，因此存在一定的关联性. 在实际教学中，笔者从定义出发，开展知识梳理，引导学生深刻理解，并结合模型构建公式和求法.

1. 投影向量的教学

在投影向量的教学中，需要引导学生关注两大知识模块：一是结合图形深刻理解模型，二是构建模型探究计算公式.

（1）定义教学

（2）实例引导

（3）公式教学

2. 数量投影的教学

“数量投影”与“投影向量”最为显著的区别是前者侧重“数量”，在几何上突出“长度”；而后者则侧重“向量”，在几何上突出“方向”. 对于数量投影的教学，建议立足模型，结合投影向量来完成.

（1）定义与求法构建

（2）复合讨论

强化教学，分层引导

“投影向量”与“数量投影”是基于同一投影模型所构建的定义，在学生理解了定义、构建了模型、总结了公式之后，笔者接下来采用分层引导、应用强化的教学方式，设置具有层次性的实例问题，引导学生应用所学知识突破难点，并总结出解题思路.

第一阶段：巩固基础，应用定义

该阶段需要引导学生巩固基础，并应用定义来解决问题. 建议设计一些与投影向量与数量投影相关的一般性问题，在解题过程中引导学生深入理解两个定义的本质差异及其内在联系.

教学总结 在处理投影向量问题时，学生需要明晰共线关系和转换思路. 根据投影向量的定义可知，投影向量与投影所在的向量共线. 因此，将问题转换为该向量的数量投影与投影所在向量上的单位向量的数乘运算.

第二阶段：能力进阶，综合应用

该阶段旨在进一步提升学生的解题能力，引导他们深入探究投影向量和数量投影之间的联系，涵盖求解系数、模长、参数、角度等方面的问题. 这些问题通常需要通过逆向定义来解决，教学中引导学生基于公式和解法，构建等式或不等式，通过代数运算来突破.

教学总结 对于与投影向量、数量投影相关的不等式、等式以及恒成立问题，学生可立足基本定义和公式，结合代数简算技巧转化问题，关注其中的角度取值，逐层剖析求解. 在处理涉及几何图形的问题时，学生应掌握几何特性，并构建相应的向量模型.

教学反思，学习建议

1. 立足模型，知识讲解

“投影向量”与“数量投影”是高中数学中较为特殊的知识内容，它们相对抽象，学生理解起来存在一定的难度. 在教学中，建议采用模型辅助讲解，并借助直观图形，从“数”和“形”两大角度指导学生推导并理解定义. 在教学时，需要注意两点：一是展示模型构建的过程，并引导学生把握设定条件，合理转化数学语言；二是注重知识定义之间的联系，引导学生进行对比和区分，从而透彻理解定义.

2. 分层进阶，应用强化

定义教学的第二阶段为应用探究，因此教学“投影向量”与“数量投影”时，必须安排应用探究环节. 在此阶段，教师应运用“分层进阶”的教学策略，帮助学生巩固基础知识、总结解题方法，并在此基础上拓展思路、发散思维. 问题的设计是此阶段教学的关键，需要教师精选问题，从“基础定义问题”开始，逐步过渡到具有挑战性的“能力提升问题”.

3. 思维引导，综合提升

在高中数学的定义教学中，教师要密切关注学生的思维活动，着力于培养学生的数学思维能力. 特别要关注两个阶段：一是定义的构建过程，结合合情推理和演绎推理，按照知识的生成过程设计教学环节，引导学生循序理解定义；二是问题的解析过程，引导学生逐步分析问题，整合题设条件，探索解题思路. 教师可以运用提问的方式，引导学生思考，从而提升学生的数学思维能力.

结束语

关于“投影向量”与“数量投影”的深入探讨，笔者建议采用专题教学法，围绕模型构建定义，总结公式及其求解方法，引导学生直观理解. 在此基础上，教师分层设计问题，引导学生应用知识并加以巩固，同时注重知识的整合与合理拓展，从而提升学生的综合应用能力.