圆过定点问题的解法探究与教学思考

［摘  要］ 圆过定点问题常作为压轴题出现在高考中，研究其解法有助于学生深化对相关知识的理解. 求解圆通过固定点问题的常用方法有向量法、方程法和赋值法三种. 教师在讲解方法时，应注重阐释基本原理，帮助学生自主构建解题策略. 研究者深入探究了圆过定点问题的解法，并提出了一些相应的教学建议.

［关键词］ 圆；定点；向量法；方程法；赋值法

圆锥曲线问题类型多样，能够全面考查学生的知识水平和解析思维. 圆过定点是其中较为典型的问题，综合了圆锥曲线、方程、定点等知识内容，考查学生对圆锥曲线的理解，以及对定点问题的求解方法和技巧的掌握. 在教学中，教师可设置探究专题，引导学生结合实例总结圆过定点问题的求解策略.

求解策略的探究

圆过定点问题的“代数”与“几何”属性鲜明，因此求解时采用数形结合的策略. 具体解法有三种：一是向量法，利用向量知识求解；二是方程法，基于位置关系构建方程求解；三是赋值法，采用“从‘特殊’到‘一般’”的推导思路求解. 下面构建解法策略，并结合实例开展解题指导.

1. 向量引入，定点推导

2. 方程构建，定点破解

思路分析 本例题为以椭圆和直线为背景的综合题.第（2）问探究圆是否过定点，可运用“假设—推理”的思路求解. 解析定点时建议运用方程法，先推导出圆的方程，再基于“方程对参数的任意值都成立”求出定点的坐标.

思路分析 本例题为以椭圆为背景的综合题，题设两问，第（1）问求的是与等差数列相关的实数m的取值范围，第（2）问探究的是圆是否过定点. 对于第（2）问，可以采用赋值法求解，即先关注其中的特殊情形，提取定点，再论证该定点与变量无关.

探究后的教学思考

上文探究了圆过定点问题的三种求解策略，并结合实例进行了应用指导. 可参考上述思路，按照“方法原理讲解→实例应用指导→解后总结反思”的流程构建教学方案. 通过深入反思，提出三点教学建议.

建议一：透视问题，解读方法

圆过定点问题在圆锥曲线的研究中具有特殊性，教学时应引导学生透视问题的本质，并详细阐释解题方法. 圆过定点问题，实质为动圆问题，所求圆上定点不受变量限制或不包含参数. 在讲解三种破解方法时，需关注三个要点：一是方法的思想内涵，例如方程法的方程思想，赋值法的“从‘特殊’到‘一般’”思想；二是方法的基本思路，例如向量法所依赖的“直径所对的圆周角为直角”这个定理；三是策略的分步构建，即具体化解法，概括解题步骤.

建议二：实例讲解，思维引导

在实例应用指导环节，建议按照“问题解读→思路分析→过程构建”的流程来展开学生的思维. 整个过程通过合理设问，引导学生深入理解问题条件，根据这些条件思考并选择适用的解题方法，然后综合运用相关知识构建解题过程. 在引导过程中，需要向学生强调两点：一是圆锥曲线的位置关系；二是核心条件的转化与构建.

建议三：解后反思，归纳总结

在完成解题之后，建议引导学生深入反思解题过程，归纳总结解题方法，积累解题经验，并将其内化为个人的解题策略. 反思内容建议包括三个方面：一是反思所选方法与问题特点的关联；二是反思解题过程中对核心条件的处理思路；三是反思解题过程中所采用的简化技巧，以及是否存在其他潜在的优化空间. 通过解题反思，可使学生充分理解解题过程，从而促进其思维能力的提升.

结束语

圆过定点问题作为圆锥曲线中的典型问题，开展解法策略的探究对于提升学生的解题能力具有重要意义. 上述所总结的三种解法适用于各种类型的圆过定点问题，教学中需要引导学生充分掌握这三种解法，并能灵活运用于解题，同时深刻理解其中的数学思想，以提升思维水平.