关于“非主流”对称性的应用探究教学

［摘  要］ “非主流”对称性在函数问题中十分常见，教学中需要设置探究专题，指导学生利用对称性解析问题，构建解题思路. 研究者结合实例开展“非主流”对称性的应用探究教学，并提出相应的教学建议，以期能为复习教学和备考提供帮助.

［关键词］ 对称性；应用；函数；零点；不等式；范围

对称性是函数的重要性质之一. 在教学中，教师通常会以奇偶性为切入点，随后通过实例加深学生对对称性、周期性和单调性的综合理解. 这一过程往往注重求值问题的探讨，而忽视与其他知识的整合. 在复习备考阶段，建议从知识整合的角度出发，引导学生探索一些“非主流”的对称性应用，并总结出相应的解题方法和技巧.

应用探究，过程指导

“非主流”对称性的应用领域非常广泛，建议围绕以下四个模块开展教学探究：函数零点的对称分布、构造具有对称性的函数、利用函数的对称性解析不等式、结合函数的对称性推导参数的取值范围. 在教学过程中，应梳理知识内容、解析思路，并结合实例进行应用指导.

应用探究一：函数零点的对称分布

在解决具有对称性的函数零点问题时，可以应用函数零点的对称分布来简化解题思路. 解析问题可以分为两步：首先，明确函数的性质，例如周期性、对称性等；其次，绘制函数图象，结合图象解决问题［1］79.

解后总结 通过函数零点的对称分布可以简捷地绘制图象. 在教学指导时，需关注两个关键点：一是指导学生归纳总结常见函数的对称形式，并推导出数式关系；二是构建对称分布求解策略，形成分步思路：对称探索→绘制图象→应用数形结合求值.

应用探究二：构造具有对称性的函数

构造具有对称性的函数的具体思路为：若目标函数自身不具有对称性，可以通过变形和转化的方法，构造一个具有对称性的函数，进而利用函数的对称性来分析和求解问题. 另外，对于题目中关于点或线成对称关系的两个函数，可以从整体上将其视为具有对称性的函数，从宏观角度探究其性质［1］80.

解后总结 该问题的解决方法主要利用了函数的对称性质，将两点间距离的最小值问题转化为点到直线距离的最小值问题，这本质上是对导数几何意义的应用. “构造具有对称性的函数”这一技巧，具体使用时蕴含着两层深意：一是通过变形转化，构造具有对称性的函数；二是从整体上审视函数，把握其对称性.

应用探究三：利用函数的对称性解析不等式

利用“非主流”对称性还可以解析不等式问题，常见于复合函数问题中. 在具体求解时，建议采用函数构造技巧，以简化函数结构；利用导数知识分析并明确函数的性质，特别注意函数的对称性，并结合这些性质来解析不等式.

例3 设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f′（x）>f（x）+1，f′（x）=f′（6－x），f（3）=1，f（6）=5，则不等式f（lnx）+2x+1<0的解集为______.

思路引导 该问题给定了与函数相关的关系式，涉及原函数f（x）和导函数f′（x）. 探求与函数相关的不等式的解集，属于函数不等式问题的范畴. 解析该题的核心在于掌握函数与导数的性质. 针对这类问题，建议先构造函数，再利用函数的对称性来解决.

解后总结 上述解析过程被细分为三个阶段：首先，通过构造函数来简化问题；其次，分析函数的性质以揭示其对称性；最后，利用函数的对称性来转化不等式并推导出解集. 整个过程涉及了导函数f′（x）的轴对称特性和原函数f（x）的中心对称特性. 在教学指导中，应注重引导学生发现对称关系，并在必要时通过图象辅助解释.

应用探究四：结合函数的对称性推导参数的取值范围

在函数与导数的问题时，可以利用函数的对称性来探讨参数的取值范围. 在通常情况下，题目会给出函数对称性的条件，求解参数的取值范围. 此时，可以从存在性的角度进行分析，即假设函数对称性成立，然后推导出参数的取值范围. 对于复合函数的问题，则可以通过构造两个函数在同一定义域下的交点进行求解.

解后总结 利用函数的对称性推导出参数a的取值范围，整个求解过程的关键点有两个：一是分析函数的性质，将原问题等价转换为交点问题；二是采用数形结合的方法，分类讨论两种情况，反向推导出参数a的取值范围. 在实际教学中，教师可从存在性视角逐步剖析并讲解这类问题的解决策略.

教学反思，学习建议

1. 知识总结，方法归纳

对称性是函数的特殊性质，是研究函数周期变化的重要内容. 教材中仅呈现了部分常见函数的对称性，相对较为简单. 然而，实际考查涉及许多特殊的、非主流的对称函数. 因此，教学中教师应引导学生关注对称函数的关系式，并总结探究方法与解析策略. 可以一些常见的“非主流”对称性函数为例，指导学生剖析函数的对称性，结合图象进行直观理解［2］.

2. 应用探究，思路引导

“非主流”对称性函数种类繁多，在解题过程中具有广泛的应用. 在教学中，建议结合实例指导学生进行探究，强化思路引导，让学生感悟方法、积累经验. 本文从“函数零点的对称分布”“构造具有对称性的函数”“利用函数的对称性解析不等式”“结合函数的对称性推导参数的取值范围”四个维度，深入探讨了函数对称性的应用. 在教学实践中，教师可以借鉴”问题设定→思路引导→过程指导→解后总结“的流程来完成教学.

3. 拓展探究，知识升华

在“非主流”对称性的应用探究教学中，还应当注意合理拓展、升华知识. 在上述围绕四个知识模块开展的应用探究中，还可以将这些知识拓展到方程、模型等领域，引导学生深入探究. 拓展教学需要注意三点：一是多方面拓展升华，包括知识点、思维方法、转化策略；二是适度拓展，注意合理性，难度不宜过大；三是注意结合实例，帮助学生巩固知识［3］.

4. 思想渗透，素养提升

上述对函数对称性的研究探讨，涉及了思想方法的灵活运用. 例如，结合构造思想构建函数，利用转化思想转换问题，以及通过数形结合与分类讨论来直观分析各种问题情境. 在教学中，建议教师合理渗透数学思想方法，引导学生探索构建过程，让学生逐步领悟、深刻体会数学思想方法的内涵，掌握其精髓，从而提升数学素养.

写在最后

对于“非主流”对称性的应用探究教学，需要结合实例进行分析和指导，让学生深刻感知函数对称性的应用，总结解题方法和经验，从而提高解题能力. 在引导过程中，需要注意两点：一是合理结合图象，使学生能够直观感知知识；二是合理渗透数学思想，从思想层面上提高学生的解题能力.

参考文献：

［1］ 袁涛，陆娅君，张和平. 探求函数对称性质，厘清函数解题思路：由一道高考题引发的“函数对称性问题”的思考［J］. 数学教学通讯，2023（6）：78-80

［2］ 唐新阳. 活用数学教材，挖掘习题特质：以一道课本习题探究一类指数型分式函数的对称中心［J］. 中学数学，2023（1）：25-26+48

［3］ 高翔. 对称问题的解题策略示例［J］. 中学数学教学参考，2023（27）：33-34.