基于同构思维优化解题思路　发展运算素养

［摘  要］ 同构法是优化解题思路的一种有效方法. 研究者从代数结构同构、几何特征同构、算法算理同构以及几何特征同构与代数结构同构相互转化的视角，浅析如何优化算法，以提高学生的数学思维能力与数学运算素养.

［关键词］ 同构思维；解题思路；优化；运算素养

问题提出

“三新”背景下的高考试题，对学生的计算能力和思维能力提出了较高的要求. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神［1］7. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等［1］7.

解题是发展数学运算素养的重要途径.著名数学教育家波利亚指出：“掌握数学就是意味着善于解题.”他在《怎样解题》中提出了解题的四个阶段：弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾反思，为数学解题提供了清晰的路径［2］.

当学生遇到一些综合性较强的数学问题时，常常由于题目计算量大、解题过程烦琐而不能求得结果.在这种情况下，需要从不同的视角重新审视问题，探寻新的解题路径，以确保问题能够顺利解决. 同构思维正是化烦琐为简便的一种数学思维方式.

解法探究

1. 代数结构视角下的同构问题

2. 几何特征视角下的同构问题

3. 算法算理视角下的同构问题

例3是一道难题，其难点在于学生必须在有限的时间内准确完成计算. 本题需要利用P，Q，R三点的纵坐标来建立方程.在联立直线l与直线MA的方程求出点P的纵坐标后，观察到直线MA与直线MB的关系，于是把“a”换成“b”；观察到直线MA与直线FA的关系，于是把“m”换成“－m”. 通过“算法算理”的同构，轻松获得Q，R两点的纵坐标. 圆锥曲线是高考数学的必考知识点，对学生的数学运算能力有较高的要求.“算法算理”的同构应用，是优化解题步骤的有效方法.

4. 几何特征与代数结构相互转化视角下的同构问题

教法反思

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：数学高考命题应依据人才选拔要求，发挥数学高考的选拔功能［1］89. 作为一项选拔性的考试，高考具有一定的区分度. 其中，运算能力是一个关键因素. 学生是否能在限定时间内得出正确答案，在很大程度上取决于他们是否能够优化算法. 培养学生的运算能力，可以从以下三个角度入手.

1. 教师引导

学生从不同的角度优化解题思路的意识需要教师在日常教学中进行培养. 在数学教学中，教师不仅要教授学生解决问题的通性通法，还要引导学生在应用通性通法时，若发现过程过于烦琐，应从不同角度重新审视运算对象，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果. 通过长期的思维训练，学生将在“润物细无声”中形成有序的思维习惯，从而提升数学运算素养.

2. 学生探究

学生通过独立思考、自主学习以及与同学间的合作探究和交流所获得的方法，才是学生真正需要掌握的方法. 传统的灌输式教学“硬塞”给学生的方法，学生往往难以理解，更不用说融会贯通. 因此，教师在课堂上应设计能够激发学生探究“优化解法”的题目，为学生提供探索“优化解法”的机会，鼓励学生思考、讨论、表达，从而提升他们的数学思维能力.

3. 解题反思

反思与总结是自我提升的重要途径. 在求得运算结果之后，需要对运算思路、运算方法、运算程序进行彻底的回顾，反思能否设计不同的运算程序以改进运算过程，从而找到更为简捷高效的运算方法. 将反思与总结培养成一种习惯，有助于提高学生的数学素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 波利亚. 怎样解题［M］. 上海：上海科技教育出版社，2007.