“现实世界”还是“世界”更合理？

［摘 要］《义务教育数学课程标准（2022年版）》（全文简称《课程标准》）“三会”中的每“一会”都强调“现实世界”。文章认为，“现实世界”中的“现实”二字可以删掉。从本质上讲，数学研究的对象并不都是现实世界之物，大多数是非现实世界中的想象之物或观念之物；现实世界与非现实世界并非完全对立，其界限也不分明，二者是相对的，具有辩证统一的关系，非现实世界中的很多问题可以用数学知识去解决。从数学应用的广泛性和发展学生想象力的角度来讲，删去“现实”二字是合理的。

［关键词］《课程标准》；“三会”；现实世界；非现实世界

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）11-0025-05

一、问题的提出

《课程标准》强调数学课程要培养学生的核心素养，主要包括三个方面：（1）会用数学的眼光观察现实世界；（2）会用数学的思维思考现实世界；（3）会用数学的语言表达现实世界。这“三会”的每“一会”中都有“现实世界”四个字。有学者指出，强调“现实世界”是为了给人们认识、理解和表达数学知识提供相应的语言、方法和工具。但笔者认为将“现实世界”改为“世界”更合理，因为这样更符合数学应用的广泛性。

从宏观世界的角度来讲，现实世界只占整个世界的一小部分，让教师和学生一直考虑现实世界，其思维是受束缚的，甚至会有“林黛玉进贾府”的感觉——步步留心，时时在意，不肯轻易多说一句话，多行一步路。做什么事都要考虑现实世界，会让人束手束脚，想象力受到束缚，丧失冒险精神，创新思维的发展也会受到阻碍。还可以从“世界”或“现实世界”的定义来说明删掉“现实”二字的重要性，但是并非所有的概念都是容易定义的。哲学家维特根斯坦认为，有些事物根本没有共同的本质，只有“家族相似”的成分。因此，需要另辟蹊径来论证：数学不仅应用于现实世界，在其他世界（观念世界、想象世界、过去世界、将来世界等）中也有着广泛的应用。德国思想家恩格斯认为数学是一种研究思想事物的抽象科学。从这个角度来说，数学不是存在于现实世界之中，而是存在于观念世界、想象世界等世界之中。而小学数学教材中有些数学概念存在于非现实世界中，如直线、射线、角、无限循环小数等，现实世界中存在的是这些数学概念的原型。下面将详细论述去掉《课程标准》“三会”中“现实”二字的合理性。

二、数学存在于非现实世界

（一）数学概念存在于非现实世界

数学概念和其他具体事物的概念一样，都是从同类事物中抽象出本质特征。不过，数学概念和其他具体事物的概念也有着本质区别——数学概念具有抽象性，在现实世界中是看不到的，如函数、矩阵、四元数等在现实世界中并不存在；其他具体事物如桌子、椅子等，它们的概念虽然抽象出来了，但是在现实世界中仍存在实物。

数学世界究竟是一个什么样的世界？古希腊数学最初属于哲学领域，数学家是在哲学家的学园里成长与发展的，如柏拉图创办的柏拉图学园就培养了很多数学家。古希腊哲学不仅研究现实世界，还研究非现实世界，如思维世界、理念世界、想象世界等。受哲学研究内容的影响，数学也研究非现实世界中的存在物。如欧几里得的《原本》研究的就不是现实世界，而是在柏拉图“理念论”的指导下研究理念世界的数学真理。显然，理念世界不是现实世界。

小学数学教材中的自然数、分数、小数、百分数、线段、直线、射线、正方形、长方形等概念及运算符号、公式、定理等在现实世界中并不存在，存在的仅仅是它们的原型。如正方形在现实世界中是不存在的，但是正方形的物体在现实世界中是存在的。有些数学概念是从现实生活世界中抽象出来的，抽象出来之后就成了数学的研究对象，进入非现实的数学世界。也就是说，这样的数学概念并不存在于现实生活中，只是其原型存在于现实生活中。到了中学乃至大学，数学的研究对象与内容更为抽象。随着抽象程度的提高，数学越来越脱离形象具体的现实世界，越来越接近非现实世界的中心或自身抽象的本质。

许多数学概念如负数、无理数、复数等，存在于非现实世界中，给人们认识这些概念造成了困难。例如，在16世纪、17世纪，欧洲的许多数学家并不承认负数是数，即使承认了，也并不认为负数是方程的根。又如，在公元前400年左右出现的第一次数学危机中，古希腊人并不承认无理数的地位。无理数是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的形式，这在当时是脱离人类现实生活世界的，不能被古希腊人理解也在情理之中。直到19世纪末，数学家康托尔、魏尔斯特拉斯和戴德金才真正理解了无理数。至此，无理数的合法地位才得到承认。无理数是被构造出来的，这就说明无理数存在于非现实世界中。再如，在数学史上，复数伴随着解方程而产生。法国数学家笛卡尔摒弃“复数”，造出了“虚数”。由此可以看出，复数是现实世界中不存在的数。牛顿也不认为复数根是有意义的。莱布尼茨认为虚数是介乎于存在与不存在之间的两栖数，那个我们称之为虚的-1的平方根。人类对复数的认识经历了一个漫长而曲折的过程，经过莱布尼茨、欧拉、棣莫弗、韦塞尔等几代数学家的努力，直到19世纪，在高斯和其他数学家的推动下，复数在数学中的地位才得以巩固。

还有很多的数学概念不是建立在现实生活的基础上，而是建立在抽象的数学概念和数学思想的基础上的，如四元数。有些数学概念是经过二次甚至三次抽象才形成的，因此与现实世界的距离越来越远。从这个层面来说，小学数学也应强调非现实世界的重要性。

（二）数学理论存在于非现实世界

人类生活的地球空间在一定程度上来说是欧几里得空间，是人们现实世界经验的空间。但黎曼几何、罗巴切夫斯基几何等非欧几何则是想象的几何学或理论推导的几何学，不是人类现实世界的几何学。从罗巴切夫斯基双曲几何的角度来讲，双曲几何学是脱离人们现实生活世界的，它们存在于人类的想象世界或非现实世界。如果人类仅仅用数学解决现实生活世界中的问题，而不去考虑想象世界中的问题，那么非欧几何是不可能产生的，甚至数学也不会产生。因为数学的本质是抽象，即使是欧几里得几何学，也是数学家从现实世界中抽象出来的。从这个层面上来讲，欧几里得几何学也不是人类现实世界的几何学，因为欧几里得几何抽象出来之后就不存在于现实世界了。

无理数被数学家发明出来，说明数学是发明的科学，而不仅仅是发现的科学。作为发明科学的数学真理也不存在于现实生活世界中，而是存在于非现实世界中。这种观念更强调数学的非现实性，因为数学是发明的，所以现实世界不存在数学，否则就不应该叫作发明，而应该叫作发现。如果仅仅从现实生活世界来认识数学、学习数学和创造数学，那么这种数学观就有些狭隘，不利于数学的发展和学生创新精神的培养。可以这么说，数学的发展既需要现实主义，也需要浪漫主义。数学定理、公式、法则等也像数学概念一样，主要存在于非现实世界之中。

欧几里得的《原本》是一部基于定义、公设、公理进行演绎推理的数学著作。公理化体系本身就是一个世界，而且是一个非现实的世界。欧几里得《原本》中的5个公设都不存在于现实世界中，而是为了研究方便而假设出来的。数学上有很多的假设，科学上也有很多的假设，这些假设的世界并非现实的世界，否则就不是假设的世界。欧几里得《原本》受到后人推崇，牛顿的《自然哲学之数学原理》就是采用《原本》公理化体系的形式建构的，爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论也是用欧几里得《原本》的范式建构的。爱因斯坦在狭义相对论中有两个公设，一个是光速不变原理，另一个是相对性原理，这些东西都是假设的，假设的东西在现实世界中当然是不存在的。从欧几里得《原本》中看不到其与现实世界的联系。可以说，欧几里得刻画的不是一个现实世界，而是一个非现实世界。

以《九章算术》为代表的中国古代数学，反映的是现实世界中的数学。不过，根据华东师范大学顾泠沅寻找中西方教育上的“中间地带”的思想观念，去掉“现实”世界也是应该的。我们需要接受一个包括现实世界在内的更大范围的世界。数学的学习与研究要解放思想、实事求是、转变思想观念，要敢于接受新鲜事物，不仅要接受现实世界的事物，还要接受非现实世界的事物。

大学数学专业学习的高等代数、实变函数、泛函分析和拓扑学等知识所存在的理论世界虽然与现实世界有关，但是理论世界不是现实世界。如果这些知识在现实世界中存在的话，那么学生学习的难度就会大大降低。但事实并非如此，这就说明这些知识主要存在于理论世界中，而不是现实世界。

（三）数学的本质存在于非现实世界

数学与人文艺术学科一个最大的不同点是其本质是脱离现实生活的。文学艺术虽然像数学一样来源于现实生活，但是文学艺术没有脱离现实生活。即使有很多夸张的成分，文学的语言仍然是形象具体的语言。如李白的“白发三千丈”，如果从数学的角度来讲就是在描述头发的长度，可以用尺子量一量。数学已经从现实生活中抽象到另一个世界，即非现实世界——数学的理论世界。理论数学研究的不是现实世界中的东西，而是抽象的想象世界或观念世界中的东西。

例如，“无限”这个概念在现实世界中是不存在的，因为人类的现实世界是有限的。“无限”是人类想象出来的，如果仅仅局限于现实世界，是无法获取无限的。

纯粹数学研究的对象都是想象之物或观念之物，而不是现实世界的自然之物或社会之物。如果仅让小学生研究现实世界中的问题，那就只强调了数学的生活化，而把数学的本质给忽略了。因为数学的本质是抽象的，是脱离现实生活世界的。仅仅让学生在涉及现实生活世界的问题时才考虑数学，在想象的抽象世界或其他世界不考虑数学，这样的学习就偏离了数学抽象的本质，不利于学生构建对数学的全面认识，也不利于数学教育的推进。应用不是数学的本质，数学广泛的应用性不能说明数学是存在于现实世界之中的，只能说明非现实世界的数学在现实世界中有着广泛的应用。数学毕竟不是生活，它虽然来源于生活，在现实生活世界也有着广泛的应用性，但这些仅仅是数学的非本质属性，而不是数学的本质属性。人类认识无理数的过程说明了数学是可以脱离现实生活世界的，数学世界是一个人造的世界，很多的数学概念、思想方法或数学理论不存在于现实世界，而是存在于理论之中或想象的世界之中。德国数学家康托尔认为，数学的本质在于它的自由。由此看来，人们可以根据自己的兴趣爱好或个人需要主动地创造数学。当然，这样创造出来的数学不存在于现实世界之中。如果人们事事从现实世界出发，对现实世界中没有的事物便无所作为，那么创新便无从谈起。

三、现实世界与非现实世界的关系

（一）现实世界与非现实世界的辩证统一性

现实世界与非现实世界两者之间没有关系吗？显然不是。首先，人类生活的这个世界是不分现实世界与非现实世界的。这个世界本来就是统一的整体，人类出现之后，为了社会生活或学习研究方便，就把世界划分成了现实世界与非现实世界。从这个意义上讲，两个世界是有着密切联系的，至少两者的边界是模糊的。甚至有些学者认为非现实世界，如虚幻的世界也是现实世界的一部分，至少虚幻世界是现实世界的反映。人们常说：“日有所思，夜有所梦。”人们在梦中见到的是一个非现实的世界。梦中的虚幻世界是现实世界的反映，这也说明现实世界与梦中世界有着密切的联系。按照“庄周梦蝶”的观点，梦中的世界也可能是真实的，现实世界也可能是虚幻的。如果做梦的时间很长，而且天天做梦，醒来的时间很短，那么梦里的世界反而成了“现实世界”。这就颠覆了人们对现实世界与非现实世界的传统认识，但体现了现实世界与非现实世界的相对性。

《聊斋志异》讲的是非现实世界中鬼、狐、仙、妖的奇幻故事，也揭露了封建社会的弊端。神话故事《西游记》描写了一个非现实的世界，这个非现实世界给学生带来了无尽的想象，让小学生心驰神往。《红楼梦》中有一副对联“假作真时真亦假，无为有处有还无”，强调了现实世界与非现实世界二者之间的辩证统一关系，现实世界也有很多虚假的现象。换言之，可以认为某个世界是真的，也可以认为某个世界是假的，现实世界和非现实世界之间没有绝对清晰的界限。

（二）从视野大小强调非现实世界的重要性

人类观察世界的角度可以分为宇观、宏观和微观。天文学主要研究的是宇观世界，爱因斯坦的广义相对论研究的是大尺度的宇观世界，这个世界比我们所强调的宏观世界还要大得多，牛顿经典力学研究的是宏观世界；量子力学则研究微观世界。在宇观世界、宏观世界和微观世界三个世界中，宇观世界是现实世界吗？当然，我们不否认有部分内容是研究现实世界的。例如夜观天象，看到了满天的星斗和银河系。但是宇观世界的更多内容是以非现实世界的形式存在而被我们认识的，例如天文学中“宇宙大爆炸”模型肯定不是现实世界的，而是理论世界的。从宇观世界来讲，人们对宇宙的认识不是主要来自现实世界，而是来自天文学的理论世界。人类的这个现实世界可能更多的是一个宏观的世界，这个世界的范围主要是地球上的万事万物。量子力学世界就不能说是现实世界，因为量子力学研究的内容太微观了，那是我们凭肉眼难以觉察的微小存在。量子力学的世界对大多数人来说不是现实世界，而是理论世界或虚幻世界。那么，在小学数学教材或科学教材中，教师该不该强调这个微观的非现实世界的重要性呢？事实上，在小学数学或其他学科的教学中也应适当介绍量子力学微观世界的有关知识，至少要让小学生有所了解。也就是说，教师应该在义务教育阶段的教学中强调非现实世界——量子世界的重要性。