发展学生几何推理能力的策略探究

［摘 要］文章以“平行四边形的面积”一课为例，通过“探”“验”“展”“思”四个策略进行教学重构与实践，使学生探索平行四边形的转化过程，从直观感知到抽象理解，深刻把握平行四边形与长方形的联系，关注平行四边形的底和高的对应关系，自主构建平面图形的知识体系。

［关键词］平行四边形的面积；几何推理能力；策略

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）11-0079-03

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验是学不会的。”在“平行四边形的面积”教学中，教师应确保学生有充分的时间去经历过程，在操作活动中建立面积公式模型，为学习其他平面图形的面积公式积累数学活动经验。

一、“探”基础图形：实现推理过程的进阶性

（一）“探”几何框架

小学阶段的几何知识非常多，这些知识分布在各年级教材中，因此要对几何知识进行梳理，建立几何知识框架。在学习某一图形时，学生必须熟悉该图形的知识前沿和延展，这样才能使学习过程具有系统性、连贯性。例如，在本节课有以下环节。

师：课前，我让同学们尝试求一个平行四边形的面积，同学们用了不同的方法（如图1），让我们来看一看。

生1：第一种方法是先将平行四边沿一条线剪开，再将得到的三角形移到左边，拼成一个长方形。

师：这条线是任意的吗？

生2：不是，要沿着高剪开，因为长方形的四个角都是直角，只有沿着高剪开，才会有直角。

生3：第二种方法是沿着平行四边形的高剪开，分成2个直角梯形，再拼成一个长方形。

师：两种方法都把平行四边形转化成长方形来求解，转化成的长方形和原来的平行四边形有什么联系？

生4：它们的面积相等，长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

在求解平行四边形面积的过程中，学生初步建立平行四边形和长方形之间的联系，构建几何知识框架。

（二）“探”几何语言

几何语言是描述图形的位置、大小及作图过程所使用的术语和符号，几何语言使用的关键是建立图形语言与其他语言之间的关系，将抽象转化为具象，让图形“说话”，化难为易。

例如，在教学“平行与垂直”时，如果仅用文字语言描述往往显得烦琐，因此将文字语言转化为几何语言，用符号“⊥”表示垂直，用符号“∥”表示平行更简洁易懂。

（三）“探”几何方法

直观理解数学的有效途径之一是借助几何图形。因为几何图形能够将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生寻找解题思路。例如以下教学环节。

师：怎么运用平行四边形面积公式呢？我们一起来看看下面这道题（如图2）吧。

生1：平行四边形的底是4 cm，高是2 cm，它的面积=4×2=8（cm2）。

师：为什么不是“4×3”呢？

生2：3 cm不是4 cm（底边）对应的高，而是它的邻边。

确定平行四边形的底及其对应的高是计算平行四边形面积的关键。题目通过出示图形，让学生直观认识平行四边形的底和高，从而加深对平行四边形特征的理解。

二、“验”几何思维：实现推理思维可视化

几何思维是一种从直觉和形象出发思考和解决问题的方式，是几何学中非常重要的思维。然而，几何思维通常具有抽象性，不易直观展现。因此，探索一种能够将几何思维具象化的方法显得尤为重要。

（一）“验”图形转化，拓宽思维空间

图形转化的过程要求具备一定的思维能力，而培养思维能力恰是数学学习的核心目标之一。作为思维训练的一种方式，图形转化可以帮助学生培养自主思考、观察问题、解决问题的能力，提高他们的逻辑思维和创造力。以教材编排的例题（如图3）为例。

看似简单的问题，实则能够激发学生的思维。学生不仅要从形状上去思考，还要观察图形某部分的位置变化，更要去寻找图形变化前后的联系，整个过程都是对思维的挑战。

（二）“验”条件转化，打破思维定式

本节课的教学实践中，教师出示如图4所示的题目，让学生建立已有知识与新知识的联系，掌握条件转化的方法。

条件转化的过程旨在引导学生将已掌握的条件转变为新知识所必需的条件，以便在探索过程中提高学习效率。在这一过程中，学生需要充分调动自己的知识储备，灵活运用所学知识，将看似无关的条件巧妙地串联起来，形成解决问题的关键线索。学生掌握条件转化的技巧，学会从不同角度、不同层面去审视问题，从而打破思维定式，培养灵活多变的思维方式。

（三）“验”方法深化，渗透数学思想

通过图形转化的探究，学生初步建立了平行四边形的面积公式模型，然而，这种理解尚属表层，学生还需要通过求有多组数据的平行四边形的面积来深化理解。比如，选择对应的数据进行计算，并带着验证任务去操作，明确活动目的和方向，让学生由“感”到“悟”，再到”会”，进入到思考、探究、交流中，体验到学习成功的喜悦。

通过这样有目的、有方向的验证操作，学生提升了对结论的理解，这对他们未来的学习具有重要作用。在后续学习中，学生能够运用这种经验进行实际操作，带着目的探究。

三、“展”思维可视化：实现推理历程的深度感

思维可视化是指运用一系列方法把本来不可视的思维过程具体化、形象化。在本节课的教学中，教师通过不同方法，将学生的数学思维可视化。

（一）“展”学情，激发探究欲望

对于平行四边形的面积，学生了解多少？学生如何基于长方形的面积计算方法进行思考？针对这些问题，教师设计了关于平行四边形面积的学情前测卷，并对本校四个班的学生反馈的前测卷进行了整理、分析（见表1）。

从表1来看，大部分学生对平行四边形的面积公式有所了解，然而对其计算原理缺乏深入的认识。因此，课堂伊始，教师设计了这样的引导环节：“通过前测，同学们已经知道了平行四边形的面积公式，由你们来讲为什么可以这么算。”

看似简单的导入，其实是将传统教学的“怎么样”变成了“为什么”，以此激发学生的探究欲望。

（二）“展”活动流程，内容直观有序

有些问题要让学生动手操作，使思考过程具象化，直观地体验操作的优势，才能理解问题的关键。例如，在本节课教学中，教师设计如下环节。

师（出示图5）：这些平行四边形的面积分别是多少？

生1：都是30 cm2。

师：你是怎么想的？

生1：它们的底都是6 cm，高都是5 cm。

师：教师拿出三个对应的平行四边形，让学生直观操作比较，得到它们的底相等，高也相等。

此环节图文结合，不仅可以明确数据的特点，还能让学生直观感知“同底等高的平行四边形，其面积相等”这一特征。

（三）“展”观察记录，凸显难点细节

了解学生对课堂知识点记忆情况的重要方式之一是课堂活动记录。那么，如何进行小学数学课堂观察记录呢？

教师在明确所要观察的内容和重点后便可以动手制作观察记录表。例如，在拉动长方形框而形成的多个平行四边形中，引导学生利用观察记录表记录拉动前后图形的面积大小，记录学生经历解决问题的过程。学生在拉动长方形框的过程中，不仅明白面积变小是因为高变小了，还会通过数据直接展现面积变小的原因。

四、“思”评价方式：实现推理到经验的蜕变

评价是指在判断的过程中对某种事物下结论。对学生学习效果的评价讲究客观、科学，需要从评价维度、评价主体等多方面考虑，设计不同的评价表。

（一）“思”评价维度是否多元

学生在不同领域的表现、对不同技能的掌握程度存在差异。在课堂学习评价中，展开多维度的评价，能帮助学生找到学习的价值，能在不同维度的评价中看到自己的优势和不足。教师可从“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”三个评价维度设计评价表（见表2）。

（二）“思”评价主体是否多样

评价的主体可以是学生自己，也可以是教师或家长。教师评价较为客观公正，并且具备一定的权威性，可促进学生提高学习能力；学生互评，可在比较中看到学生自己和他人的优缺点，在评价中实现反思能力的增长。评价主体的多样化能让学生在活动中实现有效参与，主人翁的学习意识进一步增强。教师可从多种评价主体设计评价表（见表3）。

在课堂学习中，多元的评价维度、评价主体，既能实现多样性评价，全面掌握学生的课堂学习情况，又能深入分析学生对于学习目标的达成程度，使得教师可以在后续教学活动中进行针对性的调整和优化，进而促进学生在学习实践中提升数学素养。

综上所述，基于教学重构的实践过程，学生将经历多层次的具身操作；通过认知冲突与思考碰撞，经历“探”基础图形、“验”几何思维、“展”思维可视化、“思”评价方式四个过程，学生将积累丰富的数学活动经验，从而发展自身的几何推理能力。

［ 参 考 文 献 ］

[1]    曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]    罗永军.长方形面积计算教学研究[M].上海：上海教育出版社，2013.

[3]    郜舒竹.“平行四边形面积”之难[J].教学月刊小学版（数学），2020（Z1）：4-7.

[4]    宋煜阳.“面积公式推导”教学序列思考与实践[J].教学月刊小学版（数学），2019（4）：8-11.

[5]    方巧娟.应用推广与关系梳理：平行四边形面积公式探索[J].教学月刊小学版（数学），2019（4）：18-20.

（责编    黄    露）