对接已有经验，经历猜想说理，发展推理思维

一、提出问题

数学推理思维可以分为合情推理与演绎推理。小学生由于其思维特征决定了一般采用合情推理进行思维。如何发展学生的合情推理思维？笔者认为，可以从学生的已有经验与直觉着手，引导学生在猜想、想象和说理等活动中切实经历推理的过程，从而水到渠成地发展其推理思维。下面，笔者以“长方形的面积”一课的教学为例具体阐述。

二、案例呈现

1.环节一：在猜想中明确推理方向

活动1：教师用课件呈现图1所示的三个长方形（大小各不相同， ② 与③ 的宽相等），引导学生观察学具盒中相同的三个长方形的面积，思考长方形的面积与什么相关，并说明理由。

学生活动：学生在观察、对比和讨论之后，根据“ ② 号长方形的长与宽都比 ① 号长方形的大"猜想“面积与其长和宽都相关”，并给出理由：如果将 ① 的长与宽都延长到与 ② 一样长，则两者面积相等；比较 ② 与 ③ 的面积，两者宽相等且前一个的长比后一个大一些，前一个的面积也大一些，通过重叠比较可以验证。（教师辅以课件演示进行比较）

教师活动：教师肯定学生的猜想，指出这是出自经验与直觉的猜想，究竟存在哪种关系还要深入探究。

事实上，合情推理在数学探究中的运用是从学生的已有知识与经验出发，教师引导学生经历直觉猜想未知数学结论的过程，这是学生主动进行推理准备的环节，可以为后续的推理奠定良好的思维基础。从以上学生活动不难看出，这一阶段的学生已经明晰了“什么是面积”，且此时学生的思维“最近发展区"处于对长度的认知经验。学生在面临以上问题时依旧会联想到运用尺子测量长方形的长与宽，并生成直觉层面的数学猜想“长方形的长与宽越长，长方形面积就越大”。事实上，这样的猜想不仅是学生直觉层面的猜想，还是基于已有经验的猜想，也是有理有据的猜想，从而极好地将面积与长度架构联结，为后续学生推导面积计算公式指明方向。

2.环节2：在想象中强化推理结论

活动2：看一看，想一想，说一说。

问题1：教师先用课件动态出示《小蚂蚁运粮》的视频（即点动成线），再抛出问题：观察图2，小蚂蚁走过的足迹形成了什么？（学生在观察后很快得出“一条线段"的结论，切实理解“点动成线"）

问题2：我们如何才能知道这条线段的长度？（学生提出“直尺测量”的方法，并演示直尺测量的过程，然后演示图3所示的“线动成面”）

问题3：既然猜想长方形面积与其长和宽有关，究竟有何关系呢？尽管我们没有测量面积的直接工具，但可以通过自制工具“边长是1厘米的小正方形"来测量。（学生取出学具盒中1平方厘米的小正方形，将其铺在长方形的面上，如图4，数出一共需要12个小正方形就刚好铺满该长方形，从而得出长方形面积是12平方厘米。有的学生认为，可以不铺满，如图5所示，横着铺一排，竖着铺一列，从而得出3个4排，并用 4×3=12 ，得出其面积是12平方厘米）

问题4：如果没有这个工具，你有没有方法得出长方形面积？（学生在想象后回答。有的学生认为根据“长是多少可以得出横着摆几个小正方形，宽是多少可以得出竖着摆这样的几排”，用尺子测量它的长和宽得出结论；有的学生认为根据铺满后数个数的方法，可以得出用“长 × 宽”即可得到长方形的面积）

问题5：仅凭一个例子无法证明，让我们张开想象的翅膀，动态变化这些长方形，看看究竟是否存在上述规律。（师生共同运用几何画板演示，通过卷尺测量长方形的长与宽，并不断变化长与宽，最终从方格图逐渐抽象得出长和宽，在抽象推理中得出公式“长方形面积 = 长×宽"）

事实上，充分的数学想象不仅可以增加例子的数量，还能在想象中将数学模型从实际情境中抽象剥离。基于此，合理的想象对于学生的合情推理十分重要，是强化推理结论的重要因素。在推导长方形面积公式的环节中，教师要借助几何画板引导学生围绕面积和长度开展想象与推理，通过随机变化几何画板中长方形的长与宽来增加例子的数量，让学生在广阔的推理空间中亲历从直观操作向抽象推理的转变，从而发展学生的推理思维。

3.环节3：在说理中提高推理 思维

活动3：随着长与宽的继续延伸，长方形的面积不断变大，我们闭上眼睛，想象长方形的长与宽已经延伸到屏幕外面，延伸到教室外面……那么，无论如何变化，它的面积该如何求？为什么？

学生活动：学生从之前的探究经验中很快得出“只需知道长与宽是多少，就可以通过长乘宽探求面积”的结论。

活动4：对于上述结论，你们是否有了清晰的获取过程，谁能简要阐述？

学生活动：可以将求长方形面积想象成铺面积单位小正方形的过程，长就是每排摆的个数，宽就是排数，小正方形的总个数 ？= 每排个数 × 排数，显然总个数即为长方形的面积数，据此得出结论“长方形面积= 长 × 宽”。

想要发展学生的推理思维，离不开有理有据的阐述，学生必须经历数学说理的过程。数学说理就是学生从数学知识、生活常识及自身经验出发，利用数学语言有逻辑地描述发现、表达思考和阐述结论。事实上，数学说理的过程更像是演绎推理的过程。教师在小学数学教学中引导学生开展数学说理，可以深度发展学生的推理思维。在这一环节中，为了使学生科学归纳生成的结论，在学生充分想象后教师引导他们有条理地说理，分析一维空间与二维空间的关系，进而得出长方形面积计算公式。

三、些许思考

1.注重猜想与想象

对于合情推理而言，猜想是不可或缺的环节之一，而想象则是促使学生的合情推理得以深入的载体。因此，教师唯有注重学生的猜想与想象，才能让结论的生成自然而顺畅[1]。在本课的教学中，教师艺术地“铺路搭桥”，为学生的观察、发现、猜想、想象和沟通提供思维支点，使学生顺利展开想象，水到渠成地发展合情推理能力。

2.重视数学说理

编者在呈现教材时往往会省略很多概念与定义生成的细节，这就需要教师深人揣摩编者的设计意图，巧妙设计教学过程，引导学生经历数学发现的过程，通过有理有据的说理，从而获得属于自己的数学概念、公式和定义。环节3的设计无疑为教师设计教学提供了很好的范式，由此可见，学生推理思维的开发，不需要教师苦口婆心地讲解，而是要鼓励学生有理有据地分析和说理，使其在说理中揭示因果关系，增加思考产出，生发推理思维。

总之，对接学生的已有经验，合理开发学生的合理推理，对学生数学核心素养的培养十分有效。在小学数学教学中，教师应有意识、有目的地引导学生合理猜想、展开想象、有效说理，在经历猜想、想象、说理等数学活动的过程中促进学生推理思维的自然发展。

参考文献：

[1]G.波利亚.数学与猜想：数学中的归纳和类比[M].李心灿，等，译.北京：科学出版社，2001.