由一道七年级上学期期中考试压轴题引发的教学思考

压轴题往往阅读量大，覆盖的知识面广，综合运用知识的能力要求比较高，解题难度大，易使学生对问题的解决产生恐惧心理。因此，对于压轴题的分析讲解，要有别于其它习题的讲解，尽量避免就题论题的讲授方式，在讲解过程中要注重对通性、通法的总结，使学生再做题时能够做到心中有想法；要注重数学思想、数学模型的归纳与分析，使学生够顺利突破思维瓶颈，再做题时能做到心中有方向；要注重对解题后的反思，使学生做到知一题而会一片，进而发现命题规律。以下是笔者对由一道七年级上学期期中考试压轴题引发的教学思考。

一、题目呈现

该题是阳山县2023-2024学年第一学期期中教学质量检查七年级数学试题第23题，原题如下：

如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC＝6，AB＝18.

（1）写出数轴上点A，B 表示的数：_________，_________；

（2）动点 P，Q 同时从 A，C 出发，点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t （t＞0）秒．①当 t＝2 时，求出此时PQ的距离；② t 为何值时，点P，Q相距6个单位长度，并写出此时点P，Q在数轴上表示的数.

二、解题分析

（一）题目考查内容与解题分析

本题主要考查的知识点是：实数与数轴、几何动点问题、几何直观、应用意识、分类讨论思想的应用。（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数。

（2）①根据题意得：AP＝3t，CQ＝2t，从而得到在数轴上点P表示的数是：－15+3t，在数轴上点Q表示的数是：9－2t，把t＝2代入可求得在数轴上点P、Q表示的数，最后根据数轴上的两数可求得PQ的距离；②此题三种解法，解法一可根据题意分别表示P、Q两数，再利用绝对值的性质进行求解；解法二可根据题意分别表示P、Q两数，再利用数轴上两数的距离等于右边的数减左边的数分两种情况进行解答；解法三则求出P、Q两点的速度和，然后再分P、Q两点相遇前、相遇后两种情况分别计算出运动时间即可求得P、Q两点表示的数。

（二）解答

（1）设点A表示的数为m，点B表示的数为n，∵点C表示的数为9，BC＝6，∴9－n＝6，解之得：n＝3，∴点B表示的数为：3，∵AB＝18，∴3－m＝18，解之得：m＝－15，∴A表示的数为：－15，故答案依次填：－15；3；

（2）①∵动点 P，Q 同时从 A，C 出发，点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t （t＞0）秒，且t＝2，∴AP＝3t＝6，CQ＝2t＝4，在数轴上点P表示的数是：－15+3t＝－9；在数轴上点Q表示的数是9－2t＝5；∴PQ的距离为：5－（－9）＝14；答：当 t＝2 时，PQ的距离为14。

②解法一：依题意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在数轴上点P表示的数是：－15+3t，在数轴上点Q表示的数是：9－2t；当点P、Q相距6个单位长度时，则有： ，解得：t＝6或t＝3.6，当t＝6时，－15+3t＝3，9－2t＝－3；当t＝3.6时，－15+3t＝－4.2，9－2t＝1.8；综上所述，当t=6或t=3.6时，点P、Q相距6个单位长度，点P、Q对应的数分别为：3，－3或－4.2，1.8

解法二：依题意得：AP＝3t，CQ＝2t，∴在数轴上点P表示的数是：－15+3t，在数轴上点Q表示的数是：9－2t；Ⅰ当点P在点Q的左侧时，则有： ，解之得：t＝3.6，Ⅱ当点P在点Q的右侧时，则有： ，解之得：t＝6，综上所述，当t＝6或t＝3.6时，点P、Q相距6个单位长度，点P、Q对应的数分别为：3，－3或－4.2，1.8

解法三：∵BC＝6，AB＝18，∴AC＝AB+BC＝18+6＝24，∵点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P、点Q的速度和为：3+2＝5单位长度/秒，∵点P，Q相距6个单位长度，∴Ⅰ当点P与点Q相遇前，则有：t＝（24－6）÷5＝3.6（秒），即：t＝3.6秒；Ⅱ当点P与点Q相遇后，则有：t＝（24+6）÷5＝6（秒），即：t＝6秒。综上所述，当t=6或t=3.6时，点P、Q相距6个单位长度，点P、Q对应的数分别为：3，－3或－4.2，1.8

三、教学思考

（1）注重培养核心素养。在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，将数学课程要培养的学生核心素养表述为“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。核心素养在初中阶段的主要表现为“三能力、三观念、两意识、一直观”，即“抽象能力、运算能力、推理能力、空间观念、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识、几何直观”。

就这一题而言，综合考查了学生的运算能力、模型观念等核心素养。事实上，在初中阶段，无论是哪一个年级的压轴题，都注重考查学生综合运用知识的能力与注重数学核心素养的考查，因此，在平时的教学中，必须注重数学核心素养的培养，让学生在初中数学学习中逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，让学生获得适应未来发展必需的“四基”，提升学生的“四能”，提高学生学习数学的兴趣与学好数学的信心，使学生养成良好的学习习惯，培养学生的科学精神。

（2）注重渗透数学思想。在初中段主是以下几种数学思想：转化（或化归）思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想、整体思想。就这一题而言，第（1）小题主要运用数形结合思想与数学建模思想（方程模型）；第（2）小题的第①问主要是运用转化（或化归）思想、数形结合思想；第（2）小题的第②问主要是转化（或化归）思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等。因此，在平时的教学中，必需注重数学思想的渗透，让学生在潜移默化中学会运用。如在化简求值的题目讲解时，可适当渗透整体思想；在有理数的混合运算中，利用有理数的减法运算法则把减法转化成加法，利用有理数的除法运算法则把除法转化成乘法等，渗透转化（或化归）思想；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）时渗透数形结合思想；在绝对值的讨论中渗透分类讨论思想；在用方程或不等式解决实际问题时透数数学建模思想。

（3）注重建立数学模型。何为数学模型？广义的数学模型是指一切数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之组成的等算法系统；狭义的数学模型是指反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构。

在初中段主是以下几种数学模型：方程模型（主要有一元一次方程、二元一次方程及方程组、一元二次方程）、函数模型（主要有一次函数、反比例函数、二次函数）、不等式模型（主要有一元一次不等式与一元一次不等式组）、统计与概率模型、三角与几何模型（主要是解直角三角形的应用）。

就这一题而言，第（1）小题主要运用一元一次方程模型进行解答；第（2）小题的第①问主要是运用正比例函数模型进行解答；第（2）小题的第②问主要一元一次方程模型进行解答。

事实上，在初中数学的教学中，很多时候都是在帮助学生建立数学模型，因此，在平时的教学中，必需注重数学模型的建立，让学生在潜移默化中学会运用。