一道初中数学“综合与实践”试题的命制研究

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“教学建议"中指出：进一步加强综合与实践领域的教学，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质。为了充分发挥考试评价对教学的导向作用，在一次区域性中考数学模拟试卷的命题过程中，我们命制了一道“综合与实践"试题作为压轴题。本文呈现这道题的命制过程与立意思考，以供参考与研讨。

一、试题及答案

（一）试题终稿

小美想要拍出大长腿的效果，摄影师利用仰拍技巧（如下页图1所示），有效地拉长了腿部线条。

（1）照相机成像的核心原理：如下页图2，由于光的直射，人的足部 A 与头部 B 通过小孔

O 的成像分别在光屏上的 处，线段 A B 的像是线段 ，AB上点 c 的像是点 （为了方便使用，照相机会内置一个系统，将倒立的像转变为正立的像，实现“所见即所得”的效果）。当A'B'//AB时，求证：= 0

（2）如图3，小美站立在 A 处，摄影师给小美仰拍。小美的身体 A B 的像为 ，腿部 A C 的像为 。

① 试说明能拍出大长腿效果的理由；

② 若 则

（二）参考答案

（1）因为 ，所以 所以 所以 所以

（2） ① 如图4，过点 作 ，交 于点 E ，交 于点 F ，由（1）的结论得 过点 E 作 ，交 于点 G ，可得 。所以， 又因为 ，所以 即照片中腿部与上半身的比值大于实际的比值，说明拍出了大长腿的效果。

② 如图4，由 ① 的过程得 因为 （204号 所以 。所以， （24号 （204号 （20 。

二、命制历程

（一）基本立意

根据试卷双向细目表的要求，我们尝试命制一道重点考查三角形相似知识的“综合与实践"试题，考查学生理解真实情境，把握数学本质，综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题的能力。

（二）素材选取

命制数学“综合与实践"试题的关键在于找到合适的真实情境一真实情境既具有综合性，又具有实践性。显然，数学与物理学（尤其是几何学与光学）关系特别密切，物理学与现实生活关系更为密切。

我们首先想到了蕴含光的反射原理（背后是几何学中的轴对称知识）的照镜子情境，但是考虑到相关问题比较常见，也相对简单（尝试设计了关于全身镜长度与悬挂高度的情境问题，发现还是简单了点：多次运用三角形相似的特殊结论一三角形中位线定理，即可解决）。于是，我们进一步翻阅苏科版初中数学教材，在九年级下册“6.7用相似三角形解决问题”一节，注意到一个关于照相机成像的问题（习题第11题）：

图5是一个照相机成像的示意图。如果底片 A B 宽为 3 5 m m ，焦距是 7 0 m m ，那么拍摄 5 m 外的景物 至少有多宽？如果焦距是 5 0 m m 呢？

这个问题涉及的三角形相似的基本图形之一—“8字形”，在教材提供的其他问题中出现得比较少。同时，照相机成像背后的原理是物理学（光学）中的“小孔成像”，学生在八年级的物理学习中掌握了这一知识。此外，随着智能手机的普及，拍照及优化照片效果（如美颜、美化身材比例）成为日常生活中司空见惯的事情和追求，很容易引发学生的兴趣与好奇。于是，我们考虑以拍照及优化照片效果为素材命制试题。

（三）试题打磨

1.基于“大长腿"效果形成“从正常拍照到仰拍"的初稿

显然，正常拍照时，像与物平行，根据相似三角形的知识，像相对于物只是基于相似比缩小或放大了，各部分的比例没有变，即拍出来的照片是“真实”的，没有优化效果。这时，能提出的数学问题也是比较简单的。

于是，我们从优化照片效果的角度，思考如何拍出各部分的比例有变化的照片，想到日常生活中人们常说的“大长腿"效果。大长腿的效果意味着像相对于物上半部分和下半部分的比例发生了变化，并且是下半部分的占比变大了。这时，应该如何拍照？显然，需要让像与物不平行。进一步探索发现，需要仰拍。这时，能提出的数学问题就变得有些复杂了。

基于这样的思考，形成了试题初稿：

小美想要拍出大长腿的效果，摄影师利用仰拍技巧（如图1所示），有效地拉长了腿部线条。

（1）照相机成像的原理：如图2，物体 A B 经过点 O ，在光屏上成像 。当 A B ，物体上的点 C 在像上的对应点为 时，求证：B 0

（2）如图3，小美站立在 A 处，其腿部 A C 长度是身体 高度的 摄影师给小美仰拍全身照 ，则像中腿部 是否被拉长，即腿部 长度是否大于身体 高度的 请说明理由。