数学与分数无关

无论从哪种角度观察，这都是一节和我们印象中截然不同的数学课。光是教室就让人惊讶了。推开门，老师的办公桌与课桌、黑板在一起桌子上摆放着各种版本初音未来的手办。墙上挂着蝴蝶标本、爱因斯坦写给上帝的信，书架上摆着供学生借阅的书籍，如《自私的基因》《科学革命的结构》《企鹅哲学史》……

上课铃还未响起，教室里弥漫着手冲咖啡的香气，复古黑胶唱片机播放着巴赫的《哥德堡变奏曲》，这首乐曲的变奏结构常让人联想起“数学结构的千变万化”。

数学建模，简单来说，就是将现实世界中的问题抽象为数学模型，再利用数学方法解决实际问题。这个听起来高深的概念，早在2017年便出现在了国家颁布的普通高中数学课程标准中。

开课了。有好几节课，黑板上没出现任何数学符号和计算，老师讲的是哲学与科学史，甚至有3个小时全部留给了星空。渐渐地，学生们忘记了数学的枯燥，像探索家一样拿着放大镜寻找生活中的数学问题。比如如何有效洗掉细菌、夫妻谁洗碗、医院取药柜的设计，都能用数学解答。

这是北京市十一学校高中数学教师朱浩楠的数学建模课。

近年来，部分省份高考数学的命题开始有了数学建模的味道，不再问“如何利润更高”，而是问“如何才能更好”。至于什么才是“好”，是“利润更高”，还是“资源浪费更少”，则需要学生自行定。2024年，新定义题型的出现，更让诸多教育者意识到，高考数学的内涵变了，刷题无效，培养数学思维才是关键。

朱浩楠的数学课，正是对这一趋势的积极探索。毕业于北京大学数学系的他，曾经也是个数学不及格的“笨”小孩。在他看来，学好数学的关键在于让数学“回归人的成长和生命体验”。他想让更多人看到，数学不止关于分数与计算，数学中还有“美”，以及“真正面向自由的部分”。

他也曾是个“笨”小孩

从事数学教学11年以来，朱浩楠发现学生们学习数学的痛点始终是“知道得很多，懂得很少”。大多数人精于计算，但其实并不了解这些数学公式为何诞生。不管成绩好坏，“绝大多数学生并不清楚学习数学的意义和价值”。他们认为数学的全部用处就是应试，没什么动力进一步了解。

对于这一点，学生刘奕池很有共鸣。上高中之前，她并不喜欢数学，初一初二的时候，无论怎么努力，都只能考60多分，每次在课上觉得自己听懂了，解题时就不会了。相比于能动手实验的物理，刘奕池觉得数学就是不断重复的枯燥运算。

还有一部分人对学习数学很自卑。“是不是有天赋的人才能学好数学？”工作十几年来，朱浩楠没少听到过类似的问题，每到这个时候，他都会讲起自己学习数学的故事。如今痴迷数学的朱老师，其实以前也是个“笨”小孩。

朱浩楠的数学成绩一度很差。简单的小学数学，同学们接近满分，他考70多分。上了初中，因为数学几乎没及格过，他没少被老师批评。他并不讨厌数学，并且学得非常努力，几乎做遍了市面上所有试卷，但排名始终不靠前。

转机发生在高中。一次课间，他无聊地按着老式计算器上三角函数的按键。计算出sin1的数值后，他用计算器进行sin的不断迭代计算，”却意外地发现迭代的次数越多，结果越趋近于0。也许是输人的数字太小了？他又尝试对50000不断取sin值，结果还是快速地趋于0。无论输入什么数字，都是如此。

为什么会有如此神奇的事情？钻研了几天之后，他发现这一现象原来用高中学过的数列递推就可以解释。这是一件很小的事却彻底改变了朱浩楠对数学的心态。曾经，他以为数学不过是死记硬背的知识，这之后，他才意识到借由数学可以做很多有趣的探索，并由此对数学产生了浓厚的兴趣。一个学期之后，他的数学成绩进步到140分，再也没有下滑过。

曾经的生命触动与改变的数学理念，一直延续到朱浩楠如今的教学中。他反复强调数学知识、数学体系发展到今天，从来不是肤浅地为了给学生出题、考试。因此哪怕是日常教学中，他也会花时间给学生讲解每个知识在历史上的由来、不同数学结构之间的联系，引导学生认识到“数学是活的，不是死的”，并鼓励同学们把基础打牢。

获诺奖的数学模型，基于初高中知识

“生命体验”，这是朱浩楠提及数学时最常伴随出现的词汇。他举了一个简单的例子，在公园玩耍时，你可能偶然间发现松枝平视类似于轴对称，但如果俯视就成了中心对称。这让数学从二维变成三维，并且与自己的生活经验产生了共鸣。

而数学建模，因其关注的就是如何创造新的方法、结构来解决现实问题，也自然成了数学最容易感受到生命体验的方式。数学建模会涉及高中数学知识的延伸，并有一套严密的逻辑体系，每个上过课的同学都有听不懂的地方，痛苦是必不可少的。

学生戴亦萧也不例外，前两周的学习让她非常煎熬，因为曾经的她一度以为“只有具备极高数学天赋的人才能学数学建模”。直到第三周，朱浩楠让大家自由发挥画爱心。她联想到折纸中的对称艺术，将刚学的圆锥曲线对折，画出了一颗会动的爱心。这个灵光乍现的想法让戴亦萧得到了表扬，也让她意识到“艺术和数学是可以融会贯通的”，并开始相信“原来我这个脑袋瓜子也是可以的”。几乎每一个学生都经历过由痛苦到惊喜的过程，而在这个过程中，数学也从“虚无缥缈”的神坛落回到了现实生活中。

数学模型可以处理照片中的雾霾；可以用来设计医院储药柜不同层的高度，可以让药品摆放、拿取的效率更高；可以计算体育赛事明星的各项数据，预测谁更可能在未来拔得头筹；甚至玩《王者荣耀》时团队如何配合可以高效地取得胜利，也能结合向量的知识搭建模型……刘奕池在一次数学建模展中看到一组学生用数学研究小孩用什么方式洗手，一次用多少香皂能够最大程度地去掉手上的细菌。

前几年，朱浩楠还带着学生一起做了一个石刻文物保护项目，帮助安徽齐云山摩崖石刻的保护人员建立预警模型，让工作人员通过文物的几项指标就能提前预判哪个石刻可能会出问题，提前做好维护。

看到这里，许多人会觉得这依然是一件有非凡数学才能的学生才能完成的事。但朱浩楠强调，这与天赋无关，因为数学模型有各种搭建的可能性，每个人都可以找到与自己数学水平相对应的生命体验。

托马斯·谢林曾获诺贝尔经济学奖的数学模型，解释了为何美国的黑人、白人群体总是自然隔离，该模型的搭建完全基于初高中学过的数学知识。而怎么能在食堂吃得又好又便宜这个“双目标问题”可以从小学思考到博士。无论多小或多大的问题，都有可能用数学找到解法。而且很多数学题目，甚至一个数字都不会出现。

用数学跨界

作为一名高中老师，“应试”“分数”“排名”从不出现在朱浩楠的话语体系里。他理解通过高考训练学生基本学习能力的必要性，但十分反感用这些标签定义学生。因为哪怕是考入北大数学系的“好学生”，也有人直至中年仍旧迷茫，无法保障自己的基本生活，尤其是精神生活。

在他眼中，数学从来不是那么局限的东西。而数学的触角一旦延展出去，便可能与诸多内容跨界结合。几乎他的学生都提到，数学建模的思维对他们后来的学科学习，甚至生活决策都起到了很大帮助。刘奕池说，因为要解决真实世界的问题，数据受到各种意外因素的影响，模型会反反复复被推翻，这也让她在做决策时学会考虑各方的观点。高中毕业后，她选择了数学与经济学专业，这是她之前从未想过的选项。

受到数学建模思维的影响，朱浩楠几个读到博士的学生，也开始将数学与其他学科结合，比如将数学与医学、人工智能结合进行创业等。

高中毕业后，戴亦萧选择gap（间隔）一年，在一家自然保护NGO实习，并尝试把数学模型应用到自然保护中，未来，她会继续学习数学。

戴亦萧提到，数学与不同领域的深层联系常常给她带来很多奇妙的感受与思考。她在擦拭家具时，能够感受到立体结构的美感，甚至会想象家具的曲线像哪种函数；学习纽结理论时，她会思考扎头发中的拓扑学；她学习了十多年的小提琴和合唱，身边很多人觉得在学业这么紧张的情况下学这些没什么意义，纯粹是浪费时间，但她发现了艺术与数学有很多共通之处，并运用数学模型做了与音乐相关的研究。

在戴亦萧眼中，数学是美的，这也是朱浩楠反复说的，数学之美不仅在于模型、曲线的美观，也在于“非数学不可察”。

一些有趣的现象，只有通过数学方法才能观察到。比如“乐观者多劳”，朱浩楠曾用数学建模的知识计算过自己和爱人谁来洗碗的问题。爱人张老师对刷碗的接受程度比他更高，根据常识，一定是张老师刷更多碗，双方更满意，但最后的计算结果却显示，根据博弈论，他每天洗碗的概率大于3/4，张老师洗碗的概率则小于1/3。“这不是我主动的选择，而是双方博弈的结果，通过数学模型的计算可知，如果我不这样做，就会吃更大的亏。”

在他看来，数学建模因搭建模型的各种可能性，以及面对真实世界的变化，是“数学中真正面向自由的部分”。

他痴迷于在生活中发现数学结构，并将这份喜悦传递给学生。这是一门无关成绩的数学课，这样的数学也许不能直接提高分数，却足以给学生带来应对不确定未来的竞争力。

（魏延荐）