指向“三会”发展的数学形类表征教学实践探究

摘 要 数学核心素养主要集中在“三会”上，即“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。”然而，怎样让“三会”落地生根，当前广大教师还缺少有效的实践策略。运用数学表征特别是“形类表征”可以让学生数学核心素养的发展找到“抓手”，获得“媒介”。基于相关理论和实践，在指向“三会”发展的数学形类表征教学实践中，应遵循如下理念与策略：引导学生善于从表征观察中发现问题、揭示本质、形成结构，以培养敏锐、深邃与长远的数学眼光；引导学生善于从表征思考中严密逻辑、协同创新，以培养高阶数学思维；引导学生善于从表征表达中迁移经验、类比联想、关联拓展，以培养严谨缜密、清晰准确与系统逻辑的数学语言。

关  键  词 核心素养 “三会” 形类表征 表征观察 表征思考 表征表达

引用格式 李坚，孙红英.指向“三会”发展的数学形类表征教学实践探究[J].教学与管理，2023（32）：36-41.

数学核心素养是受教育者应当具备的基本素养[1]。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出数学核心素养主要集中在“三会”上，即“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。”[2]但小学生受认知水平、理解能力和思维特点的限制，在用“数学的眼光观察世界”时，由于数学知识比较抽象而难以被觉察发现；在用“数学的思维思考世界”时，由于数学逻辑比较严谨而难以被推理证明；在用“数学的语言表达世界”时，由于数学概括比较严密而难以被建模应用。

可见，核心素养的发展需要“抓手”和“媒介”才能落地生根，而运用数学表征，特别是“形类表征”，即运用“图形（或图表）、实物情境与教具模型等”表征能很好地解决这个问题。根据信息传播学及脑科学的研究，“形类”更容易被大脑理解与记忆。运用形类来观察和捕捉真实情境中的数学信息，不仅有助于学生从现实世界中发现数量关系和空间形式，还能让学生在复杂的世界中能敏锐地发现与提出有意义的问题[3]，从而有利于学生数学眼光的培养；运用形类来理解数学概念和思考相关问题，可让学生能清楚地看见自己在数学活动中各种思考方式的思考过程和思维方式，不仅有助于提高学生分析问题的能力，还能让学生对自己的思考过程和思维方式不断地进行改进和完善，从而有利于学生数学思维的提升；让学生运用形类来解释道理与表达规律，不仅有助于学生找到解决问题的载体与理解数学的工具，还能让学生把隐藏在知识背后的思想方法与数学道理直观地揭示出来并表达清楚，从而有利于学生数学语言的发展。

因此，我们在学生概念认识、规律验证、算理理解、体系建构及本质揭示等内容的学习过程中，要善于合理、积极地运用“形类表征”，使得学生可以更为直观地观察、更为深入地思考、更为准确地表达，从而让学生的核心素养得到真正的发展与提升。

一、表征观察，培养数学的眼光

数学活动始于数学观察，数学学习始于数学问题的发现和提出，并需要从真实情境中抽象出数学研究的对象及其属性，形成概念、关系和结构[4]。要想实现现实情境与数学之间的这种思维切换，就需要学生具备一定的善于观察的数学眼光，因为数学的眼光是打开学生数学之门的钥匙。

数学眼光的培养需要学生具备一定的知识经验和推理能力，需要借助一些“媒介”作为抓手，需要养成善于观察和思考的意识，并掌握一定的方法，但现实情境中的数学数量关系和空间表现形式是比较抽象和复杂的，而小学生的数学知识经验和推理能力相对匮乏，并且观察事物和分析问题的能力相对较低。因此，在教学中可用一些形类表征来帮助学生学会在现实情境中进行深度观察，学会在复杂和海量的信息中发现和提出有价值的数学问题，学会通过对数学对象及其之间关系的理解，抽象出一定的数学结构和知识体系，并揭示其背后的数学原理，从而实现数学核心素养的提升。

1.表征“模糊”，发现问题，发展敏锐的眼光

概念的认识和理解是数学学习的起点与基础。有不少数学概念来源于生活实际，尽管学生在生活中已经有所接触，比如“放大与缩小”，但学生对它们的观察与认识还比较肤浅和模糊，还不能从数学的角度精准地把握它们的本质内涵，即“大小变了形状不变”，并且会受到生活中“变大与变小”的误导。这样的观察与学习处于一种模糊不清的状态，对学生后续学习会造成一定的干扰和负迁移。如果我们的教学不注意纠正这种状况，就难以让学生的观察达到清晰和精准的层面，学生发现问题和提出问题的能力也就不能得到有效提升，核心素养的发展也就无从谈起。

要避免这种状况，我们可引导学生通过形类表征的操作，帮助他们理解“放大与缩小”的本质意义，即在电脑上用画图的方式将照片任意放大和缩小，然后通过观察发现问题并尝试提出问题。学生通过观察可以直观地感知与发现：“这些照片的大小都在改变，但有一些形状变了，有一些没有变”，并提出：“这些图片是不是都是我们数学上研究的‘放大和缩小’呢？”这样的表征操作可以有效地将学生的观察从“干扰”引向“敏锐”。接着追问：“你怎么知道这些照片的形状变了？需要用什么来描述？”学生自然能想到需用数据来描述变化前后长方形长和宽的大小，即用“数”来描述“形”。此后，继续引导思考：“看到变化前后对应边长度的数据你想到了什么？数据如何变化而形状没有变？形状变了的呢？”学生通过“数”的比较与计算不难找到放大和缩小前后“形”的变化规律，并且理解与明确了“放大与缩小”的本质是形状不变，即对应比的比值不变。这样表征可有效地将学生的观察从模糊转为精准。借助图形的变化，先从定性的角度进行观察以提高学生发现问题与提出问题的能力，让学生数学的眼光变得异常敏锐；再转向从定量的角度开展探究，以深入“放大与缩小”的知识本质，让学生数学的眼光变得精准。

2.表征“隐含”，揭示本质，发展深邃的眼光

小学阶段需要掌握和运用的数学性质有很多，它们看起来易懂、易检验、易运用，但其背后蕴含的道理却是比较抽象的，学生难以察觉和明白。如果对它们的观察与学习只停留在方法的掌握和实际的运用层面，那么学生的数学眼光就是表面的、学习状况就是浅层的、数学思维就是低阶的。这就要求教师在教学中要善于运用形类表征，引导学生在直观表征中深入地观察和捕捉隐藏在性质背后的数学道理与数学思想，从而清楚地揭示出知识的本质，这样才能让数学观察与理解从表面走向深邃、从隐含走向清晰。

例如，在教学“3的倍数的特征”时，我们需要借助形类表征安排有深度的探究活动，要让学生理解：“为什么一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数？反之，则不是”。为此，在教学中可借助小正方体模型、计数器或方格图等形类来直观表征，引导学生将多位数进行拆分和合并：132=1×100+3×10+2×1=（1×99+1）+（3×9+3）+2×1=（1×99+3×9）+（1+3+2）。然后启发思考：“通过观察132的拆分和合并，你能看出性质背后的道理吗？”通过观察交流与深度思考，能很容易地理解3的倍数特征的本质。最后，还可以引导学生运用数的拆分与合并的方法继续探究“其他数的倍数特征”的本质原理，进一步打通知识之间的联系，实现方法与原理学习的一致性。在数形结合以及数的分与合之中，学生自然能用数学的眼光去观察与理解数学性质的本质及其背后所蕴含的数学思想，进一步推想到表征解释其他数学性质的本质。

3.表征“联系”，形成结构，发展长远的眼光

著名数学教育家弗莱登塔尔认为，“联系”是排在第一位的数学素养[5]。引导学生用知识间的联系解决问题是深度学习的关键[6]。同样，用数学的眼光去观察世界时，不仅要敏锐深邃，还要能长远久远，深度发掘、整体关联，从而让观察能更加深入、眼光更为长远。因此，在教学中应积极地运用形类表征将零散孤立的知识建构成关联系统的整体，并善于运用“联系”的数学眼光去观察新旧知识之间的连接点、发掘更深层次的核心概念，以达成知识掌握的结构化和内容学习的一致性，从而促进学习的深度建构与思维的深度发展。

例如，在教学“分数乘分数”时，可先回忆并借助图形将“整数乘整数（20×30）”“小数乘小数（0.2×0.3）”和“分数乘整数（3×）”的运算意义和算理算法表征出来（如图1）。接着引导思考：“看到这三个图，你能找到它们算理和算法的相同点和不同点吗？”学生通过观察与交流，不难感知它们运算的一致性，即“计数单位的累加”，从而找到知识生长的“最近发展区”以及可借鉴迁移的形类表征方法。接着再启发学生继续运用画图的方法去尝试表征“分数乘分数（×）” 的算法推导和算理理解（如图2）。这样的设计，让学生在形类表征方式的运用中充分经历了“数的运算”的算理理解和算法推导过程，并清楚地认识到“数的运算”的整体性和结构化，深度体验到“数的运算”的本质联系，使学生数学的眼光变得更为长远。

二、表征思考，培养数学的思维

数学是思维的体操。数学学习特别是数学学习能力的提高离不开数学思维，并且在观察、比较、分析、验证、推理、归纳与应用等数学活动中数学思维是不断出现的。数学思维的发展是数学学习的终结目标，即“会用数学的思维思考现实世界”，以理解现实世界的数量关系，把握空间形式。

小学生的数学思考是基于直观的，并且需要适时的调控。小学生的思维以形象思维为主，抽象思维能力、逻辑推理能力及运算能力还不足，需要直观“媒介”来引导和调控。郑毓信教授说：“我们应当鼓励学生借助于图形，特别是采用概念图和流程图对思维过程作出理解与分析，等等。因为，这显然十分有益于主体对已有思想的自我梳理、评价与改进，包括我们如何能够跳出细节建构起整体性、结构性的认识。”[7]因此，教师需要做的，其实就是在已有的知识经验和学习目标之间为学生搭建一些形类表征的“脚手架”，让学生的思考能够有“形”可用、有“路”可转，从而将思考外显并让各种思考表征进行恰当地转换和整合。在适时调控之中，让思考能够不断地完善和深入，让思维能够不断地严密和发散，真正达到对知识本质的深度理解，并将思维水平不断引向高处。

1.严密表征，助推逻辑思维提升

数学思维的发展需要一定的数学推理能力，运算律和计算教学是发展数学推理能力和数学思维的最佳载体。小学生思维以具体形象为主，对于数学运算律的验证和算理的解释虽不需要他们进行十分严格的证明，但从思维的逻辑性和严密性角度考虑，依然需要能够用恰当的方式进行多样的解释和说明，以经历数学“再发现”过程[8]和发展演绎推理能力，而形类表征恰好可以解决这一问题，即让学生的解释过程化抽象为直观、化深奥为易懂、化杂乱为有序，让学生的思考可视且易于调控、学习能够深入浅出、思维达到逻辑缜密。

例如，在学习“乘法分配律”时，在创设的具体情境和问题解决过程中，学生会得到形如a×（b+c）和a×b+a×c的两种算式，并通过举例验证知道两种算式结果相等。这时还需启发思考：“能不能借助形类表征来验证和解释运算律的正确性？”学生在尝试画图后发现用“求长方形面积”的方式来表征解释是比较合适的，即乘法分配律的“分与合”两种算式其实分别对应着图形面积解决的两种方法：“分割”和“拼接”。这样的教学，通过形类表征在“图”与“式”之间建立联系，然后进行对照、分析和相互印证以解释和验证乘法分配律的正确性，不仅让思考过程得到直观外显，还让思维经历了一个从合情推理到演绎推理的严密完美之旅，从而深度理解规律的本质内涵，并让思考更为逻辑、推理更为严密、思维更为高阶。

2.协同表征，促进创新思维发展

创新思维是一种非常重要的高阶思维，是指打破固有的思维模式，从新的角度、新的方式去思考，得出不一样的且具有创造性结论的思维方式[9]。创新并不是让学生在解决问题时凭空地求异求新，而是要学生在学习中善于运用归纳类比、协同联想等方式猜想、推断和发散，并在思维的困惑处和关键处及时运用教师给他们提供的一些可进行直观猜想及推测的形类表征素材分析问题与解决问题，从而发展创新思维。

例如，在教学圆柱时遇到的问题：“用长方形铁皮来围圆柱体（底面另加），何种围法围出的圆柱容积最大？”当然，学生可通过将长方形的长和宽进行设数，求出两种围法围成的圆柱的容积并进行比较。若教学只停留于此，则学习是浅层的，思维也是低阶的。如能将圆柱体积推导图（如图3）直观地提供给学生，并引导学生对两种素材进行类比联想，那么学生可能会发散思维并产生新的思考：“不计算能不能解释或说明以长方形的长为底面周长围成的圆柱体的容积是最大的？”此时学生自然会转到“两种围法异同之处”的比较之中，并发现其中的“变与不变”：“所围圆柱体的底面半径变了，但侧面积不变。”之后，再联系圆柱体体积推导图，进一步发现：“由于圆柱的体积=圆柱侧面积的一半×半径，所以当圆柱侧面积一定，半径与体积成正比例，即以长方形长为底面周长比以宽为底面周长围成的圆柱的底面半径大，而侧面积一样，故所围体积大。”这样的教学活动，通过提供不同形类表征的素材，为学生比较、猜想和推理提供机会，使他们在貌似平常的信息中发现不寻常之处并产生顿悟，从“新”角度发现“新”的结论。学生的思考清晰可见，创新意识跃然纸上，创新思维也在润物无声中得到发展。