如何培养学生分类讨论的数学思想

分类讨论就是这样一种重要的数学思想方法，是自然科学乃至社会科学中最基本的逻辑方法，自然也是每年全国各地中考压轴题必考的数学思想方法之一。分类讨论思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就能掌握。它要根据学生的认知规律，逐步渗透，螺旋上升，不断丰富内涵。一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理地运用分类讨论的思想解决问题，形成能力。

一、渗透分类讨论思想

初中教材中分类讨论的思想无处不在。很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的。七年级上册教科书在引进负数的概念后，将有理数按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、0、负有理数。思考：—a一定是负数吗？这时就要引导学生对a按正负性进行分类讨论。在绝对值这个知识点中，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，在定义上对绝对值进行了分类。七年级下册教科书中不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等式号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等式号的方向改变。这两个不等式的性质都蕴含着分类讨论的思想。这种在日常教学中有意识、有计划、有步骤地渗透，能使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论思想，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要有用的思想方法。

二、积累分类讨论经验

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，积累分类讨论的经验。

问题1：已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长。等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？

问题2：已知一个直角三角形两条边长为3，4，求第三条边的长.

问题3：在一个半径为10的圆中，有两条平行弦的长度分别为12与16，那么这两条弦之间的距离为（ ）

A．2 B．6   C．6或14 D．14或2

问题4：在半径为7cm的圆中，若弦AB＝7cm，则弦AB所对的圆周角的度数是

等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给出的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角分类解决。

直角三角形：在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时，若没有指明直角边和斜边，要注意分情况进行讨论，然后利用勾股定理即可求解。

圆：圆的一条弦（直径除外）对着两条弧，常分为优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论。

相似三角形：如果题目中出现两个三角相似，需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则要分两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论。

三、创设分类讨论情境

问题5：甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设顾客累计购物x元（x＞100），请根据x的值，确定顾客到哪家商场购物花费少？

这是一道经典的分类讨论的题目，此题分三种情况讨论是关键：①若到甲商场购物花费少，则100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）；②若到乙商场购物花费少，则100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）；③若到甲，乙商场购物花费一样多，则100+0.9（x-100）＝50+0.95（x-50），

分类讨论的策略大致有以下几个步骤：首先要明确需要讨论的对象，以及讨论对象所包含的全体范围；其次是要确定科学的分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重，然后对所分种类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后是进行归纳小结，综合得出结论。掌握用分类讨论思想解题的关键是搞清楚哪些情况下会引起分类讨论，下面就引起分类讨论的一些常见情况进行归纳：（1）有些知识本身是分类定义和分类概括的，如绝对值；（2）研究含有参数的方程、不等式和函数时；（3）涉及动态几何图形和位置的问题；（4）开放性的数学问题。

责任编辑 邱 丽