透过现象寻本质，超越技能悟思想

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，它是数形结合的基础。在教学过程中，由于对数轴的教学设计，很多老师只是停留于数轴的技能性作用，将数轴作为一种数学工具，侧重于“如何画数轴”“数轴如何表示数”和“数轴如何比较有理数的大小”等显性数学技能的操练，而忽略更深层次的价值与作用。因此，教师有必要深入挖掘数轴的隐性价值，促进学生对数轴的深度理解。下面，笔者从学生的思维认知特点出发，结合北师大版七年级数学上册教材谈谈对“数轴”的理解以及教学设计中的问题。

一、用“图形”研究“数量”

经过小学阶段的学习和生活的经验，学生已经从温度、海拔高度等日常生活中的一些量中初步了解了负数。因此，北师大版教材的设计思路是：回顾小学学习经验——认识负数——从“正有理数”扩充到“有理数”。虽然学生在生活中已使用负数，但负数是一个非常抽象的数学概念，学生仍然很难理解负数的本质与意义。在数学发展的历史上，人类也是经历了漫长而曲折的过程才认识了负数；历史上有一些著名的数学家甚至不承认负数，因为0是当时认识的数中最小的数，不可能存在着比最小的数更小的数，直到19世纪，负数才最终获得普遍承认，真正成为数系中的一员。所以，初一学生对负数概念的认识仍依赖于现实生活经验，理解水平在很长一段时间会停留在“经验性”层次。而借助数轴，将抽象的“数”通过可观可感的“几何图形”表示出来，增进数的“直观性”理解：既然原点的一侧表示一类数（正数），那么另一侧应该有另一类数（负数），这样的结构才是对称而完备的。因此，数轴的作用就不仅仅是标示数的一个“工具”，更大的作用是将数的内涵特征“可视化”，从而促进对数的理解从“经验性”层次到“直观性”层次，再上升到“结构性”层次。

数既有大小，又分正负。那么，如何通过图形将数的“大小”与“正负”统一起来，并形象直观地表达出来？课本作了很好的示范和解读：在这条数轴上，+3可以用位于原点右边3个单位长度的点表示，4可以用位于原点左边4个单位长度的点表示。 这里用“单位长度”来表示数的“大小”（“单位长度”成为数量大小的基准），用“原点左右”来区分数的“正负”，原点向右为正，原点向左为负（“原点”作为区分“正负”的基准）。那么，数轴的“三要素”（原点、单位长度、正方向）就可以有这样的理解：三要素确定了数大小正负的基准。当缺少三要素中任意一要素时，所画的直线就不是数轴的原因是不仅是违反了数学中的“规定”，更深层的理由是无法完备地表达数的“大小”与“正负”特征。看似冷冰冰的“数学规定”背后蕴含着数学表达的合理要求。

二、从“有限”走向“无限”

中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员席南华在《数学的意义》报告中指出：数学非常重要的一个作用是能够认识无限，这是别的学科做不到的。通过数学能够认识无限，这既是数学特有的作用，但也是数学学习的难点。只有突破了学习上的困难，才能发挥数学的认识作用。在教材中，用不同颜色重点标注出这样一条结论：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。这一结论看似简单，但包含了无限的思想。“任何”即“没有例外”，“任何一个有理数”表示“所有的有理数”，而有理数是无限的。很多老师忽视学生认知上的难点，将此结论当成既定的事实直接讲给学生听，相应的例题练习也一带而过，造成学生对结论似懂非懂，只能把它当成公式定理来记忆；既增设了学生深入理解的障碍，学生也错过了思维训练的机会。另外，初一是从算术到代数的转折阶段，研究对象将从“具体之数”过渡到“任意之数”，研究范围也从“常量”过渡到“变量”，思考的方式也从“确定性”过渡到“不确性”。这种转变过程虽然困难而缓慢，甚至会出现反复和倒退，但转变的进程不可逆，既是必然也是必须的。因此，在教学上既要顾及学生思维认知转变上的困难，更要通过合理的设计去促进这种转变的进行，以提升学生的认知能力。

为了突破认知难点，让学生从“有限”认识“无限”。课本设计了“结论的探索过程”和“结论的应用过程”两个环节：（1）结论的探索过程：让学生用数轴分别表示4个有代表性的有理数：①正整数+3；②负整数4；③正分数；④负小数.这些有理数，具有代表一类数的作用与特点，将它们在数轴上用一个点来表示，让学生认识到和它们同类的数也可以在数轴上用点来表示，那么其他“任何”有理数就可以在数轴上用一个点来表示，完成由“特殊”到“一般”的归纳过程，让“有限”扩展至“无限”。（2）结论的应用过程。由“特殊事例”归纳得到的“一般结论”，属于合情推理，处于个人知识构建的前阶段——猜想。若学生对猜想的结论，不利用原有的知识体系进行合理解释或意义建构，其原来的思维过程就会被打断，结论也就不能纳入个人原有的知识体系。

三、由“已知”通向“未知”

正有理数的大小比较是以客观世界中的实物数量为基础，符合人的实际生活经验，可数可感可信，易于为学生接受。负数概念比较抽象，难于一下子理解和接受；同时，由于学生缺乏负数使用的直接经验，会导致在操作负数过程出现思维困难。因此，利用有形的数轴，通过“数的位置”来比较“数的大小”，实质上是利用“形的直观”化解“数的抽象”，从而有效地避开直接操作负数上的困难。

课本让学生观察数轴（如图2），并提出探究问题：数轴上的两点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？

学生经过观察、思考、交流，容易得出结论：数轴上，右边的点的数总比左边的大。教师教学用书给出的教学建议是利用生活经验促进理解，例如由温度计的使用知识易知比的温度高，从而。这是借助实物来说明结论的合理性，也就是“实物类比”，虽有助于学生的形象理解，但显然缺少数理上的解释，无法达到逻辑上的认同。学生“以物为据”，认可了结论的正确性，缺失的是“有理有据”的数学思考，冲淡了“数学”的味道！既然学生已经掌握了正数的大小比较，那么观察数轴上表示正数的点的位置，容易发现“正数大的点位于正数小的点的右边”，也即是“对于正数，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边大”。由“正数的比较”得到的结论，迁移得到“负数的比较”，从而实现由“已知”通向“未知”的跨越，也在一定程度上帮助学生的思维从“具体运算阶段”向“形式运算阶段”发展。

责任编辑 邱 丽