培养数形结合思想 提高学生解题能力

数形结合思想是整个数学界经典的，也是非常重要的教学思想方法之一。目前，很多从事教育的人在不同学段开展了大量研究，但大部分研究者把研究对象确定在中高年级段，因为这部分学生知识储备相对较大，思维能力发展相对成熟，所以更容易接受数形结合思想。而小学低段学生受“已有知识”匮乏、思维能力发展缓慢、动手操作能力不强等因素影响，在具体研究中相对比较困难。因此，教师要积极培养小学低段学生的思维方式和解决问题的能力。著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”这就充分体现了数形结合思想的重要性。

数与形是数学教学中最基本的两个概念，数在古代表示计数，现在表示数量；形在古代表示形状，现在表示空间概念，二者之间相互依存相互转化。把数或数量关系对应起来，借助图形研究数量关系或利用数量关系研究图形的性质，是一种常用的数学方法。具体操作过程就是通过数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，帮助学生把握数学问题的本质，让学生通过以数解形、以形找数、形数互变的方式提高解决问题的能力。所以说，数形结合思维就是将抽象的数字语言与直观的图像结合起来，其关键是让代数问题与图形问题能够相互转化，使代数问题几何化，几何问题代数化。换言之，就是把数字中的数和数学中的形结合起来，用以解决数学问题的一种数学思想。

一、以数解形，化繁为简

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。”有些数量比较抽象，学生难以掌握、理解，而形具有形象直观的特点，教师可以把数对应的形找出来，让学生利用图形解决问题，从问题情境中辨认符合问题目标的某个“模式”，这种模式是数与形的一种特定关系或结构。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中要求教育者为学生建立知识模型结构，即“建模”，这样学生就能够用一种方式方法解决同一属性的问题。如把数量问题转化为图形问题，让学生通过图形分析、推理找到最终解决问题的方法，这就是图形分析法。小学一年级刚入学的学生，大部分都能数百以内的数，那么教材为什么还要安排大量时间让学生认识1-10呢？因为学生是顺口溜式地数数，不能将具体实物的数量和正确的数对应起来。例如，一面红旗、一个学生、一支铅笔、一位老师、一所学校、一筐苹果、一堆沙子、一群小鸡……就用数字“1”表示，学生就会明白数字1表示一个抽象物体或一堆抽象物体；学习数字2、3后，学生的脑海中就有了一个简单的数字模式：几个物体或几堆物体可以用数字几表示。又如，在教学人教版二年级数学下册“平均分”中的“等分”时，笔者让学生通过平均分实物、说平均分、圈画平均分把“数”转化成具体的“形”。如把18个橘子平均分成6份，每份有几个？教材用静态图形展现了平均分，这非常好，但由于学生年龄小，不能很好地理解，如果有动态操作过程就好了。“你讲我听了，过会儿我就忘了；你说我看了，我一下就知道了；你示范我操作了，我就深刻理解了”“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”等充分体现了实践能力培养的重要性。笔者先利用橘子实物帮助学生建立感性认识，让学生知道平均分就是按一定顺序、相同数量、有次序地分给每个人，分完一轮后再有次序地分，直至分完且每个学生手中橘子是一样多；再让学生在小组内讨论分橘子的方法，并画一画：“18个橘子”用18个圆形表示，“平均分成6份”就用6个方框表示，有序地将这18个橘子平均分成6份，学生也可以选择自己喜欢的图形，只要能体现平均分的意义即可。这样学生通过具体操作（分一分、说一说），再借助“形”画一画就很好地理解了平均分。在随后完成“课后题1：把10盒牛奶平均分成2份，每份几盒？课后题2：把9个笑脸平均贴在3条线上，每条线上应该贴几个”时，学生很快就掌握了平均分的含义和平均分的方法。

二、以形找数，浅显易懂

虽然形具有形象直观的特点，但在定量方面还需借助代数计算，小学数学算理教学非常抽象，如果教师能用图形直观地描述数的运算意义，将会促进学生的理解。在教学人教版三年级上册《被减数中间有0的退位减法》一课时，笔者先让学生回忆减法笔算方法，出现问题时可以借助摆小棒、拆分小棒的方法解决，再通过动画演示分小棒的过程，帮助学生理解算理，突破难点。如计算203－58时，首先让学生明白减法要从个位算起，哪位不够减就从前一位退1后在本位加10再减。这里个位3减8不够减，而前一位是0没有办法退1，此时学生就会疑惑：为什么十位是0，退位后反而是9呢？笔者费尽口舌，学生疑虑重重，但学生知道203是2个百和3个1组成的，58是5个10和8个1组成的，于是就用2大捆小棒和3根小棒表示203，用5小捆小棒和8根小棒表示58。从3根小棒中去掉8根是不够的，1大捆小棒打开就是10捆小棒，1捆小棒打开就是10个1，现在摆在学生面前是1大捆小棒、9捆小棒和13根小棒，再来对照203－58的笔算，接受力较强的学生很快就理解了“为什么十位是0而退位后反而是9。”接下来，笔者又用动画为学生演示了拆分小棒过程，让学生在观看中思考自己的操作，这样人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上也能得到不同的发展。

小学生由于理解和认知能力有限，仅从文字叙述方面思考有一定困难，而画图的方式能帮助学生更加直观地理解题意，从而找到解决问题的方法。例如，人教版二年级上册《乘法解决问题》一课有这样一道习题：“小明上一层楼用7秒钟，他从一楼上到六楼需要几秒钟？”题中已知条件比较少，大部分学生很难从字面找到关系，如果画图表示学生一看就明白了小明从一楼上到六楼只用了5个7秒钟。又如，把一根木头锯成5段，每锯一次要5秒钟，一共需要几秒钟？现在的学生很少有这样的生活体验，他们不知道锯木头是怎么回事，笔者用语言为学生再现了锯木头的情形，从学生的眼神中可以看出他们一知半解，于是笔者拿出一根木棍和一把锯子，让两名学生现场操作，笔者还将锯木头的过程画了下来。学生回忆着锯木头的情景，看着笔者的范画，就从数中想到了形，由形找到了解题方法。

由此可见，教师在教学过程中如果能引导学生用图形表示题目中的数量关系，就可以帮助学生从复杂问题中找到知识间的联系，从而凸显数学的本质特征。特别是对于较复杂的图形，学生不仅要正确地将图形数字化，还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何定义，将形正确表示为数后再分析计算。例如，人教版二年级上册《数线段》一课有这样一道习题：“图中 有（ ）条线段？”学生已经掌握了什么是线段，但要准确数出有几条线段，对于条理不是特别清楚的小学二年级学生来说有一定难度。因此，笔者引导学生用字母先标出端点，然后依次画并数出线段的数量，最后算一算一共有几条线段。部分推理思维能力强的学生在找规律，建立初步的模型结构，大部分学生在实践中积累经验，慢慢由量变到质变，最终找到了解决此类题型的模型结构。后来在学习“角”的知识时，也有数角的个数这类习题，很多学生就把数线段的方法迁移到了这里。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程内容的选择要符合学生的认知规律，有助于学生理解、掌握数学的基础知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发展核心素养。

三、形数互变，相辅相成

在有些数学问题中不仅仅是简单地以数化形或以形变数，而是需要数形互变——由形的直观变为数的严密，还要由数的严密联系到形的直观。

平面几何图形的拼摆，多数就需要通过形的直观、数的严密计算，使其中蕴藏的思想方法或抽象知识具体化。例如，长方形和正方形的周长一课有这样一道习题：“用4个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少？最小是多少？”有学生在练习本上画了起来，有学生在找橡皮合作拼图……很快有了以下两种结果：（8+2）×2=20cm、（2+2）×4=16cm。学生在画图、拼图的过程中，充分利用了形的直观，使抽象的数在直观图形中更加具体、形象，也就是把复杂变为简单、化深奥为浅显。学生在观察、操作、分析、抽象、概括的过程中找到了数学知识蕴含的思想方法。

总之，在数学教学过程中，教师要深挖教材，将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分发挥学生的主体作用，让学生在主动建构、自主探索的过程中养成良好的学习习惯，从而喜欢数学，乐于学习。

作者单位  陕西省安康市旬阳市城关小学