精选学习素材 助推深度学习

【摘 要】很多小学名师曾研究过“平均数”，也打造了一些经典课例。章勤琼教授作为大学教授，精选学习素材，巧用“评委给选手打分”这一素材，采用“产婆术”式的引导，通过三个学习任务引领学生经历平均数认识“三步曲”：初步形成代表量的意识，逐步感知平均数是相对合理的代表量，深入理解平均数的统计意义。

【关键词】平均数 统计量 深度学习

福建师范大学教育学院章勤琼教授在闽小数会第23届年会上执教的“得分是多少”，给与会教师留下了深刻印象。这个内容是“平均数”第一课时，他精心创设“得分是多少”的情境，借助简约的学习素材组织教学，引导学生由模糊走向清晰，由浅表走向深入，自主建构对平均数的认识，深度理解平均数的内涵实质。

大学教授是怎样与小学生交往互动，且教得深入浅出呢？文章将通过几个片段展示章教授课堂设计与教学之精妙。

片段一：多维感悟，引导学生初步形成代表量的意识

出示学习材料1：

学校举办歌唱比赛活动，满分为15分。以下是评委给1号选手打的分。

师：同学们，你们得到了哪些信息？

生：评委1给1号选手打12分、评委2给1号选手打10分。

师：有没有不一样的说法？

生：评委2给1号选手打的是最低分。

师：这里只有1个选手，为什么要有5个评委？不搞乱了吗？

生：因为每个人的想法不同。如果评委一开心，就给他打更高的分。

师：为什么要5个评委？多烦呢！1个选手，1个评委，不就好了吗？

生：可以听到更多的细节。就是有些评委没听到的，另一位评委有可能听到。

师：你的意思是可能更全面。（板书：全面）

师：只找1个评委可能会有什么问题？

生：给他估的分不准，因为每个人的想法不同。

师：很好，想法不同。（板书：想法不同）

师：5个评委会更公平一点，可能更客观一点。（板书：公平客观）

师：如果只有1个评委，事情是好办的。现在有5个评委，怎么办？

师：请拿出学习单，把5个评委的分数在方格纸上表示出来。

（学生画图表示）

出示图1，组织全班交流。

师：你们认为1号选手的最终得分是多少？最终得分是什么意思？

生：就是最后的分数。

师：5个评委给他打分，最后给他1个分数还是5个分数？

生：给他1个分数。

师：这1个分数能随便给吗？你觉得1号选手应该得多少分？请你在方格纸上用一条横线画出来。

教师呈现将横线画在15分处的学生资源，组织全班交流。

师：大家画的基本一样。但这个同学画的不一样。请看，他为什么画在15分这里？

生：可能是因为有个评委打了15分。

师：如果我们把横线画在15分这里，合理不合理？

生：不合理。15分太高了！

师：虽然有一个评委打了15分，但是其他评委都没有打到15分，所以说15分太高了。如果画到10分这里呢？

生：10分太低了。

师：多数同学都画在12分这里，你们是怎么想的？

呈现图2，组织学生互动。

师：为什么选12？

生：因为这5位评委的分数加起来再除以5等于12。

师板书算式：12+10+11+12+15=60，60÷5=12。

师：为什么先加起来再除以5？有没有同学也是12，但理由不一样？

生：因为有两个评委选12，还有12在这些数的中间。

师：他一下子说了两个理由，第一个理由是因为两个评委打12分，是不是12比其他数好像更有道理一些？第二个理由是因为12在中间，好像也有道理。

生：我还想说，加起来除以5，是因为总共有5个评委，可以算出平均分。

师：这些数跟12比，有的比它大，有的比它小。比12少的，可不可以把它补起来？

一名学生上台补画。

师：他做了什么动作？这个评委打分比较少，这个评委打分比较多，怎么办？把多的移过去，这样都移成12。评委打分有高有低，但是可以把所有评委的分数都变成一样，最后都变成12。将多的补给少的，很形象，我们可以叫移多补少。再来看除以5，现在谁能解释一下除以5可不可以？除以5其实是在干什么？跟哪个方法一样？

学生讨论。

师：其实跟移多补少的方法一样，把所有的数都变成一样的！再问得分为多少，还觉得有困难吗？

生：没有困难，是12 。

师：这个12就叫作什么数？

生：平均数。

师（板书）：平均数。

师：大家现在明白选12有三个理由：有两个评委打12分；12在中间，比较合适；12正好是平均数，可把所有的数都变成12。这三种想法都有道理。那么1号选手得几分比较合适？

……

【赏析】新课标指出，平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性，通过刻画一组数据的集中程度表达总体的集中状况……初步体会平均数的统计意义，形成初步的数据意识。章教授设计的第一个学习任务，并没有过多强调平均数，而是结合情境引导学生慢慢感悟用平均数可能更全面、更公平、更客观。他设计的这组数据很讲究，其中12是众数，是中位数，还是这组数的平均数，让12作代表顺理成章。章教授通过一系列追问引导学生用“移多补少”法把每个评委的分数都变成12，用一条横线表示平均数12，直观形象地凸显平均数的意义，有利于学生初步理解平均数代表着一组数的整体水平。学生在观察对比中体会到一组数据的平均数，一定小于这组数据里的最大数，大于这组数据里的最小数。这些学习活动帮助学生初步形成代表量的意识，为进一步理解平均数的内涵实质打下基础。

片段二：由表及里，助推学生逐步感知平均数是相对合理的代表量

出示学习材料2：

以下是评委给2号选手打的分。

师：这是2号选手的5个分数。谁直接说说你觉得2号最终得多少分？

生：我觉得是14分。

师：为什么他觉得是14分？

生：可能是因为有3个评委打14分。

师：因为有3个评委给他打14分，所以就选14分。如果他最终得14分，你们觉得合理不合理？

生：我觉得不合理，还有两个评委不是打14分。

师：虽然有3个评委给他打了14分，但毕竟还有两个评委没给他打14分嘛。

教师在条形统计图中画出14分处的横线，引导学生观察比较。

师：请看，14分是不是明显偏高了一点？小组讨论，觉得他应该得多少分合适。也可以用笔算一算。（小组讨论）

师：哪一组来分享？

生：我们组认为是13分。因为14分可以分1分给其他的数。

师：就是从2个14里各分1个1给11，得到13……用移多补少的方法，把每个评委打的分数都变成了13分。

呈现图3，教师在条形统计图中画出13分处的横线，引导学生观察比较。

师：可不可以加起来除以5？用移多补少的方法或者算平均数的方法都能得到13分，对不对？

师：如果给2号选手打14分，对1号选手公平不公平？如果1号选手与2号选手，采用同样的方法打分，都给他们算平均数，你们觉得哪位选手得分更高？

出示两位选手的评分表。

生：我认为2号选手得分更高。

对比呈现两位选手的得分情况图，如图4，表示平均数12与13的两条横线高低一目了然。

师：为什么要用平均数呢？

生：因为平均数能把所有评委的分数都变成一样的。

师：同学们有没有发现一个问题。2号选手的平均分是13分，可是5个评委没有一个人给他打13分，最后却给他13分，你们觉得可以吗？谁来说服大家？

生：因为这个13分是一个平均数。

师：为什么用平均数能说服大家呢？

生：都算成一样，都变成13分。

师：虽然评委们没有一个人打13分，但把评委们的分数都变成一样后就得到了13，所以这个13分其实还是由这些评委打的分数得到的！如果1号选手表示不服，他觉得有个评委给他打了15分，是他的最终得分高。该怎么说服1号？

生：不能只看一个评委的分数！其他评委给你打的分数比较低，你的平均分就低。

师：同学们，今天我们一起认识了平均数。用平均数可以在生活中解决怎样的问题？就像刚才的评委打分，为了更全面、更公平、更客观地得到结果，我们会找很多人打分，有很多不同的分数，这时不能直接比，就要拿平均数来代表最终得分，进行比较。今天我们学的就是代表量跟平均数。代表量，就是拿一个数来代表一组数。

大屏出示：平均数可以代表一组数的整体水平。

师：这句话中，你们觉得哪个词很重要？为什么？

……

【赏析】认识平均数，学习求平均数，学习用平均数描述、分析一组数据的状况和特点，或者对两组数据进行比较。章教授精心设计的第二组数据，其中有3个14，1个11，1个12。如果学生没有深入思考，第一感觉往往会认为是14，而这组数据的平均数却是13，认知冲突与好奇由此产生。章教授通过一组追问，引导学生深度思考，主动辨析，实现认知进阶—虽然13不是这一组数据中的某一个数据，但是可以代表这一组数据。随着交流的深入，学生能逐步理解平均数的内涵实质—“平均数是一个‘理想中的数’，它既与一组数据中的每一个数据有关，又不是一组数据中的某个数据”。这样的学习过程深刻、通透。

片段三：有向练习，深化学生对平均数的统计意义的理解

出示学习材料3：

这是两个小组学生的数学测试成绩。你们感觉哪个小组考得好。

第1组：94、96、95、100、95、84

第2组：93、96、97、94、95

师：观察数据，说说你们感觉哪个小组考得好？

生：我认为第一小组考得好，因为有个同学考了100分。

生：我也认为第一小组考得好，第1组总分高。

师：一个人100分，就能说第1组考得好吗？人数不一样，可以比总分吗？

生：人数不一样，不能直接比。

师：比什么会不公平？比什么才公平？

生：比总分不公平，比平均分比较公平。

师：为什么可以比平均分？

生：平均分是一个有代表性的分数，是把小组内所有人的分数变成一个同样的分数。

……

【赏析】章勤琼教授结合生活实际，设计两个小组比测试成绩的问题情境，有现实意义。两个小组人数不同，比总分不合理。他引导学生思考，从比总分不合理转向比平均分较为合理。章教授善于借助错误资源引导学生思辨、修正，加深学生对平均数的理解，同时对计算平均数进行了必要的练习。教学设计前后呼应，进一步深化学生对平均数作为统计量的认识。

章勤琼教授的课简约而丰厚，质朴而隽永。他借助一个素材，三个学习活动，采用“产婆术”式的引导，引领学生由浅入深地理解平均数的内涵实质及统计意义，形成初步的数据意识。

【参考文献】

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.