抓住基本问题 指向概念理解

概 念 教 学

概念教学在小学数学教学中占有重要地位，是基础知识教学的重要组成部分，也是发展学生思维的基础。数学概念教学的目的是使学生掌握数学概念，形成对数学基本的、概括性的认识。即明确概念的内涵、外延，熟悉其表述；了解概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成概念系统；了解概念的来龙去脉，能够正确运用概念。正确理解数学概念是掌握数学基本知识和基本技能的基石。

新课程理念下，概念教学中仍然存在一些问题。本期我们推出姜荣富老师的一组文章，就如何有效地进行概念教学研究和探讨，以飨读者。姜荣富老师以循环小数、分数意义、长方形认识、平均数的理解教学为例，通过实施“抓住基本问题，指向概念理解”“抽象形成概念，运算演绎意义”“分类获得概念，推理验证特征”“创设合适的问题情境，渗透正确的统计观念”教学策略，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及逻辑思维，让学生的核心素养真正落地生根。希望这些教学案例能给广大教师带来启发与思考。

【摘 要】在小学数学中，从学习循环小数开始需要直面无限的问题。理解循环小数的目标包括对无限的想象、循环的理解和结果的表示。教学中可以抓住两个基本问题：一是为什么会出现循环？二是如何表示计算结果？前者可以让学生成为深入的思考者，通过深入地思考，发展更高级的思维认知；后者可以让学生经历再创造的过程，通过再创造，学习像数学家那样分析与解决问题。

【关键词】数学教学 循环小数 思维再创造 符号意识

小数是十进制记数向相反方向延伸的结果。分母是10，100，1000……的分数容易转化为十进制小数，这类小数都是有限小数。有限小数只能表示一部分分数，大量分数的小数表示都是无限循环小数。在有理数的范围内，分数与小数是等价的，任何一个分数都可以转化为有限小数或无限循环小数。反之亦然。因此，在所有的小数中，循环小数是非常特别的，因为它们是分数。把小数定义为形如amam-1…a2a1，b1b2…bn-1bn的数叫作十进小数，简称小数，是很明智的。有限小数与无限小数都包含在内。

在小学数学中，从学习循环小数开始，不得不正面处理无限的问题。通常无限只是人们的一种想象，但是只有数学才真正面对无限，数学才是处理无限问题强有力的工具。

通常教学循环小数时，教师侧重于介绍什么叫循环小数，如何表示循环小数，如何取近似值。这些当然都是重要的知识与技能。如果教学只是关注这些知识与技能，就没有把学生当作主动的思考者。

对于特定主题的学习，关键是要抓住核心概念，围绕核心概念提出可以解答的、有启发性的基本问题。循环小数通常是在计算中发现和得到的，核心概念是“循环”。理解循环小数的目标包括对无限的想象、循环的理解和结果的表示。围绕这些主要目标，教学可以抓住两个基本问题：一是为什么会出现循环？二是如何表示计算结果？学生深入思考并经历再创造的过程，不仅可以增进数学理解，而且可以获得智力的成就感。

一、分数转化为小数

除法与分数关系密切。从理论上讲，一个除法算式的结果可以用分数表示出来，而且用分数表示的结果是精确的。如1÷3用分数表示就是，用小数表示，得到的是一系列近似值：0.3，0.33，0.333，…在这里，任何一个有限小数，只能表示近似的结果，而符号0.333…或0.3就是1÷3的精确值。

从这里可以知道，如果没有循环小数，分数转化为小数是不可能有精确的符号表示的。数学概念的产生都是有背景的，许多数学家的贡献就是创造了必要的概念，进而极大地推动了数学的发展。为什么要有循环小数的概念？如果没有循环小数的概念作为工具，就无法彻底地实现从分数到小数的转化。

小数的除法都可以转化成整数的除法，整数除法的结果都可以用分数表示。通常分数化成小数的方法是用分子除以分母，它的结果有三种情况：化为有限小数，化为纯循环小数，化为混循环小数。到底属于哪一种情况，取决于最简分数的分母。如果最简分数的分母不含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数就是有限小数，原因很简单，这样的分数很容易转化为分母是10，100，1000，…的分数。如果最简单分数的分母只含有2和5以外的质因数，这个分数就能化成纯循环小数；如果最简单分数的分母既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，这个分数就能化成混循环小数。

基于以上分析，教学中给学生提供计算的例子，被除数与除数可以都是互质数的关系，也就是用分数表示是最简分数。算式可以分为四个层次：一是结果是纯循环小数，如1÷3=0.3；二是结果是混循环小数，如5÷6=0.83；三是循环节超过两位，如8÷37=0.216；四是可用于分析推理，如1÷7=0.142857。

二、结果的解释与想象

对计算结果的解释与想象，是学生构建循环小数理解的重要部分。围绕“循环”这个核心概念，重点解释商中为什么会不断出现重复的数字，展开对计算结果的比较与想象，感悟无限逼近，初步渗透极限的概念。

师：先请大家计算1÷3。这道题简单吗？

生：简单。

师：重点不是计算，而是要在计算过程中思考遇到了什么问题，发现了什么规律。

（学生独立计算。）

师：你们遇到了什么问题？

生：这道题是除不尽的。

生：永远也除不完。

师：我收集了两个同学的算式，我们一起讨论一下。

师：比较两个同学的计算过程，它们有什么不同？

生：一个是除了两次就停下来了，一个是除了四次才停下来。

师：为什么除了两次就停下来，不再继续除下去了？

生：因为继续除下去，商都是一样的。

师：你们发现了什么规律？

生：每一次都商3。

师：你们想到了什么问题？

生：为什么每一次都是商3？

师：好问题！谁来回答？

生：因为余数总是1。

生：因为每次算的都是10除以3。

师：虽然你们的说法不一样，意思却是相同的。你们能从不同的角度看问题，非常好！

师：第一个同学除了两次，得到的结果是0.33，第二个同学除了四次，得到的结果是0.3333。谁做得对？

生：都对。

生：都不对。

师：截然相反的意思，在小组讨论一下好不好？

（学生小组讨论。）

师：认为对的同学的意见是什么？

生：除下去商都是重复的，就没有必要再除下去了。

生：既然结果都一样，多除两次或少除两次都没有关系的。

师：认为都不对的同学的意见是什么？

生：还可以继续除下去呀，没有除完结果肯定是不精确的。

师：他的意见你们听懂了吗？同意吗？

师：我们把1÷3得到的不同结果放在一起比较—0.3，0.33，0.333，0.3333，这四个答案有什么规律？哪个更准确？

生：小数部分3的个数依次增加。0.3333更准确。

师：还能说出比0.3333更准确的结果吗？

生：0.3的后面有5个3。

生：0.3的后面有10000个3。

生：0.3的后面有无穷多个3。

师：“无穷”是一个不太好理解的概念，需要依靠想象。借助0.3，0.33，0.333，0.3333，…，这些有规律的数展开想象，你们想到了什么？

生：3的个数越多就排在越后面。

师：排在越后面的数怎么样？

生：就越准确。

师：我们直接说到底有几个3的时候是最准确的，但我们说出了一个变化的趋势—3的个数越多，就越准确。这种思考问题的方法是以后要学习的非常重要的数学方法。

在计算1÷3的过程中首先遇到的问题是永远除不尽，然后是每次都商3。这两个问题在本质上是一样的，都是因为余数重复出现。无限是一个想象中的概念，小学生要理解无限的概念是比较困难的，通过对数列的观察与比较，让学生想象“数列的极限”，感悟有限小数不能精确表示计算的结果，体会数学概念产生的必要性。在0.3，0.33，0.333，0.3333，…这个数列中，如果n表示3的个数，当n→∞时，这个结果与除法的准确值的距离越来越小，在这样的情况下，直观的解释就是它与在数轴上的距离趋近于0。

三、循环的符号表示

在数学教学中，如果让学生经历数学符号再创造的过程，不仅可以增进符号的意义理解，还能分享数学符号的智力表示。循环的符号表示，就是把循环小数的周期用循环节表示出来，教师教学时可以抓住“如何表示计算结果？”这个基本问题，讨论模式的识别与记号的规则。

师：再请大家计算5÷6、8÷37这两道题，一边算一边思考，除到什么时候就可以“适可而止”了？

（出示学生的算式）

师：如果继续往下除，结果会是怎样的？

生：5÷6的答案是0.8333…，后面还有很多3。

生：8÷37的答案是0.216216216，后面还是216。

师：刚才我们已经计算了3道题，结果都是除不尽的。以1÷3为例，得数怎么写比较好呢？

生1：1÷3=0.333（很多个3）。

生2：1÷3=0.333（在3的下面加大括号，注明n个）。

生3：1÷3=0.333…。

生4：1÷3=0.3。

师：现在有四种记录结果的方法，你们都看得懂吗？有什么问题要问的？

生：第四种方法在3上面加一个点是什么意思？

生：就是这个3会反复出现，它的意思跟第三种方法差不多。

师：在3的上面戴个“小帽子”，表示它会不断地重复出现，这个想法怎么样？

生：比较简洁。

师：这是你的评价。其余三种表示方法你们怎么看？

生：前面两种太麻烦了，要写这么多的字。

师：你们的意思是比较喜欢用第三种或第四种表示方法，对吗？

生：对。

师：选择自己喜欢的方法，把5÷6的计算结果也表示出来。

生1：5÷6=0.83…

生2：5÷6=0.83。

生3：5÷6=0.83。

师：比较这三种方法，有什么评价，或有什么问题？

生：第一种方法后面重复的是什么呢？

师：对呀，是什么呢？重复的是83还是3？

生：是3。

师：这就说明这样记录，没有把哪些数字会重复清晰地表示出来。像上面这样，用省略号表示除不尽或写不完，但不能清楚地表示哪些数字重复出现。

师：比较第二种与第三种方法，有什么评价？

生：第二种表示方法是错的，因为重复出现的是3，而不是8和3。第三种方法是对的。

师：在数字上记一个小圆点，这个小圆点在哪个数字上，就表示这个数字会重复出现。

师：8÷37的结果怎么表示呢？

生：8÷37=0.216。

生：8÷37=0.216。

师：如果继续往下写，小数部分2、1、6这三个数字依次不断重复出现，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。数学上，我们采用第二种表示方法。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位与末位数上面各记一个圆点。