抽象形成概念 运算演绎意义

【摘 要】数学概念是经过多级抽象得到的，是“数学化”的效果。教学抽象的数学概念需要回到情景中“找意义”。分数的定义是发生式的，可以用整数的运算演绎分数的意义，通过运算与推理建立模式，实现数学概念的符号化与一般化。小学数学中学习的分数应用题都可以归纳为“求一个数的几分之几是多少”的问题，解决这些问题正是以分数意义的理解作为基础的。

【关键词】分数意义 数学化 数学抽象 发生式定义

数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象是形成数学概念的基本过程，许多数学概念是从实际生活中通过理想化的形式抽象出来的，学生学习这些概念的有效方式就是“重蹈”这个抽象的过程。

即便是从现实生活或具体情境开始，经由多级抽象后得到的也往往是形式概念，这个过程弗赖登塔尔称为“数学化”的过程。学生在初步获得形式概念后，为了强化对概念的理解，并在问题解决过程中应用概念，还应当经历一个重新寻找意义的过程。“数学化”与“找意义”是互逆的过程，是数学教学中的基本活动，其中“数学化”是弗赖登塔尔提出的数学教学的基本原则之一。

浙教版数学三年级下册安排了学习分数的初步认识，四年级下册安排了学习分数与除法，五年级下册安排了学习分数的意义与性质。其中，分数的意义这部分教材中设计了三个教学的层次。

第一个层次是以长方形作为单位“1”的几何直观，利用分数与除法共享平均分概念的便利，理解单位“1”的均分得到分数单位，几个分数单位的复合得到分数，并把这个意义表示为“先除再乘”的运算过程，如图1。

图1

第二个层次是把单位“1”假设为不同的数量，通过具体的运算和推理理解分数的实际意义，并在不同情境的比较中初步感知分数的“无量纲性”，如图2。

图2

第三个层次是从不同的例子中概括出抽象的单位“1”，归纳出分数的一般意义，并用字母符号的运算表征这个过程，形成抽象的分数模型，如图3。

图3

以上三个层次是“数学化”与“找意义”相互交融的过程。第一个层次是抽象结构，即把抽象的数学符号具体化，用几何直观表示其意义，并结合数学运算解释意义的发生过程；第二个层次是符号运算，即把单位“1”表示为不同的数量，通过数学运算演绎分数的具体意义；第三个层次是模型构建，即通过形式推理得到分数的一般意义，其中的形式推理既包括从具体情境中归纳出抽象的单位“1”，也包括运用字母进行形式运算，演绎分数一般意义的过程。

通过具体的运作理解抽象的概念，在抽象与具体之间形成联系与解释的回路，是新思维数学分数意义教学最重要的特色。运算演绎意义，既可以增进学生对分数意义的理解，也有利于培养学生数学抽象的核心素养。

下面介绍这节课的教学环节，着重于数学抽象和数学运算的过程。按照感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征等四个环节展开。

一、感知与识别

分数与整数、小数一样，都是若干个计数单位累加的结果。把分数与整数、小数进行联系与比较，可以突出计数单位在数的构成中的重要性，有利于学生理解若干个分数单位累加得到分数的过程。

师：老师在黑板上写三个数—30、0.3、，你们说说它们有什么不同与相同。

生：30是自然数，0.3是小数，是分数。

生：它们都有数字3。

师：没错，每个数里都有“3”。这些“3”表示的意义一样吗？

生：30里的3表示3个十，0.3里的3表示3个0.1，里的3表示3个。

师：今天我们学习分数的意义。表示什么意思，你们知道吗？

生：把一个物体平均分成5份，表示这样的3份。

生：把20个苹果平均分成5份，表示这样的3份。

师：你们举的例子很好，有的是把一个物体平均分，也有的是把一些物体平均分。能不能画一幅图，把你们心里想的表示出来？

学生独立画图，教师选择部分作品展示交流。

（数学概念的形成是从特殊开始的，以这个分数为例，引导学生解释其含义，理解意义的“多样性”。数学概念的思维是从直觉开始的，画图表示就是按照定义的语义表示这个分数，把抽象的意义“过程化”。“多样性”和“过程化”为抽象概念提供了丰富的素材与思维的便利。）

二、分类与概括

抽象必须关注研究对象的共性，数学抽象就是用数学的眼光去观察。首先是识别事物间的相似性，然后通过分类把有共同属性的数学对象放在一起，把这些对象中具有相似性的特征概括出来，形成抽象的数学概念。

师：（同时展示学生的四幅作品，作品略）请同学们观察这些作品，它们都画得正确吗？

生1：正确。

师：选择一幅图来说一说，它是如何表示的？

生2：把一条线段平均分成5份，其中的3份是。

生3：把5支铅笔平均分成5份，其中的3支是。

生4：把长方形平均分成5份，涂色的有3份，是。

生5：我想以生活中的例子来说。妈妈买了5个苹果，平均分成5份，假如吃掉3个，就表示吃掉了。

师：如果要把这四幅图分成两类，可以怎么分？

生6：把一个物体平均分的作为一类，把一些物体平均分的作为一类。

师：一个物体，一些物体，我们把它统一说成是一个整体。那么，这两类表示的意义可以怎么说？

生7：把一个整体平均分成5份，其中的3份就是。

（学习分数意义的重点与难点是一致的，都是对单位“1”的抽象。通过分类的活动，把均分的不同对象分成“一个”与“一类”，统称为一个整体，这是单位“1”抽象的第一阶段。）

师：可是你们看有些图，它们的形状、大小甚至数量都不相同，为什么都能用表示？

生8：因为都是平均分成5份，表示了这样的3份。

师：说得很好。用一个长方形可以表示，用5个苹果也能表示，它们有什么联系呢？

（学生无答。）

师：如果要把苹果放到长方形的图里，你打算怎么放？

生：长方形中的1份就表示1个苹果，3份就是3个苹果。如图4。

图4

（数学学习的任务不是发现已经存在的内容，而是构建数学的研究对象。教学不能止步于复述已经知道的内容，而是要理解概念的抽象意义。把具体数量对应到几何图形中，实现数与形的连接与转换有两个目的：一是在不同的情境中建立意义的联系，二是为下一步具体数量的运算推理打下基础。）

三、想象与建构

运算就是用数学的思维去分析。通过运算演绎分数的发生过程，帮助学生理解分数意义，使抽象的分数意义具体化、过程化。

师：一块长方形菜地，种西红柿，怎么表示它的？

生：把这个长方形平均分成5份，表示其中的3份，如图5。

图5

师：会说还要能算。你刚才说的这句话能用算式来表示吗？把这个长方形记作“1”，平均分怎么表示？这样的3份怎么算？

生：1÷5×3。

师：1÷5表示什么意思？

生：平均分成5份。

生：平均分成5份，取其中的1份。

生：每块有。

师：你能在图上找到吗？

（学生到图上指。）

师：为什么还要乘3？

生：有这样的3份。

师：也就是说，3个是。（板书：1÷5×3=× 3=）

[分数的定义是发生式的，对于一个具体的分数来说，按照语义去做就能得到这个分数。因此，在分数的初步认识中通常要求画图表示某个特定的分数。在这里，利用分数与除法共享平均分概念的便利，把“做分数”的过程用算式进行表征，用单位分数乘整数（每份数×份数）表示“分数即先分再数”的意义。]

分数的意义从抽象层面上解释比较容易，在具体的问题情境中解释反而比较困难。在学习分数的意义后，学生可以很流利地按照句式说出一个特定分数的意义，但是当把这个分数置于具体的情境中解释时，不少学生就会遇到困难。为什么要学习分数的意义？学习分数意义是为解决分数应用问题做准备的。小学学习的分数应用题都可以归结为“求一个数的几分之几是多少”的问题，解决这些问题正是以分数意义的理解为基础的。因此，更为重要的是把抽象的分数置于具体的情境中加以解释。

师：如果一块长方形菜地的面积是200平方米，它的是多少平方米？先自己想一想，算一算，再与同桌交流。

生：200÷5×3=120（平方米）。

师：看懂这个算式的意思了吗？

生：200除以5就是1份，乘3就是3份。

师：1份是怎么得来的？

生：把200平方米平均分成5份。

师：我把它表示成，你们看得懂吗？

生：就是200平均分成5份。

师：在图里找一找，是哪一部分？

学生指其中的1份，教师将写入其中。

师：我们把计算过程完整地写下来，就是200÷5×3= ×3=120（平方米）。

师：这块长方形的地，我们可以用两种方法来计算它的大小：1÷5×3= ×3=，200÷5×3= ×3=120（平方米）。比一比，它们有什么联系？

生：计算方法是一样的，都是先除再乘。

生：都是先求出1份，再求出3份。

师：你们从不同的角度表达了相同的意思。先除就是得到其中的一份，再乘就是表示这样的几份。

（长方形是单位“1”的几何直观，用具体的数量来代表单位“1”，让学生参与实际的运算，可以把抽象的概念过程化、具体化。如果学生之前不了解分数与除法的关系，把每份数量表示为分数的形式就会有困难。需要说明的是，这样表示的目的不是要学习分数的运算，而是为了理解分数的意义。）

师：我们再来发挥一下想象，如果农民伯伯在这块长方形的地里收获了450千克西红柿，卖出了，卖出了多少千克，怎么算？

生：450÷5×3= ×3=270（千克）。

师：还是用长方形的图形来解释。450表示什么？除以5表示什么？为什么要乘3？

（学生解释略。）

（长方形是单位“1”的化身，是单位“1”的几何直观，这是单位“1”抽象的第二阶段。把长方形想象为不同的数量，通过具体数量的运算构建起抽象的意义理解。这时，数量直观。运算支持了理解，运算过程的每个步骤都可以在图中找到具体的意义，而且通过比较，学生初步感知了“量”与“率”的对应与联系。在计算过程中，感受单位“1”不同，相同分数所表示的实际意义就不同，凸显单位“1”在分数中的重要意义。）

学习分数意义要经历两个重要的数学抽象过程：一是等置抽象，是指对分数指代的一类对象共同性质特征的抽象，用没有对象和单位的数字表示，如；二是关系抽象，是指对分数产生过程中数量关系的抽象，用形式化的数学符号来表示，即分数。

师：这个长方形真神奇呀，它就像魔盒一样，可以表示一个图形，可以表示一个数量，大家想想还可以表示什么。

（学生举例略。）

师：你们举了很多的例子。我也来举一个，它表示100可以吗？

生：可以。

师：它的是多少？你们会算吗？

生：100÷5×3=×3=60。

师：现在增加难度。如果它的表示300，这个长方形表示多少？你是怎么想的？