创设合适的问题情境 渗透正确的统计观念 

【摘 要】平均数是统计学概念的核心，教学平均数时要培养学生数据分析的核心素养，关键在于问题情境的创设。好的问题情境要有现实背景的支持，并能体现数学的实质。把平均数的概念学习置于问题解决的背景中，能帮助学生建立正确的统计概念，有利于引导学生理解概念的产生与目的，体会数据分析的作用与意义，感悟数据的随机性与分析推断的多样性。

【关键词】平均数 问题情境 数据分析

平均数是统计学的核心概念，在一定程度上可以说，统计方法就是用数学工具去处理种种形态下的平均值问题。如果我们从理论的角度走一点极端，则可以说，一部数理统计学的历史，就是从纵横两个方向对算术平均数进行不断深入研究的历史。

可以从三个角度理解平均数—算法理解、概念理解和统计理解，这也可以看作平均数概念理解的三个不同层次。从统计学的特点与本质上看，对于平均数概念的学习而言，重点是概念理解，难点是统计理解。教学时要设计合适的问题情境，让学生体会统计活动的必要性和概念产生的必然性，并在运用概念解决问题的过程中，渗透正确的统计观念，培养学生数据分析的核心素养。

一、创设合适的问题情境，体会统计活动的必要性和概念产生的必然性

情境与问题是联系在一起的，一个情境是否合适并不仅仅取决于情境本身，而在于所提出问题是否能够揭示数学的本质。从这里不难看出，合适的问题情境有两个要义：一是要有现实背景的支持，二是要能体现数学的实质。

什么样的问题情境适合用于教学平均数概念？下面以北师大版小学数学教材为例展开讨论。教材中的情境设计如图1。

图1

“淘气能记住几个数字？”就是一个现实生活中合理存在的问题，并且这样的问题也是学生乐意思考的。怎么才能知道这个问题的答案？解决这个问题的思路是什么？

具备数据分析素养的人，能利用统计活动解决这样的问题。他们会考虑先调查，收集数据，再通过分析数据作出判断，即通过数据来分析与解决问题。

可是，每3秒呈现10个数字，从5次调查中收集到的数据并不相同，也就是说数据是随机的。到底用哪个数据作为代表？这就需要进一步分析收集到的数据，让学生经历寻找这个“合适的数作为代表”的过程，就是理解平均数意义的过程。

统计学的基本思路是根据所关心的问题寻求好的方法，分析和判断数据，得到必要的信息去解释实际背景。北师大版小学数学教材中以问题解决的思路来设计平均数概念的学习，正是体现了这个基本思路。

一般来说，统计教学中的问题情境创设要注意两个方面：一是问题情境本身要有统计意义。也就是说，统计活动的最终目的是解决具体的问题，因此，问题最好来源于现实。二是数据要有随机性。只有随机的数据才能真正体现统计思维的特点，即一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。我国杰出的数理统计学家和教育家陈希孺院士指出，只有那些受偶然性因素影响的数据，才是统计学处理的对象。否则，学生应用的是算术中的平均数，是代数概念而非统计概念，由此形成的理解只是算法理解而非统计理解。

二、展开数据的分析过程，感悟数据产生的随机性和统计推断的多样性

数据是统计工作中不可或缺的基本材料，数据的分析过程包括收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论。平均数概念的教学，核心的环节是数据分析中的提取信息与进行推断，前者是概念的理解，是教学的重点，后者是概念的应用，是学习的难点。

下面以北师大版小学数学教材中的问题情境为例，介绍平均数概念教学的主要环节，以数据分析过程作为教学展开的过程。

1.收集数据

师：有一个考查短时记忆的小游戏，这个游戏叫作“3秒钟能记住几个数字”。游戏规则是屏幕上会出现一连串没有规律的10个数字，保留3秒钟，之后隐去这些数字，把你记住的数字按屏幕上的顺序记在纸上。你估计自己能记住几个？

（学生估计）

师：大家估得不一样，要想知道自己能记住几个，你们有什么建议？

生：可以玩一玩、试一试。

师：我们先测试一次，看看能记住几个。请大家准备好。

（屏幕上呈现10个数字，3秒钟之后隐去，学生记录自己记住的数字）

师：现在10个数字重新呈现在屏幕上了，请你们自己核对。要按照这个顺序记录才能算对，如果没有按这个顺序，或者中间有漏掉的，都不算数。来，统计一下你们记住了几个。

学生有的说4个，有的说6个，有的说7个……

师：大家记住的个数有多有少。如果就以刚才汇报的个数作为这些同学玩这个游戏的成绩，你们同意吗？

生：不行，再来一次。我刚才没有发挥好。

师：好，我们再来一次。

……

师：这次记住的个数比上一次多了还是少了？

（有的学生说多了，有的学生说少了）

师：如果再玩一次，你们能记住几个呢？先猜一猜，再试一试。

2.整理数据

师：如果现在让你们汇报成绩，你们准备汇报哪一次的成绩？

生：第二次的，第二次比第一次多。

生：我想可以再试几次，慢慢熟练了就能记住更多。

师：如果测试的次数多了，我们就能收集到更多的数据。淘气小朋友也玩了这个游戏，这是他5次测试的成绩，我们把它记录在表格中，请看：

淘气5次记住数字的情况统计表

次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

记住数字的个数 4 5 5 7 9

培养学生数据分析的观念，最有效的方法是让他们参与数据分析的全过程，包括数据的收集与运用数据进行推断并得到结论的过程。玩游戏的过程其实就是通过调查活动收集数据的过程，学生亲历这个过程，既可以激发学习的兴趣，也可以体会数据的随机性。但是，有时收集的数据并不适合在教学中讨论分析，甚至会出现用平均数刻画集中趋势并不合适的情况。因此，教学可以在学生经历调查与收集数据的过程后，直接根据教材提供的数据展开讨论。

3.提取信息

师：观察这些数据，你们发现了什么？

生：从第1次到第5次个数是增加的，第3次跟第2次是一样的。

师：先描述数据的整体，再关注个别的数据，这种分析数据的方法真好。

师：还有不一样的发现吗？

生：数据有时变大，有时不变。

师：也就是说，每次测试的成绩不太稳定。

师：如果淘气向老师汇报他的成绩，他应该报几个？

生：我认为是5个，因为第二次可能会熟练一些。

生：我也认为是5个，因为5个出现了两次。

生：我认为是5个，因为从小到大排列是4、5、5、7、9，这些数中5处于最中间。

生：我认为是7个，从小到大排起来，中间是5个，可是后面的个数比前面多，所以应该汇报是7个。

生：我认为是6个，把所有的数加起来是30，再除以5就等于6个。

师：你们的意见集中在5个、6个、7个上，为什么不选4个或9个？

生：4个太少了，9个太多了。

4.构建模型

师：那么5个、6个、7个，用哪个数据作为代表，或者说淘气到底汇报几个更合适呢？

生：6个。因为它是用5次的总和除以次数得到的。

师：你肯定知道这个数叫什么吧？

生：平均数。

师：对。用总个数除以次数[板书：（4+5+5+7+9）÷ 5=6（个）]。这里的6个，数学上有个专门的名称，叫作“平均数”。

（板书：平均数）

师：用统计表中的数据算一算，可以得到它们的平均数。在这个统计图中（呈现象形统计图，图略），你能把这个平均数找出来吗？

生：能。

师：动手之前，先告诉大家你打算怎么做。

生：把多的移给少的。（学生操作，如图2）

图2

师：通过“移多补少”也可以找到平均数。

师：现在你们是怎么理解平均数的？

生：平均数是不大不小的数。

生：平均数就是把所有的数加起来，除以总个数。

师：有比较才有鉴别。现在你们能给出更充分的理由来解释为什么不选5个或7个了吗？

（学生讨论，略）

平均数通俗易懂的含义就是“均贫富”，即原本有多多少少的若干量，经过平均以后，它们最终变得一样多，这个最终的量就是原本那些量的平均数。用算法化与直观化两种方法求得平均数，都不是最重要的。运算与操作都是为了理解平均数的意义，具体到问题情境中，就是要能分析比较，解释为什么选择“6个”作为这组数据的代表是更合理的。平均数的概念是在描述和分析数据中自然产生的，学生可以感悟到创造数学概念的必要性。至此，平均数成为在解决一个现实问题过程中构建的模型。

5.进行推断

师：观察淘气前面5次记住的个数，我也已经知道这5次的平均数是6个。请大家猜一猜，如果淘气再试一次，第6次的个数会是几个呢？说说你们的理由。

生：10个。因为每次都在进步。

师：10个，有可能吗？

生：有可能。

师：一定是10个吗？

生：不一定。

生：也可能是8个。因为有时发挥不稳定，会退步的。

师：你觉得有道理吗？

生：有道理。

师：有人说，在6个左右的可能性比较大，你们怎么想？

生：我想也是有道理的，因为平均数是6个，说明他的水平就是6个左右。如果试的次数多了，练熟了，有可能会比6个多一些。

师：刚才你们有不同的猜想，并且都给出了自己的理由，有10个的，有8个的，还有6个的，一切皆有可能。但是相比较而言，在平均数上下的可能性会更大一些。平均数可以帮助我们推断。

统计推断的挑战在于结论的不确定性。让学生猜想下一次可能记住几个，不仅是运用平均数的概念进行统计推断，而且也是为了感悟数据的随机性。在这个统计推断活动中，数据的随机性与规律是对立统一的两面：一方面，现象的发生具有不确定性和不可预见性；另一方面，又表现出非偶然的规律性，即稳定在平均数上下。

6.获得结论

师：现在，前面的问题有答案了吗？淘气3秒钟能记住几个数字？

生：6个。

生：不对，更合理的说法是6个左右。

生：说平均数是6个更准确一些。

师：如果你想知道自己3秒钟能记住几个数字，你打算怎么做？

生：估计跟淘气差不多。

生：可以试几次，把数据记录下来，再求出平均数。

以上教学，把平均数的概念学习设计在问题解决的情境中，让学生完整地经历了数据分析的全过程，其核心还是问题情境的创设。在教学中，问题情境的设计要考虑如何将各个因素结合起来，以实现特定的教学目标。在以上的问题情境中，讨论的核心问题是用几个作为这组数据的代表，由此引发一系列的思考：为什么要有平均数的概念？如何得到一组数据的平均数？平均数能帮助人们做什么？这些问题，不仅联系了平均数概念的意义理解与实际运用，而且也让学生经历了运用数据统计推断的过程，感悟了数据的随机性和规律性，培养了数据分析的核心素养。

三、把握知识的数学本质，突出核心概念的重要性和知识理解的完备性

平均数在统计学中是一个非常重要的概念，因为在假定条件下，样本平均数是真实数据的一个好的估计。如果仅就数学计算而言，平均数只是一个包含了加法和除法的算式，对数学计算来说实在是无足轻重，但平均数是小学数学中最重要的统计概念，平均数的教学要让学生体验和感悟数据分析的要义，培养数据分析的核心素养。特别地，对平均数的学习要达到统计理解的层次水平，需要以数据随机性的理解作为基础，体现统计学的教育价值。

平均数有许多重要的性质，较重要的是“零的原理”，即所有数据与均值的偏差之和为零。对于学生来说，他们还需要知道平均数位于最大值和最小值之间，会受到不等于平均数的数据值的影响，不需要与参与相加的数据中某一个相等，可以是一个在现实中没有实际意义的分数或小数等，以获得对平均数概念更加深刻的理解。

平均数、中位数、众数都可以作为一组数据的集中趋势。使用什么指标作为一组数据中心的代表，取决于这组数据的含义以及数据分布本身。平均数的作用往往被过分渲染而没有注意它的适用范围。其实，平均数最适合用于数据呈对称分布状态，尤其是正态分布的情况。数据呈偏态分布，当有极差值以及有些数据不够准确时，选用平均数都是不合适的。此外，平均数区别于其他数据集中趋势的统计量，最大的优势在于可用于对数据作进一步的分析与处理，如计算方差解释离散程度。

平均数这节课的教学不好设计，主要是联系的背景知识太复杂，教学不容易做到“深入浅出”。或许，这就是一种学无止境的体验吧。

【参考文献】

[1]陈希孺. 数理统计学简史[M].长沙：湖南教育出版社，2002.

[2]刘坚，孔企平，张丹.义务教育教科书·数学（四年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[3]史宁中.数学基本思想与教学[M].北京：商务印书馆，2018.

[4]史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.