基于单元设计理念的概念课教学设计
作者： 王思俭
[摘要] 新的一轮课程改革已经实施三年，本次课程改革倡导以生为本，旨在通过对数学核心素养的培养，完成立德树人的根本任务。而“单元整体教学设计”作为推进课堂教学改革及落实核心素养的重要途径，需要做好整体设计与整体统领下的后继学习，形成单元内部的连贯、单元与单元的一致性、数学与生活的应用性、数学与其他学科之间的创新性，体现数学学习的一般观点，以及研究问题的普适性。
[关键词] 单元设计;核心素养;概念课;数学思维
一、问题提出
目前课堂教学的实质改革仍然有限，教学方法仍然是“题型+方法”，这扼杀了学生的创造性思维。究其原因，主要受高考“唯分数”指挥棒的影响，以高考升学率为目标，以一本率为评价标准，将数学内容碎片化为知识点，采用“微专题”轰炸，再通过所谓“二级结论”进行“灌输+记忆”的教学方式强加给学生，再总结“秒杀、妙解”等刷题“特技”，用来提高高考分数，这种模式不利于学生夯实基础、提高能力，不利于发展数学核心素养，更不利于提高学习数学的兴趣，增强数学学习的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力[1]等课程目标的实现。所以，课堂教学必须强调并落实“数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性”。[2]
鉴于此，课程改革强调“以具体整体性的知识单元为载体、从认知的联系性出发进行设计并开展课堂教学”。[3]笔者应苏州大学数学科学院和教师教育学院邀请，于2019年12月为苏州大学2017级研究生和江苏省优秀数学骨干教师执教了“导数在研究函数的应用”，旨在探究单元教学设计的新思路，落实新课标所倡导的“数学育人”。
二、基于单元设计理念的教学设计
（一）学情分析
教学对象是本校高二15班共31名学生，该班是本校与中国科学技术大学少年学院联合创办的首届少年预备班，学生是从初二（或初一）直接选拔读高中的，年龄都是14-16岁。他们思维活跃，思维水平较高，反应较快，接受能力、自主探究能力和理解能力较强，善于发现新问题，但数学语言表述不到位，特别是逻辑推理方面欠缺。选择这节内容开设公开课，旨在引导学生利用已有的基本经验和直观想象，发现函数的单调性与导数的内在联系、揭示导数与函数极值、最值之间的一致性，引导学生学会用数学思维分析事件。
（二）教材分析
导数在研究函数中的应用十分重要，人教版高中数学选择性必修第二册第84-97页详细阐述了函数的单调性与导数关系、利用导数求函数的单调区间、极大（小）值、最大（小）值以及实际应用。概念较多，特别是极值与最值的概念学生容易混淆。对于思维水平较高的学生，在正常学习之上应有新的教学思路。
（三）设计理念及教学目标
1.设计理念
数学概念教学一般包括：概念的引入、内涵和外延的明确、概念的应用。教学过程不能只让学生被动接受、强加记忆、机械模仿和超量刷题，而是让学生自主探究，通过动手操作、主动参与、智力参与、主体体验、合作交流等方式，“再创造”自己的数学意义和数学经验活动，使数学学习成为发展智力、提高一般科学研究能力的有效途径。
基于单元设计理念的教学设计路线如图1所示。
2.教学目标
（1）知识目标：用导数刻画函数动态的单调递增和单调递减的概念，会用导数的方法研究函数的单调性、极值和最值。
（2）过程目标：体会数学符号语言描述数学对象的精确性、简约性，初步体验从运动中、从数形结合中发现导数的正负性与函数单调性的关系，体验发现数学性质的乐趣。
（3）素养目标：培养学生学会观察问题、提出问题和解决问题的能力，会用数学方法研究实际问题，创造性地解决问题，感悟数学的本质。
（四）教学过程
在新课程改革中，根据数学知识的“生长”规律，学生的认知现状和发展需求，整体把握教学要求，单元设计教学内容与教学方法。这样的教学，注重知识之间的联系，有利于知识的结构化、系统化，避免了知识碎片化、孤立化;有利于数学理解，养成“联系知识”的习惯;迁移知识和方法，促进知识的巩固;助力数学应用，促进数学学科素养的培育。
1.创设基本经验 关联数学的整体性
学生学习数学是从学习数学概念开始的，数学概念是学生认识数学、理解数学和应用数学的源泉，可见，数学概念教学十分重要，是学生建构数学认知体系，完善数学知识的框架，提升数学素养的起点。为此，在概念课的教学中，情境创设尤为重要，学生基本活动经验更加珍贵，以旧引新是情境创设常用的方式，根据本节课的教学内容，笔者设计了以下基本活动经验。
师：下列函数：（1）f（x）=2x+1，g（x）=2x+1;
（2）f（x）=x2-2x-1;（3）f（x）=;（4）f（x）=
x3+x;（5）f（x）=sinx（x （-π，π））。用什么方法研究下列各函数的单调性？
生（齐）：画图或者定义法。
师：利用数形结合思想或者定义法是解决问题基本方法，当然也会有其他方法。
[设计意图]利用常见函数图像、单调性与函数导数正负号进行比较，引导学生在已有的基本活动经验的基础上探索新的研究策略，培养学生发现问题的能力。
当听到学生小声议论“还会有什么新的方法呢”“导数法可以吗”时，笔者顺势引导学生思考下面的问题。
师：上述几个函数的单调性与其导数有什么关系？就这个方面你们能提出新的问题吗？
生（齐）：如果f '（x）>0，则f（x）单调递增;如果f '（x）<0，则f（x）单调递减。
师：不规范，指定区间I必须连续，如（3）中的反比例函数，虽有f '（x）<0，但不能说它是单调递减的;而（5）的正弦函数在指定区间上导函数正负交替出现。
[设计意图]对不同类型的典型实例进行属性分析、比较、综合，概括出它们的共同属性得到本质特征，为抽象导数与单调性的关系做好准备。
2.重构概念内涵 理顺逻辑的连贯性
美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的。”[4]因此，在组织教学活动中，让学生认识到数学概念不是凭空产生的，也不是孤立的，它是在原有基础上不断发展而来的，具有一定的结构性和连贯性。数学概念也可以有其他的表达形式，如函数的单调性在必修一中已经学习，那么利用导数的几何意义和极限思想进一步研究函数的单调性，有助于学生理顺新旧表达方式逻辑的连贯性。鉴于此，笔者提出了以下问题。
师：怎样利用导数来刻画函数的单调性？
生1：利用函数单调性定义和导数定义进行研究。
师：很好！你们能建立“函数的单调性”与“导函数的正负性”之间关系吗？
生2：根据函数单调性定义，已知f（x）的定义域为D，对于给定区间I=（a，b），ID，x1，x2 I，x1
>0;递减有<0。再
由几何意义是割线斜率，割线PQ的斜
率为正数时，函数单调递增，割线PQ的斜率为负数时，函数单调递减，而每条割线的斜率都对应唯一一个导数值。
因此，在区间（a，b）上函数的单调性与导数建立了对应关系。
师：那位同学从函数的单调性的定义变式与导数的定义建立联系，从而引出用导数研究函数的性质。
生3：应该用数学符号表述，令x 2=x1+x，当x1→x2时，有x→0，于是 =
=f '（x1）
师：很好！这样就最为严谨，因此要学会用数学语言表述事件。
[设计意图]通过复习函数单调性定义及变形形式，帮助学生进一步理解导数的内涵与几何意义，让学生进一步熟悉导数的定义，并进一步体会极限思想。
生4：若f（x）在（a，b）上单调递增，则f '（x）>0;f（x）在（a，b）上单调递减，则f '（x）<0。
生5：不严谨，如函数f（x）=x3在R上单调递增而在x=0处的导数f '（0）=0，因此f '（x）≥0。
师：很好！发现问题和提出问题比解决问题更重要。因此，在平时学习过程中，要善于观察、思考、分析，敢于质疑，要学会积累典型的反例。
生6：对于函数，x∈（a，b），任意x1，x 2∈（a，b），当
x1 =f '（x1） 因此，当f（x1） 师：很好！由此可见，函数的单调性定义与导数的正负性是一致，逻辑上是连贯的。x∈（a，b），f '（x）与单调性息息相关，你们能概括出一般的结论吗？ 生7：一般地，对于函数y=f（x），如果在某区间I上f '（x）>0，那么f（x）在该区间上是增函数;如果在某区间I上f '（x）<0，那么f（x）在该区间上是减函数。（几何直观图如下） [设计意图]帮助学生从几何直观角度进一步理解函数的单调性与导数正负之间的关系，体会数形结合的数学思想，从演变的过程，提升数学抽象到具体的思维。 师：你们能举例说明“若f '（x）>0，则f（x）是单调增函数”吗？ 生（齐）：f（x）=ex，f（x）=lnx（x>0），f（x）= 2x-sinx，等等。 师：正确！这属于开放性问题，需要你们自己去构造函数使之满足题设条件，也是新高考的试题中经常出现给出一定条件，请考生举例的一类题型，因此，在平时学习中要学会积累基本活动经验。 追问：如果f（x）在某区间上单调递增，一定会有 f '（x）>0吗？ 生8：这种情况未必，例如f（x）=x5，而f '（x）= 3x4≥0，存在x0=0，使f '（x0）=0。 再追问：若函数f（x）在定义域内存在 f '（x）>0（或 f '（x）<0），能否说明f（x）在定义域内是增函数（减函数）？请举例说明。 生9：反之也未必成立。例如：， ，但f（x）在定义域内不是增函数，因为 f（x）的定义域不连续，需要去掉x=0。 师：很好！你们举例具有代表性。从上述讨论中可以发现，“f '（x）>0”是“f（x）在定义域内是增函数”的必要不充分条件。 [设计意图]通过一个问题连续追问，培养学生的思辨能力，同时根据高考评价体系要求，培养学生独立思考的能力迫在眉睫，提升学生思辨能力。 3.挖掘概念外延 渗透思想的一致性 在概念教学中，让学生通过对提供的素材进行整理、加工、归纳、抽象出概念，同时鼓励学生继续挖掘素材的外延，深度探究概念、知识之间内在联系，给出新的命题，可以将单元内的知识进行有机整合，体现知识之间的思想方法的一致性和普适性，从而教会学生科学研究问题的一般方法。从具体函数出发挖掘概念的外延，如函数的极值、最值往往是通过函数的单调性来解决的，于是，笔者设计了如下问题。 师：请你们继续观察开始给出的几个函数图像，结合知识经验，你们能提出什么问题？