浅议如何通过感悟数本质的一致性发展符号意识

作者简介：赵砚（1982～），女，汉族，吉林长春人，长春市第一实验银河小学，研究方向：小学数学。

摘  要：分数与自然数具有相同的符号意义，都是用来表示具体数量，是对具体数量的符号化表示。有些量可以用自然数来表示，而分数就是用来表示无法用自然数度量的量，是通过分割产生的新的数，分数正是能够精确地表示这类数而引入的数学符号。从学生所熟悉并感兴趣的生活经验出发，利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的活动，逐渐形成分数的符号化表象，建立对分数的符号化形式的理解，而再进一步理解分数的意义，并将意义与符号统一。利用几何直观将学生已有的经验与知识，通过适当的操作活动展示出来，将数字符号用自己理解的图画体现出来，不仅拉近了数学符号与学习情境的距离，更让学生的思考有的放矢，有参照、有对比，这样才能建立比较清晰、准确的认识，才能从本质上理解数字符号的意义。

关键词：几何直观；符号意识；数本质

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1673-8918（2024）09-0109-04

一、 单元知识结构分析

北师大版三年级下第六单元主要学习分数的初步认识、简单的分数大小比较和同分母分数的加减运算。分数的初步认识是学生后续学习分数比较大小、简单计算的基础，同时也为学生深入学习分数的意义做好铺垫。从整数到分数是数概念和意义的一次扩充，不仅让学生理解分数与自然数具有相同意义，也是表示一种量，同时更应该让学生感受到分数与整数在构成方式上的一致性，强调数是对数量的抽象，注重打通数之间的关联，把握数的一致性。

（一）课标研读

2022版数学课程标准当中，在“数与代数”领域当中明确指出了“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性”。

从数概念本质上来看，“一致性”主要体现在两个方面：

一方面，整数、小数和分数都是对数量或者数量关系的抽象。另一方面，无论整数、小数还是分数，都可以从计数单位以及计数单位个数的角度来认识。

由此可见，建立整数、小数和分数概念一致性的关键之一就是要从“计数单位”的角度来认识。

分数概念的教学需要从过程与对象两个维度来实施，既要充分凸显分数产生的过程，体会到分数的符号化意义，同时也需引导学生感悟分数的本质特征。从基础到提升，借助几何直观，帮助学生丰富分数概念的内涵，从而培养学生的符号意识。

（二）纵向比较，把握前后知识脉络

以现行北师大版教材为例，“数”概念的教学结构安排如表1所示。

从“一个一个”的数到“一组一组”的数。数的发展过程同样伴随着计数单位的发展。因计数的需要而产生新的计数单位。计数活动的本质是创造计数单位。

无论整数、小数还是分数，都可以从计数单位和计数单位的个数角度来认识它们，“数”在形成过程中体现出的本质都是依靠不同的计数单位累加而形成，都可以从计数单位和计数单位的个数角度来认识。分数与自然数类似，是数计数单位的个数“数”出来的。如此来看，“计数单位”的形成与“计数单位”的累加过程就是“数”形成的过程，这样分数与自然数的构成与结构就都一致了，更有助于学生认可分数是个“数”，有助于学生感悟数的概念的本质的一致性。

（三）横向梳理，解读单元教学内容

从整数到分数是一个数字概念的延伸，也是一个计数单位的延伸。那么在学生学习分数的形成过程、分数的大小比较以及分数的加减法运算当中，其核心内涵都是分数单位。

通过对这一自然单元知识内容的横向梳理我们发现，在分数的意义的初步教学中，要让学生通过操作，体会到计数单位在分数形成过程中所起的作用，就必须经历分数单位的产生过程。

那么本单元要解决的核心问题就是：

（1）感悟分数单位是分数的本质。

（2）感悟分数与整数的数概念的一致性。

本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。

（1）结合实际操作活动，帮助学生积累实物操作经验，丰富计数方式的一致性。

教材结合“分苹果”“分图形”等具体的问题情境，唤起学生已有的分数学习经验，利用实物操作等手段，帮助学生感悟分数表示的数量意义。

（2）经历从表征操作到符号操作的抽象过程，探索分数单位在同分母分数加减法运算中的重要作用。

本单元在同分母分数加减法的学习过程中，教材注重结合图形的几何直观帮助学生理解分数加减运算与分数单位个数的联系。

（四）单元教学框架

在这节课的设计上主要考虑到两个方面：一方面是体现出分数与自然数具有相同意义，也就是一种量，借助直观体会到分数是数单位数出来的，也就是分数的度量意义。

另一方面是借助对图形的涂画过程，让分数单位累加的过程可视化，让学生在经历实际操作的过程中，逐渐丰富表象特征，最终帮助学生将表象与符号对接起来，理解分数所表示的符号意义。

我们把核心问题与每节课的教学内容进行了融合，设计单元教学框架，如图1所示，以丰富的直观表征贯穿于整个单元教学中，不断充实学生对分数的认识；同时，还借助几何直观，体现分数单位的累加过程，让学生看到分数单位在分数形成和运算中起重要作用的增减过程，感受到分数计数单位与整数计数单位在构成上的一致作用，体会到分数在本质上与整数在构成上是一致的。

图1  单元教学框架

二、 课例教学分享

（一）分一分（一）核心问题确定

从单元整体的视角出发，本节课当中要完成的核心教学任务是：

（1）借助直观，初步体会分数是对数量的抽象。经历分数单位的产生过程。

（2）感悟分数单位与分数形成的密切联系，初步体会到分数与整数计数方式是一致的。

（二）分一分（一）教材分析

如何能完成以上两个关键的核心任务？从教材入手，将多个版本的教材进行了对比。

从几个版本教材呈现的形式来看，在编写上都重视以下几个方面：

1. 结合实际操作活动，帮助学生积累实物操作经验，直观感知分数单位的产生过程。

2. 经历从表征操作到符号操作的抽象过程，积累分数单位的累加过程，感悟数形成过程的一致性。

3. 对接图形表征与符号表征，为符号操作提供铺垫，发展学生的符号意识。

（三）分一分（一）学情分析

通过阅读《吴老师与儿童数学教育》，以及对吴老师的教育思想和课例的学习，在教学观念上产生了两个方面的改变：一方面认识到教学要从儿童立场出发，强调儿童的主体地位，调动儿童的积极性、主动性；第二个方面是教学中要给学生充分自主学习的机会，激发学生主体的深度参与，帮助学生积累数学活动经验，感悟数学的思想方法。

观念的改变带动了设计上的改变。于是我们对学生进行了预测，通过对学生的访谈，我们发现在正式学习分数以前，像“二分之一”“三分之一”等数学表达已经出现在他们的口头语言中，但对这样的数学符号学生的理解还停留在表象中，所以，利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的活动，在分数图形表征的基础上，进一步建立对分数的符号化形式的理解，最后将分数所表示的数量意义与符号意义统一起来。

本节课以下面两点为基础进行教学：

（1）借助直观打通图形表征与分数表征的通道，在丰富图形表征的基础上，逐步建立对分数单位的理解。

（2）创造更多动手操作的活动。将分数单位创造的过程，以及分数单位在累加过程中所对应的实际意义统一起来。

（四）分一分（一）关键环节分享

本节课需要帮助学生认识和理解分数单位，充分经历创建分数单位的过程。那么就需要学生在循序渐进的操作过程中，逐步经历从实物操作过渡到表征操作，从而为符号操作做好铺垫。计数单位累加的过程，是学生利用直观丰富计数单位累加的直观经验，加深对分数单位实质的理解。

课例中几个关键环节

环节一：借助直观，在操作中逐步经历分数单位的创作。

学生借助分苹果和图形表征“一半”，初步感知“一半”的符号意义。

关键问题1：同学们创作的“一半”，图形的形状和大小都不一样，为什么阴影部分都可以表示出这个图形的“一半”？

通过关键问题1的引导，打通“一半”与“二分之一”的连接。这个环节要完成从实物操作到表征操作的过渡，经历二分之一的创造过程。

关键问题2：为什么每个图形的阴影都不一样，却都能用二分之一表示？

通过关键问题2的引导，学生在观察、对比当中不断地积累分数创造的过程。将学生的作品展示出来，通过对同一图形和不同图形的联系与比较，从而进行整体的沟通与联结，学生在观察中对比，在对比中不断分析，通过直观感受到图形中变与不变的本质，挖掘出二分之一共同的、本质的概念特征。

这是一个让学生自主创作的环节，这个环节意在赋予他们自由操作的空间。唤醒学生已有的知识储备和学习经验，同时顺应学生的分物经验和认知习惯，帮助学生感悟“整个”与“一半”的符号特征，感悟当不能用自然数的符号来记录数量时，需要引入一种新的数来表示。

通过创作“一半”可以将学生的思考可视化，学生在画“一半”的过程中获得活动经验，为后面分数的符号意义构建了基础。学生通过对自主创作的作品进行辨析，初步抽象出“一半”所表示的符号意义。

环节二：充分利用图形表征从而支撑对分数单位本质的理解。

接下来带领学生进入表象操作当中，利用丰富的图形表征支撑对分数单位的理解。

关键问题3：你找到了几分之一？怎样得到的？

借助关键问题3的引导，学生边思考边操作，在“数”与“形”之间不断进行“数学化”与“再创造”。借助丰富的图形表征把分数单位概念不断地刻画出来。在亲身经历多个分数单位的创造过程中，逐步感悟到分子、分母在具体情境中的含义，将分数单位与具体情境关联，打通对分数单位各个部分的理解。

学生通过对同一图形和不同图形的联系与比较，从而进行整体的沟通与联结，通过进一步的对比与分析，逐步感悟到分数共同的、本质的符号特征，学生在辨析中思考，在思考中感悟，在变与不变中挖掘出二分之一的本质意义。

环节三：直观中经历分数单位累加的过程，感悟数概念本质的一致性。

依托前面的环节，学生已经积累了一定的活动经验。那么这个环节是从表象操作到符号操作的过渡，在操作当中直观体现出分数是分数单位累加而形成的。

关键问题4：你是怎样看出来这是几分之几的？请你也涂出一个分数。

利用关键问题4的引导，学生经历了分数单位的累加过程，在操作中感知分数是由若干个分数单位累加而成。将分数单位累加过程与分数的形成对接起来。在涂和画当中不断感悟计数单位在分数中的核心地位，从而帮助学生感悟分数与整数在构成上的一致性，都是计数单位的累加。

通过以上几个环节，学生在逐步地对比、分析、抽取共同特征中，经历了分数单位的产生过程；在图形表征的基础上丰富了分数单位累加的经验，引导学生感悟分数也是数计数单位数出来的，体验了分数与整数的一致性。

参考文献：

［1］吕莉.浅谈“分数墙”在“异分母加减法”教学中的应用［J］.小学教学参考，2015（23）：46-47.

［2］王小娟.小学数学教学中优化数概念的教学策略辨析［J］.考试周刊，2020（59）：13-14.

［3］孙晓天，张丹.义务教育课程标准（2022年版）课例式解读［M］.北京：教育科学出版社，2022.