基于认知心理学的数学习题结构化设计

【摘 要】习题设计在教学过程中起着至关重要的作用，它直接影响着学生对知识的理解和掌握。本文基于认知心理学来优化数学习题设计，不仅使其更科学、可操作，同时有助于促进学生知识的重构、解构和建构，实现结构化的学习过程，充分发挥习题的育人功能，培养学生的核心素养。

【关键词】认知心理学 习题设计 结构化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）强调了习题设计的重要性，并指出：“习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。设计丰富多样的习题，满足巩固、复习、应用、拓展的学习需要；满足不同学生的学习需要。”因此，在设计习题时，教师不能仅停留于传统、单一、机械化的形式，而应积极借鉴认知心理学在教育领域的研究成果，将先进、有效的认知策略融入习题设计中，使其更具有科学性与可操作性，真正发挥习题应有的育人功能。

一、整合与创新：借“题”重构

在认知心理学领域中，融合理论指出：人类在学习和记忆过程中会将新信息与已有知识进行整合，形成一个有机的网络结构。为此，在教学实践中，通过设计具有严密逻辑关系、层层递进的习题，可以帮助学生更好地将新知识与旧知识相结合，加深对知识点的理解和掌握。然而，根据认知负荷理论来看，在学习过程中，如果任务过于复杂或者缺乏清晰的逻辑结构，可能导致学生遭受认知超载。因此，教师应精心设计习题，力求具有少而精的特点，并具备低门槛、多层次和大空间的特性，这样的设计能够减轻学生的认知负荷，并提高他们的学习效果，真正达到减负提质的目标。

以北师大版五上“找最大公因数”为例，本节课教材中的“练一练”安排了5道练习题。其中第1、2题通过一一列举和集合图两种表达形式巩固找两个数的公因数和最大公因数的一般方法，第3题则要求学生体验找有特征数字的最大公因数的特殊方法。通过新课的学习，学生已经能够较好地掌握找两个数的最大公因数的一般方法（即一一列举两个数的因数找相同因数，或先找其中一个数的因数，再从中找出另一个数的因数），但对于存在倍数关系或互质情况下如何通过观察数据特征找出最大公因数是难点。基于《课程标准》的要求，结合教材编写意图和学生学情，笔者将教材中的前三道习题进行整合，以学习单的方式重构如下：“任选1～100中的两个自然数，找一找它们的公因数和最大公因数，说说你是怎么想的。”

通过整合，成功地把原本比较单一、机械的习题转变为开放、综合、全面的学习任务，既让每一个学生都能在基础性练习中巩固找两个数的公因数和最大公因数的方法（教师可选择代表性作品进行展示：列举法和集合图，对应教材练习中的第1、2题所要达成的目标），又能依托学生的即时生成（在学生作品中，找出3组内含互为倍数关系的数、3组互质数、3组一般关系的数以及它们的最大公因数），为进一步体验有特征的数字的最大公因数提供多样化的学习素材，使知识在生成中推进。在此基础上提出问题：“观察这9组数，请你给它们分类，可以怎么分？”通过对每组数据特征进行比较分析和归纳分类，学生发现倍数关系和互质关系之间两个数最大公因数的特殊性质。如此，环环相扣、层层递进，形成了一个关联性高、层级性强、结构完整的习题链。学生在自主探究、互动交流中，对一般关系的两个数和特殊关系的两个数的最大公因数的特征有了整体的认识。由此，学生完成了对知识的结构化重组，实现思维进阶。

二、分解与反馈：以“题”解构

任务分解原则是教学设计中的重要原则之一，它通过将复杂的任务分解为独立的子任务，以提高学习效果。每个习题都代表着一个特定的子任务，让学生能够专注地处理和解决问题，从而减轻认知负荷，并增强对问题的理解和应用能力。反馈原则则强调在完成每个独立点后，应给予及时、具体且有针对性的反馈，这有助于学生评估自己是否达到学习的目标要求，弥补其在学习过程中的缺漏。因此，在设计习题时需要设定明确的目标和要求，确保每个习题都具备独特性和可行性，并且能够为学生提供有效的反馈，真正发挥习题育人、诊断、反馈等功能。

以“圆的周长”和“圆的面积”相关内容的练习课为例，其知识技能的评价主要围绕：能正确计算圆的周长与面积，能解决一些与圆的周长和面积相关的实际问题，以及涉及圆和其他平面图形的组合图形的周长或面积的计算。为了引导学生深入理解圆的周长和面积特性，突出概念的本质，强化意义构建，笔者设计了如下习题：“如图1，①和②是两条直径为4厘米的半圆弧，③和④是两条长度为4厘米的线段。（1）任选两条围成一个封闭图形，求它的周长和面积；（2）这四条全部用上，围成一个封闭圆形，求它的周长和面积。”

此类问题情境直指数学本质，具有较为广阔的思维空间，有利于学生以富有成效的思维方式进行学习活动，并进行具有个性化的真正思考。尤其在第（2）题的探究中，学生可根据自己的学习水平设计不同层级的探究任务，并综合运用平面图形的周长和面积公式解决相应的组合图形问题。在反馈交流中，学生对“圆的周长和面积”的理解是多维的、多层次的、深刻且具有张力的。通过进一步对比辨析，学生会发现：四条全用时，周长一定相等，而面积不一定相等。甚至能够通过表面现象揭示图形之间周长和面积的共通性，深入解构圆的周长和面积的概念本质，积累研究图形的活动经验，发展空间观念。这样设计的习题，紧扣概念的核心，力求从“思维的多样化”向“本质的统一性”过渡，让学生明白结构化关系里的多角度表达与多策略解答。这样的学习过程，充满了理性的思辨，实现了思维结构的突破。

三、关联与应用：依“题”建构

根据认知心理学研究发现，人类大脑具有模块化结构，倾向于将相关联的节点融合起来。这些节点相互作用，在信息处理中协同工作以提高大脑整体效率和速度。因此，在设计习题时应注重将相关知识点有机地结合，并确保难度和复杂程度逐步增加。这样一来，学生在解答问题时不仅需要运用单个知识点，还需将不同模块的知识进行关联和应用，以达到构建模块化知识网络的目的。

以人教版六下“圆柱和圆锥”单元的练习课为例，结合学业要求和模块化理论，笔者设计如下习题：“这是一块直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体木头。结合圆柱和圆锥知识，以及我们的生活实际，请你提出数学问题，并尝试解决。”学生的思维被激活了，他们提出的问题有“给这块木头刷油漆，需要涂多大面积？”“将木头横切（和底面平行的方向）或纵切（沿着底面直径）后表面积会增加多少？”“这块木头所占空间是多少？”“将这块木头削成一体积最大的圆锥，削掉部分的体积是多少？”“如图2，像这样斜着切一个角后，剩下图形的体积怎么求？”等。学生抛出一个个问题。搅动思维的涟漪，把课堂的温度建立在思维的深度上。学生沉浸式地经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的学习过程，一层层剥出相关联的知识模块，其中包括圆柱、圆锥的特征，圆柱的侧面积、表面积，圆柱和圆锥的体积等，建构了本单元的知识体系，在实现知识进阶的同时，体现核心素养的进阶。

综上所述，教师应依据认知心理学原理，注重习题设计的情境化、深度化和结构化。这样的习题设计以整体关联为抓手，以动态建构为核心，推进学习活动向纵深发展，已有的知识、经验得到了重组和完善，思维从点状水平向结构化水平提升，学生全身心参与数学内化与外化的全过程，从而实现课程知识的深层建构，发展了数学核心素养。

（作者单位：福建省泉州师范学院附属小学）

［1］史宁中、曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］．北京师范大学出版社，2022.

［2］陈莉莉.设计有效题组，实现高效学习［J］．小学教学研究，2023（22）：71-73.