让概念教学向着素养发力

【编者按】数学概念是现实世界中有关数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，它是小学数学教学的重要内容，也是构成数学学科知识的基本元素。数学概念具备的特性如抽象性、阶段性等，使得概念教学存在许多误区。围绕促进学生数学思维发展，培养核心素养的大方向，需要对概念教学存在的问题、实施策略等作深入探究。本期围绕小学数学概念教学组织了三篇文章，以飨读者。

【摘 要】数学概念教学应以核心素养为导向，以发展学生的数学思维为本，遵循儿童的认知规律，找到所教概念与核心素养之间的内在关联，做实和做好概念的形成过程，构建好相关概念之间的逻辑联系，从而让概念教学向着素养发力。

【关键词】概念教学 核心素养 概念形成 概念关联

数学概念是现实世界中有关数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是构成数学学科知识的基本元素。掌握数学概念对学生进一步学习数学和促进自身发展等都有着极其重要的意义。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）确立了以核心素养为导向的课程目标，其在“教学建议”中指出：充分发挥核心素养导向的教学目标对教学过程的指导作用，在实现知识进阶的同时，体现核心素养的进阶。概念教学理应聚焦这一目标，服务于这一目标。具体如何实施呢？笔者认为关键在于厘清概念与核心素养的内在关系，做实和做好概念的形成过程，建构概念间的相互关联。

一、在分析概念的本质中找到素养

数学概念是数学思维的产物，它的形成过程伴随着丰富的思维活动。我们需要对众多的、具体的例子进行观察与比较、分析与归纳、抽象与概括等，从而揭示概念。在这一系列活动中，人们需用数学的眼光去观察，用数学的思维去思考，用数学的语言去表达，思维活动过程与核心素养如影随形，因此，需要找到数学概念与核心素养之间的关联。在教学某一概念前，教师应深思：所教概念的数学本质是什么？这一概念对学生今后的数学发展有何作用？它与哪些数学核心素养有关联……这样分析和思考后，教师就会自觉地制订和落实教学目标，有针对性地设计和实施教学活动，使概念教学向着素养发力。

就如在教学苏教版（本文涉及教材均为苏教版）五下“方程的意义”前，教师需弄明：方程的本质是什么，仅是“像这样含有未知数的等式”吗？方程概念对学生今后的数学学习有何重要价值？在方程意义的教学中可以培养学生哪些数学核心素养？等等。笔者认为，方程的本质是“顺”和“等”。所谓顺，是指可以进行顺向思考，且大多数人很容易想到列式所依据的数量关系等式。所谓等，是指两个算式的数量必须相等。更进一步说，就是人们为了解决问题，尤其是在解决需要进行逆向思考的问题时，利用很容易想到的数量关系等式，把未知数用数学符号表示，在已知数与未知数之间架设桥梁，把已知数和未知数连在一起，列出等式，从而方便地列式和解决问题。在方程概念的教学中，既可以培养学生的代数思维，亦有助于模型意识、推理意识和应用意识的成长。经历这样的思考，在引入方程概念时，我们就会设计能体现方程价值的问题，让学生尝试解答。

二、在建构概念的过程中培育素养

概念形成和概念同化是儿童获得概念的两种基本形式。概念的形成是指从大量的具体例证出发，通过归纳的方法提取一类事物的共同本质属性，从而获得概念。其思维方式是从特殊到一般的归纳法，因而属于合情推理范畴。概念同化与此相反。概念形成的学习类似于课堂教学的新授部分，是学生认知拓展的关键阶段，显得尤为重要。在小学阶段，学生学习概念大多依靠概念形成，它符合儿童的认知特点。为此，我们需要做实和做好概念的形成过程。

1. 激发需要。

在以往的教学中，部分教师会照本宣科，鲜少让学生探明概念的形成过程，致使他们感到数学概念好像天生就是这样的，没有多少理由可讲。在注重培养学生核心素养的当下，需让学生从源头上了解概念的由来，激发定义的需要。

笔者在教学三上“认识长方形和正方形”中的长与宽这两个概念时，设计了问题情境：一个橱子被打碎了一面长方形镜子，结果出现了四块不同的碎片（如图1）。现在要重新配镜，量哪块碎片的哪些线段的长度可以准确且快速地知道镜子原来是什么样的，究竟有多大？

学生通过观察、分析、比较和交流，发现：只有量①号碎片最外围的两条线段的长度才行。笔者让学生依据①号进行想象，并画图还原，验证猜想。这时，笔者再教学长方形的长和宽也就有理有据了。学生在比较中初步感悟到：镜子最外围的两条邻边长度唯一确定了长方形的形状和大小，有定义的需要。通过后续对长方形的周长和面积的学习，学生逐级感悟：（1）规定了长和宽便于计算长方形的周长和面积，能快速解决实际问题；（2）数学概念是人们根据需要规定的，但这个规定是合理且有意义的。这样，学生就会对数学概念产生亲近感，学会依据需要自主定义图形中的关键点和线，为研究问题创设条件，应用意识和创新意识得以增强。

2. 逐级抽象。

数学概念是抽象的，而抽象是分层次的。小学生的思维正处于以形象思维为主逐步向抽象思维过渡的阶段，因此他们的抽象思维具有很强的形象性。史宁中教授认为，数学的抽象通常要经历两个主要阶段：一是基于现实的，从感性具体上升到感性一般的思维过程；二是基于逻辑的，从理性具体上升到理性一般的思维过程。为此，概念教学要遵循学生认知发展的特点和思维发展的规律等，做到循序渐进，逐级抽象。

例如，五下“分数的意义”的教学。笔者从引导学生研究[14]的意义起，以唤醒学生已有的知识和经验，让后续的抽象有“根”可依，有“根”可长。

笔者将研究过程汇成图2，并问：“分的东西不一样，为什么都可以用[14]来表示？”学生反馈：“它们都是把要分的对象平均分成4份，且都表示这样的1份，所以都可以用[14]来表示。”笔者又问：“它们不同在哪里？”学生发现平均分的对象不一样。笔者顺势把均分的对象抽象成单位“1”。在此基础上，引导学生概括出[14]的意义，并画出图3。这样，学生对[14]的认识就逐步由感性具体上升到感性一般，建构了[14]的意义模型，形成了准确且清晰的概念表象。

此时的[14]相对于具体的图形和物体来说是一般的，但对于分数意义来说又是具体的、特殊的。要抽象概括出分数的意义，学生还需对多个具体的、不同的分数有准确且深刻的把握。因此，笔者又让学生结合图形和生活实例建构起多个分数意义模型，并分别画图表示。这样就使学生对这些分数的认识也由感性具体上升到感性一般。

以上活动对抽象和概括分数的意义来说，还是特殊的，属于理性的具体，但丰富的理性具体为抽象和概括出理性一般奠定了坚实基础。要从理性具体上升到理性一般，还需学生对多个具体的、具有一般化意义的分数进行集中观察、分析、比较、抽象和概括。据此，笔者把上述认识的几个分数汇总成图4，让学生尝试概括分数的意义，学生大多能说对。这时，笔者再揭示分数的意义，学生也就能理解和接受了。

此外，笔者还启发学生深入思考：回想一下，我们是怎样研究并得到分数意义的？学生总结：是先研究一个分数的意义，再研究多个分数的意义，最后找出这些分数的共同点，从而得出所有分数的意义。学生从中学会了逐级抽象，在获得了探究经验的同时，数感、推理意识和模型意识等素养亦得以提升。

3. 关注本质。

数学概念教学必须关注概念的数学本质，这对学生当下和将来的数学学习都具有重要意义。教师应采取多种措施，帮助学生直抵概念本质，准确理解数学内涵，获得对概念的深度理解，从而培养其数学眼光和数学思维。

在教学四下“三角形的稳定性”时，笔者就没有让学生推拉由三根木条钉成的三角形，转而让学生用①、②、③三根木条围三角形（图5），看围成的三角形的形状和大小是否完全一样。

一番操作过后，学生发现，虽然所围成的三角形摆放的位置不同，但如果让同色的木条重合，所围成的三角形是完全一样的。笔者又让学生另选三根长度固定的木条围三角形，并比较它们的形状和大小是否完全一样。学生操作后发现，这三根木条所围成的三角形的形状和大小也完全一样。为了进一步凸显三角形的这一特性，笔者让学生用四根木条围四边形，看所围成的四边形的形状和大小是否完全一样。学生发现：围成的四边形的形状和大小各不相同，与三角形的情况不同。这时，笔者才揭示三角形稳定性的数学含义，即一个三角形的三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小也就唯一确定了，并顺势介绍了三角形的稳定性在生活中的应用。学生在强烈的对比中，深刻理解了三角形具有稳定性的数学本质，理解了生活中为什么有许多物体上有三角形的结构，从而培养了数学眼光、数学思维和实践能力。

三、在构建概念的关联中发展素养

对各个概念的教学固然重要，但对相关概念之间关系的厘清更为关键。在教学某个概念时，教师要具备整体视角，从概念意义、形成过程等维度，找到概念之间的关联，做到连点成线、连线成片、接片成网，以帮助学生将新概念纳入原有的认知结构中，形成科学和完善的概念体系，实现认知由要素层面向关系层面的提升，发展学生的核心素养。

1. 构建概念意义之间的关联。

数学是一门具有严谨结构体系的科学，数学知识之间有着紧密的逻辑联系。理解和掌握知识之间的内在联系有利于学生系统地把握知识，达到《课程标准》所要求的“学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养”。为此，要从整体出发，用联系的观点，帮助学生找到相关概念间的内在联系。

在教学四下“认识梯形”后，为了凸显所学的四边形之间的相互关系，笔者设计了“剪图形”活动。先出示一个画在方格纸上的一般四边形，让学生说出其特征。接着，笔者启发学生思考：只剪一刀，如何让它变成我们学过的另一种稍特殊一点的四边形？学生说：“只要剪出一组平行线，就变成梯形了。”学生剪出梯形后，笔者让其说出梯形的特征。笔者继续启发学生探究：只剪一刀，如何让这个梯形变成我们学过的另一种稍特殊一点的四边形？学生说：“再剪出一组平行线，梯形就变成平行四边形了。”学生剪出平行四边形后，笔者让其说出平行四边形的特征。下一步笔者引导学生思考：只剪一刀，能让这个平行四边形变成长方形吗？学生说：“不能，这样只能剪出两个直角，要剪两刀才行。”学生剪出长方形后，笔者追问：“长方形与一般的平行四边形之间存在怎样的关系？”学生说：“长方形是特殊的平行四边形，特殊在有四个直角。”接下来，笔者启发学生深入思考：只剪一刀，如何让此长方形变成正方形？学生说：“只要把长方形的邻边剪得相等。”在学生剪出正方形后，笔者启发学生探究：“正方形与长方形比，有何特殊之处？”学生说：“正方形是四边都相等的长方形。”笔者边让学生操作，边出示特征，过程如图6所示。

在上述过程中，学生能明显体悟到所学四边形之间内在的、整体的关联，体会到图形是如何从一般到特殊的渐变过程，不仅建立了所学图形的直观概念和清晰表象，培养了空间观念和几何直观，提升了几何思维水平，还厘清了相互关系。在后续学习中，学生会用梯形的面积公式统一其他几个直线图形的面积公式，建立结构化的内在联系，从而有力地发展了核心素养。此外，通过对操作活动的深层次思考，学生发现：一个图形的特征越多，这个图形就越特殊，反之则越一般。

2. 构建形成过程之间的关联。

布鲁纳指出：用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识，应当成为教育过程的核心。一门课程在它的教学过程中，应反复地回到这些基本观念，直至学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系为止。在概念教学中，教师还应让学生感悟到获得相关概念的过程和步骤的相似性，感受其中蕴含的数学思想方法的一致性，以便其迁移和运用这样的活动经验去研究类似问题。

如教学四下“三角形、平行四边形和梯形”这一单元，在起始课“认识三角形”中，就要在学生获得三角形的概念后，让学生回顾和反思获得概念的过程，从中领悟到逐步抽象的过程和方法，从而学会数学抽象。在认识三角形时，是先从生活中找到许多不同形状和大小的三角形，并把它们从物体面上画下来（画图形）。然后对众多的三角形进行集中观察、分析和比较，从而找出它们的共同点：都有三条边、三个角和三个顶点，都是由三条线段首尾相接围成的（找特征）。接着，依据特征给三角形下定义（下定义）。最后，运用概念和特征进行判断（用特征）。当然，有时还要找到所学图形与相关图形之间的内在关系（找联系）。在探究特征时，都是从边、点和角等方面去探究的，都是借助观察、操作和比较等方法去研究的。这样的认识过程和方法与三上“认识长方形与正方形”是一致的。

学生从中还会领悟到“认识图形”中蕴含的数学思想，如分类、抽象和建模等。其实，分类是一种重要的数学思想，分类研究图形特征的过程本质上就是对图形共性的抽象过程。多次经历上述认识活动过程和深入思考后，学生会逐步感悟到：为何要分类，如何分类；如何通过分类认识图形的特征；如何区别不同图形的不同特征；等等。他们在研究新的数学问题时，也会尝试着借助分类来分析和解决问题。在教学后续的“认识平行四边形”和“认识梯形”，甚至“认识立体图形”时，就可启发学生尝试迁移和运用上述探究经验，有序地去探究图形特征，从而形成一条“思想方法链”。学生从中学会如何进行数学思考，如何分类解决问题，其抽象意识和推理意识等就会大为增强。

（作者单位：江苏省高邮实验小学）

［1］郑水忠.小学儿童学几何[M].上海：上海教育出版社，2017.

［2］徐宏臻.经历抽象过程学会逐步抽象——“分数的意义”教学片断与思考［J］.小学数学教育，2023（07/08）：93-95.

［3］刘兆伟，徐宏臻.在认识图形中提升几何思维水平——以“平行四边形和梯形的认识”教学为例［J］.小学数学教育，2022（19）：20-22.