多元表征凸显概念本质　比较归纳建构概念模型

【摘 要】在“倍的认识”一课教学中，教师基于学情前测，提升教学针对性，学生在自主探究、操作感知与对比抽象中建立量与量之间的关系，进而把握和领悟“倍”的概念本质，促进高阶思维能力的发展。

【关键词】多元表征 数量关系 倍的认识 概念本质

一、关注学情，明晰学生认知水平

“倍”是由两个数量相“比较”而产生的，它的本质是两个量之间的“倍比”关系。对于三年级学生，“倍”的概念理解起来比较抽象，因此教师要找准学生的思维起点，帮助他们打破对“倍”的错误认知。在教学前，教师可以设置相应的前测环节。

前测题1：你认为什么是“倍”？请用举例子或画图来表述你的想法。

前测题2：能用“倍”来说一说苹果和草莓之间的数量关系吗？（如图1）请将思考过程写下来。

前测题3：画出一定数量的香蕉和苹果，要求苹果的数量是香蕉的3倍。

通过分析前测结果可知，该阶段学生对“倍”有一定的认知基础，但存在概念混淆、标准确定有误等情况，导致对标准量、比较量、倍数三者之间的关系认识模糊。笔者以为：对于“倍”的含义理解，教师应当引导学生将乘除法教学中的“几个几”与新课学习中的“几倍”进行关联。因此，教师要让学生在回顾“几个几”的基础上，把“较小的量”看作一份（倍），再描述“较大的量”中有这样的几份（倍），并在循序渐进中加深对“倍”的含义的理解。

二、教学实践，逐级建构概念模型

1. 基于经验，激活概念原型特征。

教师可以借助前测“就地取材”，充分暴露学生的认知冲突，以此作为教学的起点，引发学生的思考，辨析概念属性。

基于前测题3的学生作答情况（如图2），教师提问：“这些作品都符合要求吗？”学生表示：图式②中，应该是苹果的数量比香蕉多了3倍；图式④中，苹果的数量比香蕉多3个；图式⑥中，只有3个苹果，缺少一个比较的对象；图式⑦中，苹果数量不是香蕉的3倍，应该是比2倍多1个，比3倍少1个。

通过观察与比较，学生从图式中明白“比多（少）”和“倍”都是两个量相比较而产生的结果，并发现“差”与“倍”之间的区别，其中还存在“几倍多几”或“几倍少几”的关系，进而将原有对“倍”的感性认识向理性认识发展。

2. 建立表象，助力概念本质理解。

概念的形成与同化是概念教学的核心环节。教学时，教师借助可视化素材，为学生感悟抽象概念创设学习支架，引领学生对概念进行直观表征，并将本质相同的内容关联起来，完成对核心概念的结构化整合。

教师出示图2中的图式①、③、⑤、⑧，提问：“这些图式中，苹果和香蕉的数量都不相同，为什么都能表示‘苹果的数量是香蕉的3倍’？”学生在圈一圈、说一说的过程中，将“几倍”和“几份”建立联系。同时，教师有意识地加入了能与线段图沟通的学习素材，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，发现线段图能更好地帮助自己归纳倍数关系。

概念的建立与发展，能帮助学生进一步明确概念的内涵与外延，让学生有效抓住概念的本质属性。教学时，教师引导学生经历概念的建构过程，通过比较事物变化中的共性，促进学生抽象出概念的内在原理，进而增强对概念的本质理解。

3. 强调迁移，搭建概念认知桥梁。

由于学生对“倍”的概念理解层次不一，教师应找准学生的学习生长点，引导学生将已有认知迁移、运用到新知学习中，为学生搭建抽象概念与已有认知之间的“桥梁”，并运用数形结合思想感悟“倍”的本质，逐步建构“倍”的数学模型，深化学生对核心概念的掌握。

教师指着图2中的图式①，提问：“如果增加2个苹果，苹果的数量是香蕉的几倍？如果增加4个苹果呢？”学生说一说、圈一圈（2个2个地圈），并用算式表示。教师追问：“如果增加1根香蕉，苹果的数量是香蕉的几倍？”学生上台板演（3个3个地圈），并用算式表示。教师继续追问：“如果增加4根香蕉，苹果的数量是香蕉的几倍？”生1：“苹果的数量是香蕉的0倍。”生2：“苹果和香蕉的数量是一样的，相差0。”生3：“把6根香蕉看作一份，6个苹果也刚好是一份，苹果的数量是香蕉的1倍。”教师：“这个1倍挺有意思，那为什么生1会说是0倍呢？”生4：“他把倍数关系当成了相差关系。”课件出示：如果苹果有12个，要使苹果的数量是香蕉的（ ）倍，香蕉会是多少根呢？学生经历想一想、摆一摆、记一记等操作，厘清相应的倍数关系。

在上述环节中，教师为学生提供大量比较两个量倍数关系的机会，一方面，学生借助归纳思想方法，经历“倍”的概念的形成过程，发现一般的规律和特征，丰富“倍”的概念表象；另一方面，让学生进一步明确标准量的重要性。

4. 辨析沟通，促进概念巩固深化。

帮助学生掌握“倍”的概念，需要一个反复、持续的过程。教师引导学生对实际问题进行深入思考与讨论，学生在经历完整的概念抽象过程中实现对新知的“理解”到“运用”的飞跃，从而培养学生的抽象概括能力和思维创新能力。

问题1：小朋友踢毽子，小冬踢了9个，小王踢的是小冬的3倍，小王踢了几个？生1：“小王踢了3个。”生2：“如果小王踢的是3个，小冬踢的又是9个，小王踢的个数怎么会是小冬的3倍呢？”教师追问：“这里表示谁踢毽子的数量是另一人的3倍？”生3：“小王踢毽子的数量是小冬的3倍。”生4：“以小冬踢的9个为标准量，小王踢的就是9个的3倍，27个。”问题2：张阿姨买了12根香蕉和一些桃子，香蕉的数量是桃子的4倍，她买了多少个桃子？学生思考后回答：“以桃子的数量为标准量，香蕉有12根，要把12平均分成4份，每份是3，买了3个桃子。”

从上面的教学可以看出，在解决“倍比”问题时，学生往往会将“比较量”看作“标准量”。教师可以借助问题情境，引导学生正确理解题意，让学生对概念进行横向联系与纵向对比，学生在概念的解构与抽象中增强逻辑思维能力。

5. 延伸拓展，利用直观巧解问题。

教学过程中，学生要建立和理解一个抽象的概念，就要亲身参与到具体的探究活动中，通过多次的数据变化与比较，提炼出一般的解题规律，从而培养学生的模型意识。

课件出示问题：小冬有6支铅笔，小芳的铅笔数量比小冬多5支，小李的铅笔数量是小冬的2倍，小明的铅笔数量比小冬的3倍少4支，谁的铅笔数量最多？请用画一画、算一算等方法表示你的思考过程。

以上练习，不仅涉及“相差关系”，还用到了“倍数关系”。这样的练习内容，既是对新课核心知识的提炼，又是对后续解决更为复杂的数学问题进行了渗透，帮助学生获得更为完整的学习体验，有助于发展学生思维的连续性。

针对“倍”的模型建构，教师可以通过创设相关联的、生活化的问题情境链，让学生在“数量变化”中把握“倍”概念的本质。学习过程中，学生借助语言、图像、符号等方式表征两个量的关系，促进了多元表征之间的融通，进而加深对概念的理解。

（作者单位：浙江省杭州市余杭区仓前中心小学）

［1］高珺，石榴，邵汉民.创设主题情境 深度建构概念——人教版教材三年级上册“倍的认识”教学实践［J］.教学月刊小学版（数学），2023（03）：34-37.