变式教学：让数学概念理解走向深度

【摘要】依托变式教学，“导”中变，唤醒和引入概念；“课”中变，规范和完善概念；“用”中变，巩固和深化概念。在变化中求不变，引导学生从不同角度去认识所学的概念，学会运用变化的观点去分析问题、解决问题，从而深化数学概念理解。

【关键词】创造教育；变式教学； 深度理解； 概念本质

数学家张奠宙说：“变式教学是中国数学教育的一个创造。”在小学数学教学中，学生对于数学概念的学习，不可能像数学家一样经历概念的形成、发生、发展的过程。鉴于此，我们可以依托变式教学，为学生的感悟、体验提供比较好的学习情境，引导学生参与或体验数学概念的形成过程，突出对概念内涵的理解，不断变换问题呈现的方式，有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探索变的规律，从而激发学生的探索兴趣，促进学生多角度理解概念，开阔思路，感悟知识的内在联系，培养思维的灵活性和深刻性，从而让概念的理解走向深度。

一、“导”中变，唤醒和引入概念

教学数学概念时，可以根据概念类型，精心设计概念变式引入，将概念还原到客观实际中，创设趣味化的教学情境，通过变式移植概念的本质属性，提出生活化的、适合学生年龄特征的数学问题，唤醒学生的已有知识与活动经验，激发学生自主学习的兴趣，借助知识的形成过程，促进学生对概念的理解。

1.“变”角度，巧妙导入概念

好的开端是成功的一半，课堂导入好不好，直接影响一节课的效果。教师要从核心素养发展进阶的角度，在学生的学习最近发展区，抓住概念的本质特征，促进学生对知识的理解。

例如，在教学苏教版小学《数学》二年级（下册）《认识厘米》时，教师改变“认识尺→学习测量方法→进行测量线段练习”的教学思路，根据学生的年龄特点及概念的特征，巧妙导入新课：“猜猜兄弟俩谁的小棒长？”都是5根小棒的长度，为何结果不一样呢？设置矛盾冲突，引出要统一测量单位的必要性，激发学生学习的需求；接着出示三种不同长度的小棒（1厘米、1分米、1米），学生在观察、感知、对比中，加深了对1厘米具体长度的感知；随后让学生用1厘米小棒测量线段长度，在动手操作中感知一根一根测量的不方便，引出了尺的产生过程，实现了对测量工具的再创造。

2.“变”层次，沟通知识联系

走进课堂的学生不是一张白纸，他们都是带着已有的经验来的。教师可以从复习导入，在已有知识基础上变化几个层次，唤醒知识，从而将以往的知识和经验融入当下的学习中，将知识结构化。

例如教学《整十数、整百数乘一位数的口算》时，在导入环节，先复习一位数乘一位数：3×2=6，第二个层次是在3的末尾添上一个0，变成：30×2=？学生根据以前的经验，得到60，教师追问：怎么算的？有的学生回答：3×2=6，所以30×2=60；有的学生回答：二三得六，在末尾再添一个0。教师问：为什么要添0？学生理解3个十乘2得6个十，是60，所以要添0，对比原来的算式，3×2=6，表示3个一乘2得6个一，所以是6。接着再次变成300×2=600。通过三个层次，沟通了知识间的联系，在结构中整体建构概念。

二、“课”中变，规范和完善概念

在数学课堂教学中，教师可以通过变式教学，或表征，或类比，或辨析，引导学生用眼睛观察，用双手操作，用头脑思索，用嘴巴论证，在空间、时间的不同维度上探究，从而达到对数学概念理解的规范与完善。

1.利用变式表征，理解概念本质

变式表征包括概念的形象表征、符号表征、语言表征和算式表征等。教学时，教师可以将多种表征相互渗透、相互影响，帮助学生以直觉形象为起点，从不同的层次、角度形成概念的多元表征。

例如，在教学苏教版小学《数学》二年级（下册）《认识厘米》时，教师可以设计多种活动，帮助学生建立多元表征，丰富感知，深度学习概念。

这一系列表征方式由浅入深，由表及里，让学生加深了对“厘米”这个长度概念的感知。

2.利用变式类比，理解概念意义

在小学阶段，随着年级的升高，数学概念的抽象性和概括性逐渐加强，学生对概念的意义理解起来就越来越困难。教师应通过类比变式教学，提供同层次多角度的感知活动，帮助学生理解数学概念的意义。

在认识垂线的教学活动中，理解点到直线的距离，用的是观看视频《跳沙坑》的方式，视频中测量的是落脚点到跳板之间的垂直线段的长度。垂直线段的长度，就是点到直线的距离。播放另一段视频，其中推铅球测量的是点到点之间的距离，就是两点之间线段的长度；跳高测量的也是距离，量的是平行线之间的距离。在三次对距离的直观感受与对比中，感受三次距离的不同：点到线的距离、点到点的距离、线到线的距离，由此加深学生对距离的认识，并进一步促进学生对距离的理解和深化。

三、“用”中变，巩固和深化概念

为了帮助学生真正深入理解掌握概念本质，教师在教学中可以设计不同的变式问题，创设丰富的情境，让学生在灵活的应用中进一步深化概念理解，提升问题解决能力。

1.模仿变式，熟悉方法

在概念应用教学中，教师可以通过巧妙地改变问题背景、精心设计变式问题、挖掘教材自身的资源等，设计一系列模仿训练，让学生在实际解决问题时多角度应用、感知，从而帮助学生熟悉并掌握应用数学方法。

例如，在教学苏教版小学《数学》四年级（下册）《乘法分配律》时，教师设计了学校运动会开幕式排队的情境：“红队每行6人，排了3行；蓝队每行4人，也排了3行。红队和蓝队一共有多少人？”学生在情境中初步感知（6+4）×3 =6×3+4×3这样的一组等式后，教师引导学生在变式中丰富感知：“如果问题不变，还是求红队和蓝队一共有多少人，如果让你来设计红队和蓝队的队形，类似这样的等式还有没有呢？你能列举出来吗？”

2.拓展变式，加深联系

教师可以充分挖掘知识内部之间的联系，对所学知识恰当地延伸和拓展，精心设计拓展变式，帮助学生感知新知与旧知间的联系，并把新知纳入原有知识体系，巩固新知，拓展思维，促进知识的迁移。

如在教学苏教版小学《数学》二年级（下册）《认识分米和毫米》时，教师最后设计了填长度单位练习：米粒宽2（     ），橡皮长2（     ），直尺长2（     ），床长2（     ）。在填不同的长度单位时，引出低年级所有学过的长度单位，通过动手比画感知，在对比中帮助学生把新旧知识进行链接，将本节课的新知纳入原有知识体系，帮助学生实现认知体系的新建构。

概念练习中的不同变式教学，多角度地提升了学生认知和能力的提升。概念练习中，可以改变概念呈现方式，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律；概念练习中，可以改变概念的问题条件，引导学生对不同条件的情况作出正确的分析；概念练习中，可以改变概念的结论等，引导学生积极探索和推理，促进学生思维的灵活性和严密性；概念练习中，还可以组织学生进行题后反思，进一步归纳出解决数学问题的方法，提升解决问题的能力，丰富已有活动经验。

在概念课的教学中，恰当地设置变式，巧妙变更数学概念中的非本质特征，可以帮助学生理解概念的本质属性，明晰概念的内涵及外延。在变化中求不变，就能引导学生从不同角度去认识所学的概念，学会运用变化的观点去分析问题、解决问题，从而深化概念理解，提升学生的数学核心素养。

（作者单位：江苏省江阴市利港实验小学）