立足单元整体发展运算能力

苏教版小学《数学》二年级（下册）安排了关于“有余数的除法”的学习内容。对于学生而言，既要认识“有余数的除法”的意义，又要在认识意义的基础上，探索余数和除数的关系，这是比较难的。基于此，笔者作了一些探索。

借助直观操作，连接“数”和“形”，明晰意义。教材的“例1”创设了“分铅笔”的情境：“把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？每人分3支、4支、5支呢？在小组里分一分，说一说。”教学时，我先引导学生体验圈小棒的过程，旨在让学生发现不管是“每人拿2支、3支、4支、5支”，都是“几个几个”地平均分。但从观察的结果看，有的正好分完，有的不是正好分完，即分后有剩余。学生在“分”和“圈”的过程中，对不管是正好分完或分后有剩余，都有“每份一样多”的直观的认识，紧扣了平均分的本质。学生在后继理解有余数除法的算式的意义时，能回忆圈小棒的直观表象，从而来支撑理解有余数除法的意义。同样，教学“例2”时，我组织学生进行直观操作，先让学生用4根小棒摆一个正方形，再用8根小棒摆这样的2个正方形，然后用12根、13根、14根、15根小棒摆正方形。后继研究“余数和除数的关系”时都是用4根小棒摆正方形，学生自然理解了为什么余数要比除数小。

提供多元表征，对接“具象”与“抽象”，理解算理。布鲁纳指出：“人们通过行动或者模式化的动作、通过习俗化的表象和知觉、通过语言和推理来对其环境作出反应。”基于多元表征认知理论，我先组织学生将10根小棒“分一分，圈一圈”，这是为了帮助学生建立动作表征，让学生在做中学。在此基础上，展示正好分完及分后有剩余的两种不同的情况。借助表格，让学生说一说“用10根小棒，每人拿几根，可以分给几人，余下几根”，这是语言表征。学生经历用不同的表征表达解决问题的过程和结果，可以顺利完成从具体到半抽象再到抽象的形式化过渡，从而理解有余数除法的本质也是“平均分”的一种特殊形式。

运用水平迁移，勾连“新知”与“旧知”，归纳算法。水平迁移是指处于同一概括水平的经验之间的相互影响。学生在先前的学习中，已经会用除法算式表示正好分完的情况，那么分后有剩余的情况是不是平均分呢？用算式又该如何表达呢？我让学生试着把“每人分3支”的情况列出算式。有的学生这样表示：“3×3=9（支），9＋1=10（支）”，有的学生这样表示：“10÷3=3（人）”，有的学生这样表示：“10÷3=3（人）还剩下1支”，还有的学生这样表示“10÷3=3（人）……1（支）”。学生在前期直观操作和对以往知识的激活下，能较自然地生成各种不同的表示有余数除法的算式。

依托数学推理，沟通“现象”与“本质”，建构模型。推理是数学学科核心素养之一。为了让学生更好地发现有余数除法算式中“除数”和“余数”的关系，我组织学生经历从现象到本质的合情推理过程。首先让学生用4根小棒摆四边形，再观察“12÷4=3”“13÷4=3……1”“14÷4=3……2”等除法算式，以及摆小棒的直观图，引导学生发现除数“4”表示摆正方形的根数，除数“3”表示摆成的正方形个数，余数“1，2，3”表示余下的根数，从而抽象出除数是“4”的数学模型。同样，用5根小棒摆五边形，让学生在观察、比较、推理中，构建除数是“5”的数学模型。通过对比、讨论“余数和除数之间有什么关系”，引导学生展开推理过程，对知识有一个整体而全面的思考，从而发现“有余数的除法算式中，余数小于除数”的结论。学生也在数学建模的过程中，从“事理”向“数理”转化，完善认知建构，养成系统思维的习惯。

（作者单位：江苏省苏州市吴江区水秀实验小学）