“三新”背景下基于学科核心素养的高中数学变式教学策略探究

［摘 要］“三新”教育改革要求高中数学教学聚焦新课程、研究新教材、全面提升素养，以应对新高考。变式教学作为一种适应这一需求的创新教学模式，有助于数学课堂从“知识导向”向“素养本位”转型，进而打造高效课堂，促进学生深度学习。

［关键词］变式教学；“三新”背景；学科核心素养；高中数学

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0004-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将培养学生数学学科核心素养作为课程目标的核心，明确指出：高中数学课程应具有基础性、选择性和发展性，旨在使不同的学生在数学上得到不同的发展，促进学生数学学科核心素养的形成和发展[1]。随着“三新”（新课程、新教材、新高考）教育改革的深入，高中数学教学面临新挑战与新机遇。在此背景下，如何有效提升学生的数学学科核心素养，成为高中数学教师亟待解决的问题。变式教学作为一种创新教学模式，通过变换题目的条件、结论或形式，引导学生探索数学本质，对培养学生的思维能力、解决问题能力和创新精神，提升学生的数学学科核心素养具有重要意义[2]。

一、“三新”背景下高中数学变式教学的作用

（一）适应新课程与新教材的要求

新课程和新教材强调知识的实际应用、跨学科整合以及学生主体性的发挥。高中数学变式教学适应新课程与新教材的这一要求，它通过灵活变换题目的条件、结论或形式，引导学生将抽象的数学知识与现实生活相结合，从而加深对知识的理解。同时，变式教学能够帮助学生建立完整的知识体系[3]。通过变换题目的形式，教师可以引导学生回顾和巩固旧知，联系新知，形成知识网络，深化学生对数学知识内在联系和本质的理解，提高学习效果。

（二）满足新高考的要求

新高考注重考查学生的综合素质和创新能力，强调全面评价学生的思维能力、解决问题能力和创新精神。高中数学变式教学通过设计具有层次性、挑战性和创新性的变式题，引导学生主动探索、发现和解决问题。在此过程中，学生运用数学知识、方法和技能，发展创新思维，提升综合素质和实践能力。这满足新高考的要求。

（三）培养学生的数学学科核心素养

数学学科核心素养是指学生在数学学习过程中形成的具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观。高中数学变式教学着重培养学生的数学学科核心素养，如通过变换题目的形式和难度，引导学生从不同角度、不同层面思考问题，进而培养学生的逻辑推理、数学建模、数据分析等核心素养。

二、“三新”背景下高中数学变式教学的策略

（一）数学概念的变式教学

数学概念源自生活又高于生活，它虽然基于具体生活经验，但并不完全等同于生活中的数学，而是需要通过对现实问题进行比较归纳、类比猜想、概括总结等数学化处理后才能形成。要深刻理解概念的本质，需明晰其内涵和外延。在概念教学中，教师可利用正反例证设计变式问题，引导学生从多角度、多侧面进行分析比较，深化理解。

1.改变概念的呈现方式，突出概念的内涵

数学概念有标准形式和非标准形式两种。标准形式有助于理解概念的基本含义，但容易限制思维，缩小概念的外延。因此，教师可利用非标准形式，改变概念的非本质属性，从而突出概念的内涵。

以高中数学中的“超几何分布”概念为例。超几何分布模型主要用于不放回简单随机抽样中的概率计算，其中每个个体仅需考虑其具有的某种特征。人教A版（2019）高中数学教材通过实际生活中的产品抽取问题，对比有放回和不放回两种抽样方式下抽取到的次品数服从的分布列异同，由特殊到一般引出超几何分布的概念。其中，不放回抽取产品模型成为超几何分布的标准形式。为了让学生真正把握超几何分布的本质，教师可以采取非标准形式，通过改变模型的呈现方式，设置如下变式。

变式1：从7名男生和3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，设选出的女生人数为随机变量[x]，请问[x]服从超几何分布吗？

分析：本题将超几何分布的不放回抽取产品模型应用于人物抽取场景，通过变换背景突出超几何分布的本质，即在不放回简单随机抽样中，关注抽取的个体具有的某种特征（如性别）。此题关注的是抽取的学生干部中女生的人数，这与产品抽取问题中的次品数问题本质相同，因此均适用超几何分布。

变式2：从7名男生和3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，设选出的男生人数为随机变量[x]，请问[x]服从超几何分布吗？

分析：本题通过改变关注的随机变量（男生人数）来进一步突出超几何分布的本质，即关注在不放回抽样中，抽取的个体具有的某种特征（如性别）。

变式3：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，设摸出的黑球个数为随机变量[x]，请问[x]服从超几何分布吗？

分析：本题将超几何分布模型应用于摸球场景，通过具体实例进一步强调超几何分布的本质属性，即在不放回抽样中，关注抽取的个体具有的某种特征（如球的颜色）。本题有助于加深学生对超几何分布概念内涵的理解。

2.设计概念的反例变式，明确概念的外延

数学概念存在于由多种概念构成的概念体系中，要明确其外延，就必须明确其与周边概念的界限。设计概念的反例变式，能帮助学生明确概念的外延，从而实现对概念的多角度理解。

以人教A版（2019）高中数学教材中的“超几何分布”概念为例，为明确其外延，可设计反例变式。通过改变超几何分布的某一关键属性（如有放回抽样），使其不再符合超几何分布特征。通过对比非概念特征与概念特征，可引导学生深刻理解概念的本质。

变式1：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球再放回，一共摸4次。设摸到的黑球个数为随机变量[x]，请问[x]服从超几何分布吗？

分析：本题将超几何分布的“不放回”条件改为“有放回”，使摸球模型变为有放回抽取模型。在此模型下，每次摸到黑球的概率都为[37]，且各次抽样结果相互独立。因此，随机变量[x]不服从超几何分布，而是服从二项分布。通过对比，明确了超几何分布概念的外延。

变式2：盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，[x]是首次摸出黑球时的总次数，请问[x]服从超几何分布吗？

分析：本题改变了超几何分布中“随机变量为抽取到的具有某种特征的个体数量”的定义。即便为不放回抽取，若随机变量的含义不符合超几何分布的定义，则该抽取模型依然不是超几何分布模型，进一步明确了超几何分布概念的外延。

（二）数学习题的变式教学

数学课堂教学离不开习题教学，它能深化学生对数学概念、性质、公式、定理的理解。因此，要重视习题教学，使其紧扣教学目标。同时，要注重习题的变式、追问与拓展，通过改变条件、结论或问题情境，打破学生思维定式，促进多角度思考。挑选典型例题作为母题，结合教学目标置换条件或结论设置变式题，是有效方法。具体可采取以下策略：

1.改变例题所求问题，一题多问

在数学课堂教学中，教师可围绕教学目标，通过改变例题所求问题，引导学生在变化中探寻不变的解题规律，实现多题归一，有效提升数学素养。

［例1］在[△ABC]中，角[A]，[B]，[C]所对的边分别为[a，b，c]，已知[a3cosA=csinC]。（1）求[A]的大小;（2）若[a=6]，求[△ABC]周长的取值范围。

分析：本题是与解三角形相关的最值问题。第一问通过正余弦定理进行边角互化，即可求出[∠A]的值。第二问已知对边对角，求三角形周长的取值范围。与解三角形相关的最值问题主要涉及求三角函数值、边长、面积、周长、向量的最值。解决方法包括：（1）将所给条件转化为三角函数形式，利用三角函数求最值；（2）将所给条件转化为边长形式，利用基本不等式或者函数求最值。本题中三角形形状未受限制，所求周长的取值范围为对称结构[b+c]的取值范围，故可先用余弦定理找到两边[b，c]的关系，再用基本不等式求得[b+c]的最大值，最后结合两边之和大于第三边求另一边的取值范围。

变式1：若题中条件不变，试求[△ABC]面积的最值。

分析：本题条件未变，仅问法改变，由求周长的取值范围转为求面积的最值。面积最值实为两数积的最值，均与基本不等式相关，依旧可利用“余弦定理+基本不等式”进行求解。

变式2：若题中条件不变，试求[BA·CA]的最大值。

分析：本题通过变换所求问题，将面积最值问题转化为两个向量的数量积的最值问题。此变式改变了问题的呈现方式，代入向量数量积公式后即可转为求两个向量数量积的最值，解题方法在本质上和变式1相同。此变式有助于学生发现解题规律，促进知识迁移。

变式3：若题中条件不变，试求[b+2c]的最大值。

分析：本题将例题中的对称结构[b+c]变为非对称结构[b+2c]，引发学生思考：基本不等式还能求最值吗？学生尝试后发现，余弦定理构建的等量关系无法直接拼凑出[b+2c]的结构。于是，学生转换策略，采用边化角的方法，利用三角函数求[b+2c]的最值，从而打破思维定式，有效提升数学素养。

2.改变例题条件设置，一题多变

高考试题多源于课本例题或习题的变式。因此，在数学习题教学中，应渗透变式思想，精选例题。通过改变例题条件，发散学生思维，提升其创新能力。

［例2］［人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册第81页习题5.2第8题］已知函数[f（x）=x22+2x-3lnx]，求[f（x）]的导数，并求出[f（x）>0]的解集。

分析：本题是不含参数的函数单调性问题，涉及幂函数和自然对数函数，属于典型的超越函数求导问题。由于不含参数，故为定态问题。

变式1：已知函数[f（x）=x22+ax-（a+1）lnx]，讨论函数[f（x）]的单调性。

分析：本题在一次项和对数函数前引入参数[a]，将例题中的定态单调性问题转化为动态的含参数单调性问题。相比例题，本题对学生思维要求更高，凸显了变式教学在习题课中的价值。讨论单调性时，需先找到参数[a]分类讨论的分界点，再进行讨论。对函数[f（x）]求导得[f（x）=x2+ax-（a+1）x]，分子是一个可因式分解的二次式结构，且二次项系数不含参数，因此只需讨论含参数的根在定义域内的情况以及两根的大小，即可得出函数单调性的情况。

变式2：已知函数[f（x）=ax22-x+alnx]，讨论[f（x）]的单调性。

分析：本题在二次项和对数函数前引入参数[a]，将定态问题转化为动态问题。由于引入参数位置的不同，加大了分类讨论的难度。对函数[f（x）]求导得[f（x）=ax2-x+ax]，分子的二次项系数含参数，需先讨论其是否为0。因分子不能因式分解，故需根据判别式[Δ=1-4a2]小于0、等于0和大于0三种情况，讨论一元二次方程根的存在性。同时，需关注定义域的端点。具备高阶思维的学生可观察到，当[a][≤0]时，[f（x）<0]恒成立，再进一步讨论[a>0]时的单调性。

变式3：已知函数[f（x）=ax22-x+alnx]为单调递增函数，求[a]的取值范围。

分析：本题基于变式2，明确函数[f（x）]为单调递增函数，求参数的取值范围，采用变式2的逆向思维。由[f（x）≥0]恒成立，即可求解参数的取值范围。

变式4：已知函数[f（x）=ax22-x+alnx]存在单调递增区间，求[a]的取值范围。

分析：本题在变式3的基础上，将恒成立求参数问题转化为存在性求参数问题，突出对比变式思维。由[f（x）>0]在定义域内有解，即可求解参数的取值范围。

例2的变式将定态问题转化为动态问题，解答过程充分运用了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想。在习题变化中，教师引导学生突破思维瓶颈，从定态的函数单调性讨论提升到动态的函数单调性讨论，并进一步延伸至已知函数单调性求参数问题，培养学生的逆向思维，同时提升学生的数学学科核心素养。

“三新”背景下，采取以核心素养为导向的变式教学策略至关重要。多样化变式设计不仅能够帮助学生构建数学知识体系，提高解决问题能力和思维能力，而且能够培养他们的综合素养，为他们未来的学习和生活奠定坚实基础。因此，教师应关注学生的学习需求和特点，采用变式教学策略因材施教，以此激发学生的学习兴趣和动力，提升学生的综合素养。

［   参   考   文   献   ］

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]  王传英.高中数学“变式教学”策略例谈[J].基础教育论坛，2024（4）：77-79.

[3]  王均芳.“变式教学”在高中数学教学中的应用研究[J].试题与研究，2024（2）：153-155.

（责任编辑    黄春香）