问题导学促探究 素养提升展成效

［摘 要］“椭圆及其标准方程”作为章节起始课，问题设计需体现大单元教学理念，注重提升学生的数学学科核心素养。在探究椭圆概念及推导椭圆标准方程时，应以问题为导向，融合信息技术于课堂教学，突破教学重难点，促进学生思维能力及数学学科核心素养的提升。

［关键词］问题导学；核心素养；椭圆

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0007-04

2022年11月下旬，某校举办了三校联合新课改教研活动。来自三所示范性高中的三位教师展示了“椭圆及其标准方程”的教学设计，并进行了“同课异构”教学展示。三位教师均围绕椭圆概念的生成和椭圆标准方程的推导展开教学，但各有侧重，有的侧重概念形成，有的侧重方程推导，有的侧重知识应用。三节课各具特色，亮点纷呈。在“三新”背景下，秉承“以生为本”的教学理念，笔者以其中一位教师的教学展示为例，探讨如何在教学设计中提升学生的数学学科核心素养。

一、教学课例

（一）课题的引入

教师利用多媒体，直观呈现“天问一号”探测器绕火星飞行的路径、发电厂冷却塔、“中国天眼”等图像，并从数学建模角度抽象出其中的数学曲线。

导入：这就是我们接下来要研究的圆锥曲线。那么，为什么它们被称为圆锥曲线呢？接下来，我将通过[GGB]几何软件为大家演示。演示结果显示，当圆锥的轴与截取平面垂直时，截口曲线是圆形；当圆锥的轴与截取平面非垂直时，得到椭圆、抛物线和双曲线这三种截面。这些截面，都被统称为圆锥曲线。

问题1：上一章我们是如何利用坐标法研究圆的？

在探讨圆锥曲线的研究路径时，教师引导学生独立思考、交流讨论，通过类比圆的研究过程，确定圆锥曲线的研究步骤：首先从现实背景出发，形成圆锥曲线概念；接着，推导圆锥曲线的方程；然后，探讨圆锥曲线的性质；最后，将所学知识应用于实际生活。

（二）椭圆概念的生成

教师利用[GGB]几何软件设计了椭圆生成的探究实验，并引导学生参与其中。

教师首先展示了圆的形成过程：将两个固定点重合，并绕固定点拉动套有铅笔的绳子，笔尖留下的轨迹形成了一个圆形。

问题2：将两个固定点拉开一定距离并再次固定，绳子被拉紧并移动笔尖，会得到怎样的轨迹呢？

教师邀请几名学生上台，让他们尝试移动笔尖，观察运动过程中形成的椭圆形轨迹。

问题3：若改变两个固定点的距离，会得到怎样的轨迹呢？

教师鼓励学生动手尝试去改变两个固定点的距离，并观察运动过程中的变化量和不变量。

问题4：假设绳子的长度发生改变，那么绘制出来的轨迹会是怎样的曲线？

师生共同探索了椭圆形成的条件，通过实验和观察，逐渐揭示了椭圆的本质特征。

问题5：由此你能抽象出确定椭圆的几何元素吗？

在教师的引导下，学生分析得出：尽管笔尖到两个固定点的距离会变化，但这两个距离的总和保持不变，且等于绳子的长度。由此确定椭圆的几何元素为两个定点以及动点到两个定点的距离之和为恒定值。

问题6：你能否根据椭圆的几何特征来定义椭圆？

在教师的引导下，学生尝试用精确的数学术语来定义椭圆。

（三）椭圆标准方程的推导

问题7：有了椭圆的定义，接下来应该研究什么？

让学生明白接下来研究的是椭圆标准方程的推导。

问题8：使用坐标法求曲线方程的步骤是什么？

教师回顾了求曲线方程的基本步骤，并明确了建立椭圆方程的大致流程：建系、设点、找已知条件、将条件坐标化、化简方程、检验方程。师生一起完成前面四个步骤。

追问1：观察方程[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]的结构，你认为该怎样化简方程？

针对这一难点，教师设置了一个自主学习环节。先由学生思考并尝试化简，然后展示他们常见的两种化简方法：（1）两边直接平方；（2）将其中一个根号移到等式右边再平方。由于方法（1）会出现高次方根，较为复杂，难以继续化简，于是教师引导学生尝试方法（2）。在此过程中，教师关注学生的解答障碍，分步引导，帮助学生逐步完成推导。

追问2：方程[x2a2+y2a2-c2=1]还可以更加简单吗？

追问3：你能从图1和图2中找出表示[a，c，a2-c2]的线段吗？

教师和学生共同解决了提出的问题，推导出了焦点在x轴上的椭圆的标准方程。随后，教师引导学生总结了推导焦点在轴[x]上的椭圆标准方程的过程及步骤，特别强调在化简带两个根号的表达式时，采用先移项再平方的方法较为有效。

接着，教师提出问题9：那么焦点在[y]轴上的椭圆的标准方程又是怎样的呢？

最后，教师布置了课堂练习：请结合图2推导焦点在[y]轴上的椭圆的标准方程。

练习：[因为MF1=]             ，[MF2=]                ，

[所以MF1+MF2=]                                   。

移项

平方

化简

再平方

化简

最后

在课堂练习中，学生学习并模仿了推导焦点在[x]轴上的椭圆标准方程的过程及步骤，随后推导出了焦点在[y]轴上的椭圆标准方程。教师展示了学生的推导过程，并发表了见解，指导学生比较了椭圆的两个标准方程的异同点。

（四）课堂小结

教师：本节课我们主要学习了哪些知识？涉及了哪些数学思想和方法？

课堂结束前，教师简要总结了授课内容。

二、课例点评

（一）体现单元教学理念

本节课在三个方面体现了大单元教学理念：

（1）在引入情境时，教师利用GGB几何软件动态展示并讲解圆锥曲线的概念。教师从大单元视角出发，帮助学生整体构建知识框架，联系前后知识，以便学生更好地理解新知，提升数学学科核心素养。

（2）本节课通过问题1引导学生回顾圆的研究过程。因为椭圆的内容架构、研究过程和研究方法与圆基本一致，所以教师通过类比圆的研究路径，引导学生猜想圆锥曲线的大致研究过程。这体现了“研究对象变，研究套路和思想方法不变”的规律。通过借鉴先前知识，学生可以明确圆锥曲线的基本研究路径，全面把握本章内容及结构。

（3）在课堂小结时，教师特别强调了数形结合思想，并指出运用坐标法和类比法对于学生学习双曲线和抛物线的重要性，为后续大单元教学做准备。

【优点与不足】本节课采用GGB几何软件动态展示圆锥曲线的由来，相关教学设计体现了大单元教学理念，值得肯定。但由于课程内容较多，教师快速拉动平面完成了此环节。

【改进】邀请学生上台操作GGB几何软件，直观感知圆和圆锥曲线之间的内在联系。此方式能吸引学生参与课堂活动，增强学生的亲身体验，从而提升教学效果。

（二）注重发展学生的数学学科核心素养

本节课的教学设计多处体现数学学科核心素养的落实。

（1）利用多媒体展示“天问一号”探测器绕火星飞行的路径、发电厂冷却塔、“中国天眼”等图像，让学生体会圆锥曲线在生产生活中的广泛应用，关注科技发展，潜移默化地培育学生的爱国情怀，同时提升学生的数学建模和直观想象素养。

（2）运用GGB几何软件，引导学生直观观察，感受圆与圆锥曲线的内在联系，培养学生的直观想象素养。

（3）通过从具体情境中抽象出椭圆的模型，培养学生的数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心素养。

（4）推导椭圆的标准方程，提升学生的数学运算素养。

【优点与不足】（1）教师试图通过问题1引导学生回顾圆的研究过程，并类比圆的研究方法探究圆锥曲线的基本研究路径，以整体把握本章学习内容与基本框架。然而，在实际教学中，当教师提出问题1时，无学生应答，这说明问题的难度超出了学生的认知范围，教师在备课时没有充分考虑学情，对问题的难度预估不足。

（2）在处理问题2、问题3、问题4和问题5时，教师仅让几个学生通过拖动椭圆的方式就揭示椭圆的特征，这一过程过于简化，导致其他学生的参与度不足。

（3）教师巧妙设计，让学生模仿焦点在[x]轴上的椭圆标准方程推导，自主推导焦点在[y]轴上的椭圆标准方程，成为课堂亮点。通过模仿，学生克服了计算难题，体验了成功的喜悦，增强了学习信心。在突破带两个根号的等式化简难点时，学生的数学运算素养得到了提升。然而，教师课堂把控能力不足，未能引导学生在预设时间内完成练习，对于一节优质课而言，时间分配不够合理。

【改进】设计小组探究实验；每组分配一至两台平板电脑，确保实验设备充足。教师设计详细的实验表格，明确列出活动要求、环节和流程，并指明需关注的相关量。实验过程中，教师应给予清晰指导：（1）移动动点[P]，观察并记录所绘轨迹图形；（2）改变参数[a]与[c]的值，再次移动动点[P]，观察并记录所绘轨迹图形。强调动手操作时，需区分不变量和变化量。特别关注不变量，分析图像共性，抽象出本质属性，进而形成概念。

在教学设计中融入“先猜测，再推导验证”的环节，鼓励学生基于已有知识或直观感受对问题进行猜测，然后通过数学推导进行验证，从而培养学生的逻辑思维和探究能力。为了加深学生对“建系不同，会产生不同方程”的理解，设计问题9：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，-c）和（0，c），其中a，b的意义与之前相同，那么此时椭圆的标准方程是什么？你能不做具体推导直接得出结论吗？通过师生之间的交流总结，利用焦点关于直线[y=x]的对称性来简化推导过程直接得出在y轴上的椭圆的标准方程。具体的推导过程可以安排在课后完成，这样可为课堂上的思考、探究等环节赢得宝贵的时间。提供第三种化简带两个根号的等式的方法，即利用平方差公式去根号。这种方法既可以作为课堂内容的补充，又可以作为课后拓展，帮助学生掌握更多的化简技巧，进一步提高他们的数学运算素养。

（三）发挥信息技术的作用

本节课，教师展现了出色的信息技术运用能力，有效激发了学生对数学学习的热情，并鼓励他们积极探索。教师运用GGB几何软件这一现代信息技术，成功突破了教学难点，即圆锥曲线的理解和椭圆概念的建构。

【优点与不足】通过GGB几何软件，学生能够轻松进行实验操作，并通过改变参数a，c的值绘制出不同的椭圆，直观感受动点的动态变化规律。在此过程中，学生抽象出了椭圆的几何要素，生成了椭圆的概念，有效突破了教学难点。然而，遗憾的是，学生动手操作的机会较少。

【改进】针对课本探究内容，增设一个学生动手操作的实验，明确实验方案，让学生通过小组合作交流，完成实验表格。在引导学生使用GGB几何软件时，教师应给予学生充分的探索时间，鼓励他们反复尝试、观察、讨论和思考。针对学生在实践中提出的问题，教师应及时引导解决，促进学生思维能力的提升。通过亲身经历椭圆的生成过程，学生可以深刻感受到信息技术在研究图象中的重要作用，体会到数学软件的强大功能，同时培养直观想象和数学抽象素养。

三、几点感悟

在本节课中，执教教师亲和力强，激情四溢，能熟练运用信息技术，问题导学及核心素养导向明确，有效促进了学生数学学科核心素养的提升。为进一步提升教学效果，教师需深入钻研教材，把握教材编排意图，同时加强对学生特点的研究，从学生角度出发设计教学环节，给予学生充足的思考时间。在课堂教学中，数学学科核心素养的落实可从以下三个方面着手：（1）注重知识的前后联系，树立单元教学意识；（2）以问题为导向，培养学生的思维能力；（3）加强信息技术与课堂教学的融合。

在教学实践中，教师还应创设合适的情境，提出合理的问题，引入新的思路和方法。比如，化简带两个根号的等式的第三种方法（利用平方差公式去根号）的学习，需要较高的领悟能力，在课后供有学习潜力的学生练习，以激发学生思考和交流，发展学生的数学思维，促进学生数学学科核心素养的提升。

［   参   考   文   献   ］

[1]  安振亚.从课例点评谈青年教师如何上好一节课[J].中国数学教育，2020（6）：33-35，39.

[2]  常磊.技术助力教学    探究提升素养：“函数[y=xa-logxb]的图象与性质”课例点评[J].中国数学教育（高中版），2023（8）：40-42.

（责任编辑    黄春香）