一类圆锥曲线定值问题的探究与推广

［摘 要］文章从一道柳州市数学统测试题入手，探究了圆锥曲线中与向量的数量积相关的定值问题，并类比推导出圆锥曲线中的相关结论，最后从不同角度编拟了练习题。

［关键词］圆锥曲线；定值问题；探究；推广

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0010-03

圆锥曲线定值问题是近几年高考和各地模拟考的热点题型。这类问题主要指某些几何量（如线段长度、图形面积、直线斜率）或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，始终为定值。本文从一道柳州市数学统测试题入手，探究圆锥曲线中与向量的数量积相关的定值问题，并类比推导出圆锥曲线中的相关结论，最后从不同角度编拟练习题。

一、试题呈现

（2024年柳州市数学统测试题第18题）一动圆与圆[x2+y2+2x=0]外切，同时与圆[x2+y2-2x-24=0]内切，记动圆圆心的轨迹为曲线[E]。

（1）求曲线[E]的方程，并说明[E]是什么曲线；

（2）若点[P]是曲线[E]上异于左右顶点的一个动点，点[O]为曲线[E]的中心，过曲线[E]的左焦点[F]且平行于弦[OP]的直线与曲线[E]交于点[M，N，]求证：[FM·FNOP2]为一个定值。

分析：本题的“题根”在教材。第一问出自人教A版高中数学选择性必修一第115页第10题，考查定义法求动圆圆心的轨迹方程，比较基础；第二问源自同册教材第145页第8题的平行弦问题，难度有所提升。本题主要以平行弦问题为载体考查解析几何的基本思想方法，充分展现定点、定值、定向问题，内容丰富、结构紧凑，知识与能力的考查并重。试题蕴含丰富且有趣的性质，值得深入研究。

二、解法探究

（1）曲线[E：x29+y28=1]。曲线[E]是焦点在[x]轴上，以原点为对称中心，以[O1]，[O2]为焦点的椭圆。

（2）解法1：当直线[OP]的斜率不存在时，弦[OP]为椭圆的短半轴，因此[OP2=8]，由[OP]∥[MN]可知，弦[MN]为椭圆的通径，满足[FM=FN=b2a=83]，因此[FM·FNOP2][=-FMFNOP2=-89]。

当直线[OP]的斜率存在时，设其为[k]，则直线[OP]的方程为[y=kx]，代入曲线[E]的方程得[x2=728+9k2]，因此[OP2=72（1+k2）8+9k2]，设直线[MN]的方程为[y=k（x+1）]，代入曲线[E]的方程得[（8+9k2）x2+18k2x+9k2-72=0]，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，则[x1+x2=-18k28+9k2]，[x1x2=9k2-728+9k2]，而[FM·FN=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）（1+k2）=（1+k2）（x1x2+x1+x2+1）=（1+k2）-18k28+9k2+9k2-728+9k2+1=-64（1+k2）8+9k2]，因此[FM·FNOP2=-FMFNOP2=-64（1+k2）8+9k2×8+9k272（1+k2）=-89]。综上，[FM·FNOP2]为定值[-89]。

点评：采用设直线方程代入联立求解的常规策略，通过转化思想将向量的数量积变为线段长度比，再利用韦达定理把长度关系表示为关于斜率[k]的式子，最后可得到这个定值与斜率[k]无关。

解法2：由解法1可知当直线[OP]的斜率不存在时，[FM·FNOP2=-89]。下证当[FM·FNOP2=-89]时，直线[MN]∥[OP]恒成立。

设直线[MN]和直线[OP]的倾斜角分别为[θ，β]，则由椭圆焦半径的极坐标公式可知[FM=ep1-ecosθ=b2a-c·cosθ=83-cosθ]，[FN=ep1+ecosθ=b2a+c·cosθ=83+cosθ]，因此[FMFN=649-cos2θ=648+sin2θ]。

设[OP]的直线方程为[y=tanβ·x]，代入曲线[E]的方程得[x2=728+9tan2β]，所以[OP2=（1+tan2β）x2=728+sin2β]，由[FM·FNOP2=-FMFNOP2=-89]化简得[9FMFN=8OP2]，从而有[9×648+sin2θ=8×728+sin2β]，即[sin2θ=sin2β]，可得[θ=β]或[θ+β=π]。

当[θ=β]时，[MN]∥[OP]即证。当[θ+β=π]时，此时的点[P]与[θ=β]时的点[P]关于[y]轴对称，也就是说这两个点[P]都可以证明[FM·FNOP2]为定值。事实上，根据椭圆的对称性也可知，点[P]关于[x]轴、[y]轴、原点对称的点都符合定值的要求。

点评：从特殊位置入手求出定值，再论证这个定值对一般情况也成立，即满足题设的条件[MN]∥[OP]，从而说明定值成立的必要性，是处理定点定值问题的一种常用策略。

解法3：当直线[OP]的斜率存在时，设直线[OP]的方程为[y=kx]，代入曲线[E]的方程得[x2=728+9k2]，从而可得[OP2=72（1+k2）8+9k2]，

设直线[MN]的参数方程为

[x=-1+tcosα，y=tsinα]（[t]为参数，[α]为倾斜角），代入曲线[E]的方程得[（8cos2α+9sin2α）t2-16tcosα-64=0]，由韦达定理得[t1t2=-648cos2α+9sin2α=-64sec2α8+9tan2α=-64（1+k2）8+9k2]，所以[FM·FNOP2=-89]，当[OP⊥x]轴时，结论也成立。

点评：采用直线参数方程优化运算，利用参数[t]的几何意义将向量的数量积转化为倾斜角[α]的三角函数，再对三角函数变形，化为关于直线[MN]的斜率[k]的表达式，统一变量后消去，得到定值，是处理此类问题的经典解法。

解法4：设[x=x3]，[y=y22]，则椭圆[x29+y28=1]可变为圆[x2+y2=1]，根据题意将图1与图2对应，[F]，[M]，[N]对应点[F-13，0]，[M，N]，则由相交弦定理得[FMFN=AFFB=1-131+13=89OP2]，所以[FMOP·FNOP=89]。由于仿射变换保持平行线线段长度之比不变，所以[FMOP·FNOP=89]，即[FMFNOP2=89]，从而可得[FM·FNOP2=-89]。

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图1                                     图2

点评：该解法主要利用圆的相交弦性质进行求解，完全摒弃了解析几何的代数运算，充分展现了平面几何在解析几何中的强大作用。代数与几何问题的灵活转化是优化解析几何计算的重要途径。

解法5：设[zP=x+yi=r（cosθ+isinθ）]，即[P（rcosθ，rsinθ）]，代入解法4的椭圆方程[x29+y28=1]，整理得[r2=OP2=728cos2θ+9sin2θ=728+sin2θ]，补出另一个焦点[F]，则[FM=6-FM]，在△[MFF]中，由余弦定理得[FM2+22-（6-FM）2=2×2×FMcosθ]，即[FM=83-cosθ]，同理，[FN=83+cosθ]，所以[FMFN=649-cos2θ=648+sin2θ]，从而可得[FM·FNOP2=-89]。

点评：利用复数的三角形式解决平行问题，通过平行条件下辐角[θ]相等的特性，极大地简化了运算。

三、具体推广

结论1 设点[P]是有心圆锥曲线[Ax2+By2=1（A≠0，B≠0）]上异于长轴（或实轴）顶点的一个动点，点[O]为圆锥曲线的中心，过圆锥曲线内任意一点[E（x0，y0）]且平行于[OP]的直线与圆锥曲线交于点[M，N，]则[EM·ENOP2=Ax20+By20-1]。

证明：当直线[OP]的斜率存在时，设直线[OP]的方程为[y=kx]，代入[Ax2+By2=1]得[x2=1A+Bk2]，从而[OP2=1+k2A+Bk2] ①，

设直线[MN]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]为参数，[α]为倾斜角），代入曲线方程[Ax2+By2=1]得[（Acos2α+Bsin2α）t2+（2x0Acosα+2y0Bsinα）t+Ax20+By20-1=0]，

由根与系数的关系得[t1t2=Ax20+By20-1Acos2α+Bsin2α=（Ax20+By20-1）（1+tan2α）A+Btan2α=（1+k2）（Ax20+By20-1）A+Bk2]，可得[EM·EN=（1+k2）（Ax20+By20-1）A+Bk2]②，由①②可得[EM·ENOP2=Ax20+By20-1]。

可以验证，当直线[OP]的斜率不存在时，上式也成立。

注：当[Acos2α+Bsin2α=0]时，[AB<0]，直线[MN]变为双曲线的渐近线，与题设矛盾。

结论2 设抛物线[y2=2px，]过原点[O]且斜率为[k]的直线交抛物线于点[P]，过抛物线内任意一点[E（x0，y0）]且平行于[OP]的直线与抛物线交于点[M，N，]则[EM·ENOP2=（y20-2px0）k24p2]。

证明：设直线[OP]的方程为[y=kx]，代入[y2=2px]得[x=2pk2]或[x=0]（舍去），则[OP2=4p2（1+k2）k4]，设直线[MN]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t]为参数，[α]为倾斜角[）]，代入[y2=2px]得[sin2α·t2+（2y0·sinα-2pcosα）t+y20-2px0=0]，由韦达定理得[t1t2=y20-2px0sin2α=（y20-2px0）csc2α=（y20-2px0）1+1k2]，所以[EM·EN=t1t2=（1+k2）（y20-2px0）k2，][EM·ENOP2=（y20-2px0）k24p2]。

四、试题链接

有效教学是教师一直追求的目标，而试题变式是有效教学的一种重要手段，也是学生知识的增长点。圆锥曲线有多项特征点，如焦点、顶点、准线与对称轴的交点、直线与圆锥曲线的切点等，为从不同角度编拟题目提供了可能，展现了圆锥曲线内在的奇异美。

［试题1］已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，直线[l]过点[A（-a，0）]，与椭圆交于点[M]，与[y]轴交于点[N]，过原点平行于[l]的直线与椭圆交于点[P]，证明：[AM]，[2OP]，[AN]成等比数列。

［试题2］若点[P]是椭圆[x24+y23=1]上异于长轴端点的一个动点，点[O]为椭圆的中心，若过点[E（-4，0）]的直线平行于[OP]且与椭圆交于点[M，N]，求[EM·ENOP2]的值。

［试题3］设抛物线[y2=2px]，过原点[O]作斜率为1的直线交抛物线于点[P]，过抛物线的焦点[F]且平行于[OP]的直线交抛物线于点[M，N]，求证：[FM]，[OP2]，[FN]成等比数列。

［试题4］设[MN]是过双曲线[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）虚轴端点[B]的一条弦，过双曲线中心[O]的半弦[OP]∥[MN]，求证：[MB]，[2OP]，[BN]成等比数列。

［试题5］若点[P]是双曲线[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）上异于顶点的一个动点，点[O]为双曲线中心，点[F]为双曲线的左焦点，过双曲线第三象限内任意一点[M]的切线[l]平行于[OP]，[MF]交直线[OP]于点[N]，求证[MN=a]。

在高考中对解析几何重点考查的是逻辑推理和数学运算素养。圆锥曲线的魅力在于其变化中的不变属性，以及对“删繁就简”的永恒追求。设计与优化运算是探索其奥秘的乐趣所在。教师应深入挖掘圆锥曲线相关试题的本源，强化核心逻辑，引导学生自主探究，激活学生思维。

［   参   考   文   献   ］

[1]  颜波.指向数学运算素养培育的试题教学思考：以全国卷中的几道解析几何试题为例[J].数学通报，2024，63（5）：34-39.

[2]  代银.双曲线、椭圆平行弦性质再探究[J].数学教学通讯，2007（9）：64-65.

[3]  苏立标.一道自主招生试题引发椭圆的几何性质探讨[J].数学通讯，2011（8）：55-57.

[4]  闫伟.一道清华大学自招试题的解法探究及拓展[J].中学数学研究（华南师范大学版），2020（1）：37-39，25.

（责任编辑    黄春香）