高中导函数多变量问题解题策略研究

［摘 要］高中数学中，导函数多变量问题常见且复杂。这类问题不仅考查基础知识，还对学生的逻辑思维、问题分析和问题解决能力有较高要求。文章探讨高中导函数多变量问题的解题策略，通过案例分析、方法总结及技巧提炼，帮助学生更好地应对此类难题。

［关键词］导函数；多变量问题；解题策略

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0013-04

导函数作为微积分的基础，在高中数学中具有举足轻重的地位。多变量问题是导函数应用的一大难点，尤其在处理不等式、极值、最值等问题时，学生常常感到无从下手。本文将从六个方面探讨导函数多变量问题的解题策略，为学生提供有效的解题方法和思路。

一、利用韦达定理消元

韦达定理揭示了一元二次方程中根与系数之间的关系。利用韦达定理处理导函数多变量问题是一种巧妙的策略。当问题涉及多个变量且满足二次关系时，可构造一元二次方程，利用韦达定理将多变量问题转化为单变量问题。关键在于识别可构造的一元二次方程，并准确应用韦达定理。转化后，问题大大简化，此时可利用一元二次方程根的性质和导数工具求解。

［例1］已知函数[f（x）=ax2-2x+lnx]（[a≠0]，[a∈R]）。（1）讨论函数[f（x）]的单调性；（2）若函数[f（x）]有两个极值点[x1]，[x2]，求证：[f（x1）+f（x2）<-3]。

解析：（1）由题意得，函数[f（x）]的定义域是[（0，+∞）]，[f '（x）=2ax-2+1x=2ax2-2x+1x]，令[g（x）=2ax2-2x+1]，[Δ=4-8a]，接下来可对[a]进行分类讨论，研究函数的单调性（过程略）。

（2）由（1）得[0<a<12]时，函数[f（x）]有[2]个极值点[x1]，[x2]，且[x1+x2=1a]，[x1x2=12a]，所以[f（x1）+f（x2）=-lna+1a-（1+ln2）]，令[h（a）=-lna+1a-（1+ln2）0<a<12]，则[h'（a）=-1a-1a2=1-aa2>0]，所以[h（a）]在[0，12]上递增，则[h（a）<h12=-ln12+2-（1+ln2）=-3]，即[f（x1）+f（x2）<-3]。

评析：第一问含参变量，需要对其进行分类讨论；第二问基于第一问，进一步缩小参变量的取值范围。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数变号的零点。利用韦达定理，建立极值点与参变量的关系，通过变形可将多变量化为单变量，从而得出目标函数。

二、齐次化处理

齐次化是处理导函数多变量问题的有效策略。它通过代数变换，将多变量问题转化为单变量问题，简化求解过程。具体步骤包括：（1）观察与识别。观察题目，识别出可通过代数变换形成齐次形式的项。（2）代数变换。利用已知条件进行乘除、加减、换元等代数变换，使多变量表达式转化为齐次形式。（3）引入新变量。为简化问题，可引入新变量（如令某两个变量的比值为新变量），将多变量转化为单变量或更简单的多变量形式。（4）利用导数性质。齐次化后，利用链式法则、乘积法则等，对新的单变量函数求导，求解问题。（5）回代求解。如需求出原变量值，可将新变量或中间结果回代到原问题中求解。通过这些步骤，齐次化策略能有效地将复杂的多变量问题转化为更易解决的问题。

［例2］已知函数[f（x）=xlnx-2ax2+x]，[a∈R]。（1）若[f（x）]在（[0，+∞）]内单调递减，求实数[a]的取值范围；（2）若函数[f（x）]有两个极值点[x1]，[x2]，证明：[x1+x2>12a]。

解析：（1）令[f '（x）≤0]在[x∈（0，+∞）]上恒成立，分离参数得出[4a≥lnx+2x]，利用函数单调性求出函数[g（x）=lnx+2x]的最大值即可得出[a]的取值范围。

（2）因为[f（x）]有两个极值点，所以[f '（x）=lnx+2-4ax=0]在[（0，+∞）]上有两个解，即[4a=lnx+2x]有两个解，由（1）可知[0<a<e4]。由[lnx1-4ax1+2=0]，[lnx2-4ax2+2=0]，可得[lnx1-lnx2=4a（x1-x2）]，不妨设[0<x1<x2]，要证明[x1+x2>12a]，只需证明[x1+x24a（x1-x2）<12a（lnx1-lnx2）]，即证明[2（x1-x2）x1+x2>lnx1-lnx2]，即证明[2x1x2-1x1x2+1>lnx1x2]，令[h（x）=2（x-1）x+1-lnx（0<x≤1）]，则[h'（x）=-（x-1）2x（x+1）2≤0]，故[h（x）]在[0，1]上单调递减，所以当[x∈0，1]时，[h（x）>h（1）=0]，即[2（x-1）x+1>lnx]在[0，1]上恒成立，故不等式[2x1x2-1x1x2+1>lnx1x2]恒成立。综上，[x1+x2>12a]。

三、利用放缩法

在导函数多变量问题中，放缩法是一种有效简化复杂问题的策略。它通过放缩不等式，将多变量表达式转化为易处理的单变量表达式。具体过程为：首先，识别影响问题复杂度的关键变量或表达式；然后，利用不等式性质或函数单调性，对原表达式进行放大或缩小，使处理后的表达式仅关于一个变量。在这一过程中，需要巧妙选择放缩的“度”，既要保证放缩后的表达式易处理，又要不改变原问题的核心性质。

［例3］已知函数[f（x）=xlnx-x]。若[f（x）=b]有两个实数根[x1]，[x2]，且[x1<x2]。求证：[be+e<x2-x1<2b+e+1e]。

解析：[f（x）]的定义域为（0，+∞），[f'（x）=lnx]。令[f'（x）>0]，得[x>1]；令[f'（x）<0]，得[0<x<1]，所以[f（x）]在区间（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减。因为[f（x）=b]有两个实数根[x1]，[x2]，且[x1<x2]，所以[0<x1<1<x2]。

先证不等式[x2-x1<2b+e+1e]。因为[f（e）=0]，[f1e=-2e]，[f'（e）=1]，[f'1e=-1]，所以曲线[y=f（x）]在[x1=1e]和[x2=e]处的切线分别为[l1]：[y=-x-1e]和[l2]：[y=x-e]，如图1所示。

<G：＼2025-3月数据＼A 加急3-15＼中学教学参考·理科版202501 系统里没有＼Z14.eps>[x][l2][l1]

图1

令[g（x）=f（x）--x-1e=xlnx+1e]，[0<x<1]，则[g'（x）=1+lnx]。令[g'（x）>0]，则[1e<x<1]，令[g'（x）<0]，则[0<x<1e]，所以[g（x）]在[0，1e]上单调递减，在[1e，1]上单调递增，所以[g（x）≥g1e=0]，所以[f（x）≥-x-1e]在（0，1）上恒成立。设直线[y=b]与直线[l1]交点的横坐标为[x′1]，则[x′1≤x1]；设直线[y=b]与直线[l2]交点的横坐标为[x′2]，同理可证[x2≤x′2]。因为[x′1=-b-1e]，[x′2=b+e]，所以[x2-x1<x′2-x′1=b+e--b-1e=2b+e+1e]（两个等号不同时成立），因此[x2-x1<2b+e+1e]。

再证不等式[x2-x1>be+e]。函数图象[f（x）]上有两点A（1，-1），B（e，0），设直线[y=b]与直线[OA]：[y=-x]，直线[AB]：[y=1e-1（x-e）]的交点的横坐标分别为[x3]，[x4]，易证[x1<x3<x4<x2]，且[x3=-b]，[x4=（e-1）b+e]，所以[x2-x1>x4-x3=（e-1）b+e-（-b）=be+e]。综上，[be+e<x2-x1<2b+e+1e]成立。

评析：本题涉及含有两个零点的[f（x）]的解析式（可能含有参数[x1]，[x2]），已知方程[f（x）=b]有两个实根，要证明这两个实根之差小于（或大于）某个表达式。求解策略：首先，画出[f（x）]的图象，并求出[f（x）]在两个零点处（或曲线上的某两点）的切线方程（或找过曲线上某两点的直线）；然后，严格证明曲线[f（x）]在切线（或所找直线）的上方或下方；最后，对[x1]，[x2]进行适当的放大或者缩小，以精确证明所需结论。

四、利用主元法

主元法的核心在于选定或引入一个变量作为“主元”进行主要研究，而将其他变量视为参数或常量。求解时，可利用导数工具对主元求导、分析单调性、求极值等，得到主元的解。这种策略关键在于合理选择主元，并灵活处理其他变量与主元的关系。

（一）确定主元

［例4］已知函数[f（x）=a（x-1）-lnx+1]。（1）求[f（x）]的单调区间；（[2）]当[a≤2]时，证明：当[x>1]时，[f（x）<ex-1]恒成立。

解析：（1）对函数直接求导，分[a≤0]和[a>0]两种情况讨论，根据导函数的正负得到函数的单调区间；（2）当[a≤2]，且[x>1]时，[ex-1-f（x）=ex-1-a（x-1）+lnx-1≥ex-1-2x+1+lnx]，令[g（x）=ex-1-2x+1+lnx（x>1）]，下证[g（x）>0]即可。[g'（x）=ex-1-2+1x]，再令[h（x）=g'（x）]，则[h'（x）=ex-1-1x2]，显然[h'（x）]在[（1，+∞）]上递增，则[h'（x）>] [h'（1）=e0-1=0]，即[g'（x）=h（x）]在[（1，+∞）]上递增，故[g'（x）>g'（1）=e0-2+1=0]，即[g（x）]在[（1，+∞）]上单调递增，故[g（x）>g（1）=e0-2+1+ln1=0]，问题得证。

（二）引入新主元

［例5］设函数[f（x）=（x+a）ln（x+b）]，若[f（x）≥0]恒成立，则[a2]+[b2]的最小值为                。

解析：引入新主元[t]，并令[t=x+b]，则原式可变为[F（t）=（t+a-b）lnt][（t>0）]，[F（t）≥0=F（1）]，所以最小值落在了极值点处，则只需[F（1）=0]，得出[1+a-b=0]，所以[a2+b2=a2+（1+a）2=2a2+2a+1≥12]，[a2+b2]的最小值为[12]。这样就把多元问题最终化为一元问题。

五、利用单调性分析法

在解决导函数多变量复杂问题时，利用单调性分析法将其转化为单变量问题，是一种直观有效的策略。这种策略的核心在于通过导数判断函数的单调性，简化求解过程。其基础步骤为：首先，明确多变量函数及其定义域。然后，选取一个变量作为“主变量”，其余变量视为参数或常量。最后，对函数关于主变量求导，分析导数的符号变化，确定函数的单调性。这样处理，求解过程更加清晰。