二次函数中与角度有关的问题探讨

［摘 要］在二次函数问题中，常涉及特殊角度、倍角等，要求学生求解点的坐标或者判断其存在性。文章结合四个例题，对二次函数中与角度有关的四类问题进行分析探讨，旨在为师生专题复习提供启示。

［关键词］二次函数；角度；问题

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0017-03

在二次函数问题中，常涉及特殊角度、倍角等，要求学生求解点的坐标或者判断其存在性，解答时需充分利用几何图形关系、函数图象的性质，必要时还需分类讨论，具有一定难度。基于此，笔者将二次函数中与角度相关的问题归纳为四种类型并进行分析探讨，以期为师生专题复习提供启示。

一、与60°角有关的问题

在解决二次函数中与60°角有关的问题时，可先将其转化为垂直或平行问题，再利用函数的图象与性质求解。

［例1］如图1，在平面直角坐标系中，抛物线[y=ax2+bx+9]与[x]轴交于点[A（-23，0）]，[B（63，0）]，与[y]轴交于点[C]。已知点[D]为[y]轴上一点，且[OD=3OA]。（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，将原抛物线沿[x]轴向左平移[43]个单位得到新抛物线[y′]，新抛物线[y′]交[x]轴于点[A′]，[B′]，点[N]为新抛物线[y′]的对称轴与[x]轴的交点，点[G]为新抛物线[y′]上一动点，使得[∠GND+∠A′DN=60°]。请直接写出所有满足条件的点[G]的坐标。

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图1                                 图2

解：（1）抛物线的表达式为[y=-14x2+3x+9]（过程略）。

（2）当点[G]在[A′D]上方时，设[A'D]交[GN]于点[K]，如图3，将抛物线[y=-14x2+3x+9=-14（x﹣23）2+12]沿[x]轴向左平移[43]个单位得到新抛物线[y′=-14（x+23）2+12]，∴新抛物线的对称轴为直线[x=-23]，∴[N（-23，0）]。在[y′=-14（x+23）2+12]中，令[y'=0]得[0=-14（x+23）2+12]，解得[x=-63]或[x=23]，∴[A'（-63，0）]，∴[OA'=63]，∵[OD=3OA=6]，∴[A'D=OA'2+OD2=12]，∴[OD=12A'D]，∴[∠DA'O=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠A'KN=60°]，∴[∠A'NK=90°]，∴[GN⊥A'N]，∴点[G]为新抛物线[y′=-14（x+23）2+12]的顶点，∴点[G]的坐标为（-2[3]，12）。当点[G]在[A′D]下方时，如图4，∵[A'（-63，0）]，[D（0，6）]，[N（-23，0）]，[DN=ON2+OD2=43]，∴[A'N=DN=43]，∴[∠DA'N=∠A'DN=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠GND=30°]，∴[∠GND=∠A'DN]，∴[A'D]∥[NG]，由[A'（-63，0）]，[D（0，6）]得直线[A'D]的表达式为[y=33x+6]，设直线[NG]的表达式为[y=33x+t]，将[N（-23，0）]代入得[0=-2+t]，解得[t=2]，∴直线[NG]的表达式为[y=33x+2]，联立[y=33x+2，y=-14（x+23）2+12，]解得[x=-83+21113，y=-2+2373，]或[x=-83-21113，y=-2-2373]（在第三象限，舍去），∴[G-83+21113]，[-2+2373]。综上所述，点[G]的坐标为（[-23]，12）或[-83+21113，-2+2373]。

评析：本题以二次函数为背景，探究了两个角的和为60°时，动点[G]的位置。分两种情况进行讨论：第一种情况，由两个角的和为60°，推导出一个直角三角形，从而确定点[G]为抛物线的顶点；第二种情况，由两个角的和为60°，得到一组平行线，通过解方程组求得直线与抛物线的交点[G]的坐标。

二、与15°角有关的问题

在解决二次函数中与15°角有关的问题时，关键在于细致观察图形。要从函数图象与坐标轴的交点坐标入手，识别出等腰直角三角形或者含30°角的直角三角形。

［例2］如图5，已知顶点为C（0，-6）的抛物线[y=ax2+b]（[a≠0]）与[x]轴交于[A]，[B]两点，且[OC=OB]。（1）求点[B]的坐标；（2）求二次函数[y=ax2+b]（[a≠0]）的解析式；（3）作直线[CB]，问抛物线[y=ax2+b]（[a≠0]）上是否存在点[M]，使得[∠MCB=15°]。若存在，求出点[M]的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵C（0，-6），∴[OC=6]，∵[OC=OB]，∴[OB=6]，∴点[B]的坐标为（6，0）。

（2）∵抛物线[y=ax2+b]，[a≠0]，过点B（6，0），点C（0，-6），∴[b=-6，36a+b=0，]解得[a=16，b=-6，]∴二次函数的解析式为[y=16x2-6]。

（3）存在。如图6，分以下两种情况：①若点[M]在点[B]上方，设[M1C]交[x]轴于点[D]，∵[OC=OB]，∴[∠OCB=45°]，∵[∠M1CB=15°]，∴[∠OCD=30°]，∴[OD=OC·tan30°=6×33=23]，∴点[D]的坐标为（2[3]，0）。设直线[DC]的方程为[y=k1x-6]，代入点[D（23，0）]，可得[k1=3]，∴直线[DC]的方程为[y=3x-6]，联立两个方程可得[y=3x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=63，y2=12，]∴[M1（63，12）]。②若点[M]在点[B]下方，设[M2C]交[x]轴于点[E]，∵[∠OBC=∠OEC+∠M2CB]，∴[∠OEC=45°-15°=30°]，∴[∠OCE=60°]，∴[OE=OC·tan60°=63]。设直线[EC]的方程为[y=k2x-6]，代入点[E]（6[3]，0）可得[k2=33]，∴直线[EC]的方程为[y=33x-6]，联立两个方程可得[y=33x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=23，y2=-4，]∴[M2（23，-4） ]。综上所述，点[M]的坐标为[（63，12）]或[（23，-4）]。

评析：本题以二次函数为背景，探究了与15°角有关的存在性问题。虽然15°角的三角函数值非常规数值，但通过与等腰直角三角形中的45°角相结合，就巧妙构造出了两个含30°角的直角三角形，而30°角的三角函数值则是学生熟知的。在最后一个问题中，求动点[M]的坐标实际可以转化为求两个函数图象的交点坐标，这一转化使得问题迎刃而解。

三、与二倍角有关的问题

在解决二次函数中与二倍角有关的问题时，关键在于将二倍角转化为等角，进而构造出特殊的几何图形，如等腰三角形等。利用这些特殊图形的性质，便能有效解决问题。

［例3］抛物线[y=-14x2+bx+c]交[x]轴于[A]，[B]（[A]左[B]右）两点，交[y]轴于点[C]且[OA=OB=OC]。（1）如图7，求抛物线的表达式；（2）如图8，[P]为第四象限抛物线上一点，连接[CP]，将线段[CP]沿着[y]轴翻折，得到线段[CQ]，连接[BQ]，设点[P]的横坐标为[m]，[△QBC]的面积为[S]，求[S]与[m]的函数关系式；（3）如图9，在（2）的条件下，[E]是第一象限抛物线上的一点，[QH⊥x]轴交[PA]的延长线于点[M]，垂足是[H]，过点[E]作[EG]∥[y]轴交[x]轴于点[G]，交直线[MC]于点[F]，连接[FB]，[∠PMF=2∠BAP]，求点[P]的坐标。

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图7                        图8                    图9

解：（1）抛物线的表达式为[y=-14x2+4]（过程略）。

（2）点[P]在抛物线上，则[Pm，-14m2+4]，∵[P]，[Q]关于[y]轴对称，∴[Q-m，-14m2+4]，如图10，作[QH]垂直[x]轴于点[H]，∴[tan∠ABQ=14m2-44+m=tan∠OBD=OD4]，则[OD=m-4]，∵[OC=4]，∴[CD=m]，∴[S△BCQ=12CD·（OB+OH）=12m2+2m]。

（3）设[∠BAP=α]，如图11，过点[P]作[PK]垂直[x]轴于点[K]，并延长与[MF]的延长线交于点[I]，连接[PQ]，则[∠APK=90°-α]，∵[∠PMF=2∠BAP=2α]，[∠I=180°-（90°-α）-2α=90°-α]，∴[∠I=∠APK]，∴[MI=MP]，由（2）知[CD=m]，∵[CD]∥[PI]，由轴对称可知点[D]是[MP]的中点，∴[CD]是[△MPI]的中位线，∴[CD=12PI]，[PI=2m]，∴[IW=WP=m]，[tan∠WPM=2]，∵[Pm，-14m2+4]，∴[tan∠WPM=AKKP=m+414m2-4=2]，解得[m=6]或4（舍去），∴点P（6，-5）。

评析：本题以二次函数为背景，探究了二倍角时点[P]的坐标问题。通过二倍角关系，构造出等腰三角形[MPI]，由此获得锐角的正切值，再根据锐角的正切值建立方程求得点[P]的坐标。本题看似复杂，但是因为抛物线关于[y]轴对称以及[CP]，[CQ]关于[y]轴对称，所以图形中出现了多个中点或等长线段，为解题提供了便利。

四、与三倍角有关的问题

在解决二次函数中与三倍角有关的问题时，可以构造两个等腰三角形。具体地，在一个角内构造两个等腰三角形，使得较大等腰三角形的一个外角是最小角的三倍。

［例4］如图12，已知抛物线[y=ax2+bx-3]（[a≠0]）与[x]轴交于[A]，[B]两点（点[A]在点[B]的左边），与[y]轴交于点[C]，顶点[D]的坐标为（1，-4），连接[AD]。直线[y=-12x+c]经过点[B]，且与[y]轴交于点[E]。（1）求抛物线的表达式及[c]的值；（2）点[F]为线段[BE]上一点，点[G]为线段[OB]上一点，连接[FG]，[FG]的延长线与线段[AD]交于点[H]，当[∠EFG=3∠ABE]，且[GH=2FG]时，求点[F]的横坐标。

解：（1）抛物线的表达式为[y=（x-1）2-4=x2-2x-3]，[c=32]（过程略）。

（2）如图13，在[BE]上选一点[F]，在[OB]上选一点[M]，使得[FM=MB]，则[∠FMG=2∠ABE]。在[OB]上点[M]的左侧取一点[G]，使得[FG=FM]，则[∠EFG=∠FGM+∠ABE=∠FMG+∠ABE=3∠ABE]。移动点[F]，当[GH=2FG]时，点[F]即为所求。过点[F]作[FP]垂直[x]轴于点[P]，过点[H]作[HQ]垂直[x]轴于点[Q]，则[GP=PM]，[△FPG ]∽[△HQG]。∴[FPHQ=GPGQ=FGHG=12]。设[Fm，-12m+32]，则[OP=m]，[FP=-12m+32]，∴[HQ=2FP=-m+3]，易得[PB=2FP]，∴[FM=BM=PB-PM=2FP-PM]。由勾股定理得[FP2+PM2=FM2]，即[FP2+PM2=（2FP-PM）2]，∴[PM=34FP=34-12m+32=-38m+98=GP]，∴[OG=OP-GP=m--83m+98=118m-98]，[GQ=2GP=-34m+94]，∴[OQ=GQ-OG=-178m+278]，∴[H178m-278，m-3]。易求得直线[AD]的表达式为[y=-2x-2]，将[H178m-278，m-3]代入，得[m-3=-2178m-278-2]，解得[m=3121]。故点[F]的横坐标为[3121]。

评析：本题以二次函数为背景，探究了三倍角时点[F]的横坐标求解问题。通过将三倍角转化为两个等腰三角形的几何构造，利用等腰三角形的性质得出线段之间的数量关系；由线段之间的二倍关系推导出相似三角形的相似比，将问题转化为用含[m]的代数式表示点[H]的坐标，最后代入直线的表达式求得点[F]的坐标。

综上，在解决二次函数中与角度有关的问题时，要了解条件与结论之间的关联，把握图形之间的架构及其背后隐藏的数学模型等。通过抽丝剥茧、步步深入地分析，掌握必要的解题技巧，形成严谨治学的态度，培养灵活思维的能力。

（责任编辑    黄春香）