“类周期”函数问题分类探讨

［摘 要］文章结合典例和变式，分类探讨“类周期”函数问题，旨在培养学生的类比分析能力和数形结合思想，同时发展学生的逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养。

［关键词］“类周期”；函数；类比；数形结合

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0020-03

对于函数[f（x）]，若存在一个常数[T（T≠0）]，使[f（x+T）=f（x）]对定义域内的任意[x]值都成立，则称[f（x）]为周期函数，[T]为[f（x）]的周期。然而，在高中数学中，常会遇到一类与周期函数相似的函数，如[f（x）=g（x），x≤0，f（x-T），x>0，][f（x+T）=f（x）+m]，[f（x+T）=mf（x）]或[f（nx）=kf（x）]等，它们虽然不是周期函数，但它们的图象也呈现出一定的规律性，我们称之为“类周期”函数，[T]为[f（x）]的“类周期”。本文将对此类问题进行分类举例探讨。

一、单侧周期型

单侧周期型函数是指形如[f（x）=g（x），x≤a，f（x-T），x>a]或[f（x）=f（x-T），x≤a，g（x），x>a]的分段函数。它在定义域内不是周期函数，但它的图象在分界点的一侧呈现周期性。

［例1］已知[f（x）=1-x2，-1≤x≤1，f（x-2），x>1，]若直线[y=knx]与[f（x）]有[2n]个交点[（n∈N*）]，则[k21+k22+…+k2n=]                。

解析：当[-1≤x≤1]时，[y=f（x）=1-x2]，即[x2+y2=1]，[y≥0]；当[x>1]时，[f（x）=f（x-2）]，函数周期为2，作出函数图象（如图1）。若直线[y=knx]与[f（x）]有[2n]个交点，根据图象可知，直线[y=knx]与第[n+1]个半圆相切，其圆心为[On+1（2n，0）]，不妨设切点为[P]，连接[POn+1]，所以，在[Rt△OPOn+1]中，[tan∠POOn+1=POn+1OP=1（On+1O）2-12=kn]，[kn=1（2n）2-1=14n2-1]，故[k2n=14n2-1=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1]，所以[k21+k22+…+k2n=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=n2n+1]。故答案为[n2n+1]。

评析：本题属于零点问题，数形结合是首选方法。本题涉及的函数正是单侧周期型函数，利用这个特征可以很快地作出函数图象，为问题的解决指明方向。

二、平移型

平移型函数的表达式满足[f（x+T）=f（x）+m]，其图象特征是后一个“类周期”的图象在前一个“类周期”的基础上向上（[m>0]）或向下（[m<0]）平移[m]个单位，函数值的特征是在前一个“类周期”的基础上增加（[m>0]）或减少（[m<0]）[m]个单位。

［例2］（多选题）定义：若存在非零常数[k]，[T]，使得函数[f（x）]满足[f（x+T）=f（x）+k]对定义域内的任意实数[x]恒成立，则称函数[f（x）]为“[k]距周期函数”，其中[T]称为函数的“类周期”。则（        ）。

A.一次函数均为“[k]距周期函数”

B.存在某些二次函数为“[k]距周期函数”

C.若“1距周期函数”[f（x）]的“类周期”为1，且[f（1）=1]，则[f（x）=x]

D.若[g（x）]是周期为2的函数，且函数[f（x）=x+g（x）]在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数[f（x）=x+g（x）]在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]

解析：对于选项A，设一次函数为[f（x）=ax+b]，则[f（x+T）=a（x+T）+b=ax+b+aT=f（x）+aT]，其中[k=aT]，选项A正确；对于选项B，设二次函数为[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，[f（x+T）=a（x+T）2+b（x+T）+c=ax2+（2aT+b）x+aT2+bT+c]，若[f（x）]是“[k]距周期函数”，则[2aT=0]，则[T=0]，不满足新定义，选项B错误；对于选项C，设[f（x）=x，x∈Q，x+2，x∉Q，]则[f（x）]是“1距周期函数”，且“类周期”为1，[f（1）=1]，选项C错误；对于选项D，设[x∈2n，2n+2]，则[x-2n∈0，2]，即[g（x）=g（x-2n）]，则[f（x）=x+g（x）=（x-2n）+g（x-2n）+2n=f（x-2n）+2n∈2n，2n+1]，选项D正确。故选AD。

评析：本题属于新定义型问题，解题的关键是理解新定义，并据此解决问题。新定义的实质是[f（x+T）=f（x）+k]恒成立（[Tk≠0]），因此可转化为恒等式进行分析。

三、纵向伸缩型

纵向伸缩型函数的表达式满足“当[x∈0，T]时，[f（x）=g（x）]；当[x>T]或[x≤0]时，[f（x+T）=kf（x）]（[k>0]，[k≠1]）”。它的图象规律是从左到右，后一个“类周期”图象上的点的纵坐标是前一个“类周期”图象上的对应点的纵坐标的[k]倍。

［例3］函数[f（x）]的定义域为[R]，满足[f（x）=2f（x-1）]，且当[x∈0，1]时，[f（x）=x（1-x）]。若对任意[x∈-∞，m]，都有[f（x）≤1625]，则[m]的最大值是                   。

解析：因为[f（x）=2f（x-1）]，且当[x∈0，1]时，[f（x）=-x-122+14]，[f（x）∈0，14]，当[x∈k，k+1]，[k∈N∗]时，[x-k∈0，1]，则[f（x）=2f（x-1）=22f（x-2）=⋅⋅⋅=2kf（x-k）]，[f（x）=2k（x-k）（1-x+k）=-2kx-2k+122+2k4∈0，2k-2]，当[x∈] [-k，-k+1]，[k∈N∗]时，[x+k∈0，1]，则[f（x）=2-1f（x+1）=2-2f（x+2）=…=2-kfx+k]，[f（x）=2-k（x+k）（1-x-k）=-2-kx+2k-122+12k+2∈][ 0，2-k-2]，作出函数[f（x）]的大致图象（如图2），对任意[x∈-∞，m]，都有[f（x）≤1625]，设[m]的最大值为[t]，则[f（t）=1625]，且[2<m<52]，所以[-22t-522+1=1625]，解得[t=115]或[t=145]（舍去），所以[m]的最大值为[115]。

评析：本题的解题关键是先根据给定条件分段求出解析式及对应函数值的集合，然后依据函数特征（后一个周期的函数值是前一个周期函数值的两倍）作出函数图象，借助函数图象的特点和变化规律求最值问题。

［变式］函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x>0]时，[f（x）=2x-1-1，0<x≤2，12f（x-2），x>2，]则函数[g（x）=xf（x）-1]在[-6，+∞]上的所有零点之和为         。

解析：[∵]函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，[∴f（-x）=-f（x）]。又[∵]函数[g（x）=xf（x）-1]，[∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）-f（x）-1=xf（x）-1=g（x）]，[∴]函数[g（x）]是偶函数，[∴]函数[g（x）]的零点都是以相反数的形式成对出现的，[∴]函数[g（x）]在[-6，6]上所有的零点的和为[0]，[∴]函数[g（x）]在[-6，+∞]上所有的零点的和即函数[g（x）]在[6，+∞]上所有的零点之和，即方程[f（x）=1x]在（6，+∞）上的所有实数解之和。当[0<x≤2]时，[f（x）=2x-1-1]，故有[f（x）=21-x-1，0<x≤1，2x-1-1，1<x≤2，12f（x-2），x>2，] [∴]函数[f（x）]在[0，2]上的值域为[0，1]，当且仅当[x=2]时，[f（x）=1]。又[∵]当[x>2]时，[f（x）=12f（x-2）]，如图3所示，[∴]函数[f（x）]在[2，4]上的值域为[0，12]；函数[f（x）]在[4，6]上的值域为[0，14]；函数[f（x）]在[6，8]上的值域为[0，18]，当且仅当[x=8]时，[f（x）=18]，即方程[f（x）=1x]在[6，8]上有一个实数解[x=8]，即[g（x）=xf（x）-1]有一个零点[x=8]；函数[f（x）]在[8，10]上的值域为[0，116]，当且仅当[x=10]时，[f（x）=116<110]，故[f（x）<1x]在[8，10]上恒成立，[g（x）=xf（x）-1]在[8，10]上无零点，同理[g（x）=xf（x）-1]在[10，12]上无零点，以此类推，函数[g（x）]在（8，+∞）无零点。综上，函数[g（x）=xf（x）-1]在[-6，+∞]上的所有零点之和为8。

评析：本题由已知条件可判断函数[g（x）]为偶函数，其零点必然关于原点对称，故[g（x）]在[-6，6]上所有零点的和为0。求解时，只需找出（6，+∞）上所有的零点之和即可得出答案，而作出“纵向缩短”型函数图象对解题起到了关键作用。

四、全伸缩型

全伸缩型函数的表达式一般满足“当[x∈（1，T]]时，有[f（x）=g（x）]；当[x∈I]时，[f（nx）=kf（x）]（[n>0]，[n≠1]，[k>0]，[k≠1]）”。它的图象规律是从左到右“类周期”成以[n]为公比的等比数列变化，每个“类周期”内的非零最值成以[k]为公比的等比数列变化。

［例4］（多选题）已知函数[f（x）=x-12，x<1，2fx2，x≥1，]则下列说法正确的是（        ）。

A. [f（x）]为增函数

B.方程[f（x）=-x2+1]有两个实根

C. [f（x）<x2]恒成立

D.当[n∈N*]时，[f（2n）=2n-1]

解析：当[1≤x<2]时，[x2∈12，1]，则[f（x）=2x-12=x-1]，当[2≤x<4]时，[x2∈1，2]，[f（x）=212x-1=x-2]，…，可以作出[f（x）]的大致图象（如图4），则[f（x）]在定义域内不是增函数，故选项A错误；利用函数图象可得[y=f（x）]与[y=-x2+1]有两个交点，故选项B正确；在图象中作出[y=12x]，利用函数图象可得[f（x）<x2]在整个定义域内恒成立，故选项C正确；由[f（x）]的零点可知，当[n∈N*]，[f（2n）=0]，故选项D错误。故选BC。

评析：本题的关键在于作出函数图象，根据函数图象分析此“类周期”函数的特性，再作出直线[y=12x]和[y=-x2+1]，利用函数图象的性质即可作出相关判断。

［变式］定义在（0，+∞）上的函数[f（x）]满足：对[∀x∈（0，+∞）]，都有[f（2x）=2f（x）]，当[x∈1，2]时，[f（x）=2-x]，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是           。①对[∀m∈Z]，有[f（2m）=0]；②函数[f（x）]的值域为[0，+∞]；③存在[n∈Z]，使得[f（2n+1）=9]。

解析：因为[f（2m）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2）=0]，所以①正确;因为当[x∈1，2]时，[ f（x）=2-x∈0，1]，当[x∈12，1]时，[f（x）=12（2-2x）∈0，12]，当[x∈12k，12k-1]时，[f（x）=12k（2-2kx）∈0，12k]，当[x∈2k-1，2k]时，[f（x）=2k-12-12k-1x∈0，2k-1]，因此当[k→+∞]时，[2k-1→+∞]，[12k→0]，从而函数[f（x）]的值域为[0，+∞]，所以②正确;因为[9∈（23，24）]，所以由上可得[f（2n+1）=2k-12-2n+12k-1=9]，[k-1≥4]，即[2k-2n=10]，[2k-1-2n-1=5]，所以[2n-1=1]，[2k-1=6]无解，所以③错误。综上，正确结论的序号是①②。

评析：本题属于新定义型问题，解题步骤包括根据定义求[f（2m）]的值、求[f（x）]的值域、解方程[f（2n+1）=9]，并根据计算结果进行选择。本题强调，合理利用有关性质是解决新定义型问题的关键。解题时，要善于从题设条件中的数式发现可利用的性质，并合理利用。

综上，“类周期”函数的研究方法和周期函数相似。“类周期”函数问题注重考查学生的类比分析能力与数形结合思想，以及逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养，是一类值得关注的、区分度极强的常考题型。

（责任编辑    黄春香）