例谈数列求和中的分组求和法

［摘 要］数列求和是数列问题中的重要题型之一。文章结合几个典型例题，探讨分组求和法在数列求和中的运用，旨在提高学生的解题能力，拓展学生的思维。

［关键词］分组求和法；数列求和；等差数列；等比数列

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0023-03

数列求和是数列问题中的重要题型之一。数列求和的方法多样，包括公式法（直接应用等差数列或等比数列的求和公式）、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法和分组求和法等。其中，分组求和法尤为灵活多变。那么，哪些数列适合采用分组求和法进行求和呢？

一、通项可拆分为等差数列或等比数列和（差）的数列

［例1］已知数列[an]满足[a1=2]，[an+1=an+2]；数列[bn]是各项都为正数的等比数列，且满足[b1b3=116]，[b5=132]。（1）求数列[an]，[bn]的通项公式；（2）记[cn=2an-bn]，求数列[cn]的前[n]项和[Tn]。

解析：（1）因为[a1=2]，[an+1=an+2]，所以[an]是以2为首项，公差为2的等差数列，故[an=2n]。

设等比数列[bn]的公比为[q（q>0）]，又[b1b3=116]，[b5=132]，所以[b21q2=116，b1q4=132，]解得[b1=12，q=12]或[b1=12，q=-12]（舍去），所以[bn=12n]。

（2）由（1）可得[cn=2an-bn=4n-12n]，所以[Tn=4-12+8-122+12-123+…+4n-12n][=4+8+12+…+4n-12+122+123+…+12n ][=4+4nn2-121-12n1-12=2n2+2n-1+12n]。

评析：由于[cn=4n-12n]，数列[4n]是等差数列，数列[12n]是等比数列，因此可将原数列的前[n]项分为等差数列部分和等比数列部分，进而求这两部分和的差。

二、通项是分段形式的数列，即奇数项与偶数项的通项不一样的数列

［例2］已知递增的等比数列[an]满足[a3=4]，且[a2，a3，a4-2]成等差数列。（1）求[an]的通项公式；（2）设[bn=2an（n为奇数），12an-1（n为偶数），]求数列[bn]的前[2n]项和。

解析：（1）因为[a2，a3，a4-2]成等差数列，所以[2×4=a1q+a1q3-2]，即[a1q+a1q3=10]，又因为[a1q2=4]，所以[4q+4q=10]，解得[q=2]，[a1=1]，或[q=12]，[a1=16]，因为数列[an]是递增数列，所以[q=2]，[a1=1]，故通项公式为[an=2n-1]，[n∈N]。

（2）由（1）可知，[an=2n-1]，则[bn=2n（n为奇数），2n-2-1（n为偶数），]所以[b1+b2+b3+…+b2n=（b1+b3+b5+…+b2n-1）+（b2+b4+b6+…+b2n）=（21+23+25+…+22n-1）+（20-1+22-1+24-1+…+22n-2-1）=（2+8+32+…+2·4n-1）+（1+4+16+…+4n-1-n）=2×（1-4n）1-4+1×（1-4n）1-4-n=4n-1-n]。

评析：本例（2）由（1）可得[bn=2n（n为奇数），2n-2-1（n为偶数），]则数列[bn]的前[2n]项和可以分为奇数项和与偶数项和两组，分别求和即可。这类问题的求和与例1相似，但需注意项数：求数列[bn]的前[2n]项和时，奇数项与偶数项的项数都是[n]；求前[2n+1]项和时，奇数项比偶数项多一项。

［变式］已知各项均为正数的数列[an]的前[n]项和为[Sn]，[a1=1]，[lgan+lgan+1=lg2n]，[n∈N*]，则[S9=]                     。

解：由[lgan+lgan+1=lg2n]可得[lg（anan+1）=lg2n]，即[anan+1=2n]，所以[an+1an+2=2n+1]，两式相除可得[an+2an=2]，即[a3a1=a5a3=…=a4a2=a6a4=2]，由[a1=1]可得[a2=2]，因此数列[an]的奇数项是以[a1=1]为首项，公比为2的等比数列，偶数项是以[a2=2]为首项，公比为2的等比数列，所以[S9=a1+a2+a3+…+a9=（a1+a3+a5+a7+a9）+（a2+a4+a6+a8）=1×（1-25）1-2+2×（1-24）1-2=61]。

三、通项具有周期性的数列

［例3］意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即[F（1）=F（2）=1]，[F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3，n∈N*）]，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。若此数列被2除后的余数构成一个新数列[an]，则数列[an]的前2023项的和为（        ）。

A. 1348        B. 675         C. 1349        D. 1350

解析：依题意，若[an=0]，等价于[F（n）]为偶数，若[an=1]，等价于[F（n）]为奇数，显然[a1=1]，[a2=1]，[a3=0]，[a4=1]，[a5=1]，[a6=0]，…，猜想：

[an=1，n=3k-2，1，n=3k-1，0，n=3k，][k∈N*]，当[k=1]时，[a1=1]，[a2=1]，[a3=0]成立；假设当[k=m≥1（m∈N*）]时，[a3m-2=1]，[a3m-1=1]，[a3m=0]成立，则[F（3m-2）]，[F（3m-1）]为奇数，[F（3m）]为偶数；当[k=m+1]时，则[F（3m+1）=F（3m-1）+F（3m）]为奇数，[F（3m+2）=F（3m）+F（3m+1）]为奇数，[F（3m+3）=F（3m+1）+F（3m+2）]为偶数，故[a3m+1=1]，[a3m+2=1]，[a3m+3=0]符合猜想，因此[an=1，n=3k-2，1，n=3k-1，0，n=3k，][k∈N*]，[a3k-2+a3k-1+a3k=2]，[k∈N∗]，所以数列[an]的前2023项的和为[674（a1+a2+a3）+a1=674×2+1=1349]。故选C。

评析：本例可由已知条件写出数列[an]的前若干项，而此数列的周期为3，因此可将同一周期内的三项分为一组进行求和。一般来说，周期数列求和可归结为求同一周期内若干项的和，并注意加上尾部剩余项。

四、通项公式或递推关系含有[（-1）n]的数列

［例4］已知数列[an]满足[an+1+2an=6n+5]，且[a1=3]，若[bn=（-1）nan]，则[b1+b2+b3+…+b2024=]                  。

解析：因为[an+1+2an=6n+5]，所以[an+1-2（n+1）-1=-2（an-2n-1）]，又[a1=3]，则[a1-2×1-1=3-2-1=0]，所以[an+1-2（n+1）-1=-2（an-2n-1）=（-2）2an-1-2（n-1）-1=…][=（-2）n（a1-2×1-1）=0]，故[an-2n-1=0]，则[an=2n+1]，所以[bn=（-1）nan=（-1）n（2n+1）]，则[bn]的各项分别为[-3，5，-7，9，-11，13，…]，所以[b1+b2+b3+…+b2024=（-3+5）+（-7+9）+（-11+13）+…+（-4047+4049）=2×1012=2024]。

评析：本题的解题关键在于将递推关系式化为[an+1-2（n+1）-1=-2（an-2n-1）]，从而求得[an]，由于[bn=（-1）n（2n+1）]的相邻两项之和刚好是一个常数（该常数是等差数列[2n+1]的公差），故求和时只需将相邻两项作为一组进行求和。

［例5］已知数列[an]满足[an+（-1）nan+1=1+（-1）nn506]，记数列[an]的前[n]项和为[Sn]，则[S2024=]                   。

解析：因为数列[an]满足[an+（-1）nan+1=1+（-1）nn506]①，当[n=2k（k∈N*）]时，①式化为[a2k+a2k+1=1+2k506]②，当[n=2k-1（k∈N*）]时，①式化为[a2k-1-a2k=1-2k-1506]③，当[n=2k+1（k∈N*）]时，①式化为[a2k+1-a2k+2=1-2k+1506]④，②[+]③可得[a2k+1+a2k-1=2+1506]，②[-]④可得[a2k+a2k+2=4k+1506]，所以[S2024=a1+a2+a3+a4+…+a2023+a2024=] [（a1+a3）+（a2+a4）+（a5+a7）+（a6+a8）+…+][（a2021+a2023）+（a2022+a2024）=（a1+a3）+（a5+a7）+…+][（a2021+a2023） + （a2+a4）+ （a6+a8） +…+ （a2022+a2024）=][2+1506×506+5506+13506+…+4045506=][1013+125506+4045506×506=3038]。故答案为[3038]。

评析：本题的解题关键是推出[a2k+1+a2k-1=2+1506]，[a2k+a2k+2=4k+1506]，然后利用数列的递推式和数列分组（并项）求和法计算。

［变式］已知数列[an]满足[（-1）n+1an+2+（-1）nan=3（-1）n+1（n∈N*）]，若[a1=a2=1]，则[an]的前20项和[S20=]                    。

解析：数列[an]满足[（-1）n+1an+2+（-1）nan=3（-1）n+1]，当[n]为奇数时，[an+2-an=-2]，即数列[a2n-1]是以[a1=1]为首项，公差为-2的等差数列，于是[a2n-1=1+（n-1）·（-2）=-2n+3]，当[n]为偶数时，[-an+2+an=4]，即[an+2-an=-4]，则数列[a2n]是以[a2=1]为首项，公差为[-4]的等差数列，于是[a2n=1+（n-1）·（-4）=-4n+5]，所以[an]的前20项和[S20=1+（-17）2×10+1+（-35）2×10=-250]。

五、通项公式或递推关系含有三角函数的数列

［例6］如图1，阴影正方形的边长为[1]，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第[2]个正方形；再以第[2]个正方形的对角线长为边长，各边均经过第[2]个正方形的顶点，作第[3]个正方形……依此继续。若视阴影正方形为第[1]个正方形，第[n]个正方形的面积记为[an]，则[n=12024cos（nπ）·log2an= ]                   。