例析二次函数四类常见含参问题

［摘 要］二次函数是初中数学的重要知识点，也是中考数学的必考知识点，其中含参问题较为常见且难度较大。文章结合典型试题，对四类常见的二次函数含参问题进行总结分析，旨在提高学生的解题效率。

［关键词］二次函数；含参问题；初中数学

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0026-03

二次函数是初中数学的核心内容，也是中考数学的必考知识点。二次函数中含参问题不仅要求学生理解掌握基础知识，还要求学生具备灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是初中数学考查的重点。本文结合典型试题，对常见的二次函数含参问题进行系统的梳理和探究，以提高学生的解题能力。

一、求参数的取值范围

二次函数含参问题中求参数的取值范围是一类常见且相对基础的问题。这类问题通常涉及二次函数的图象性质，考查学生利用数形结合、分类讨论等数学思想方法解题的能力。常见的命题情境包括根据函数性质，确定参数范围、根据函数图象与坐标轴的交点确定参数范围、根据函数图象与特定直线或点的位置关系确定参数范围。解题时，学生需结合函数图象的基本性质，如开口方向、对称轴、顶点等，对参数的取值范围进行初步判断。比如，已知函数图象与坐标轴的交点，则可根据交点位置、交点个数等条件列出不等式求解参数范围；若已知函数图象与特定直线或点的位置关系，则可通过分析二者间的关系，列出相应的不等式或方程进行求解。

［例1］抛物线[y=-x2+2mx-m2+2]与[y]轴交于点[C]，过点[C]作直线[l]垂直于[y]轴，将抛物线在[y]轴右侧的部分沿直线[l]翻折，其余部分保持不变，组成图形[G]，点[M（m-1，y1）]，[N（m+1，y2）]为图形[G]上两点，若[y1<y2]，则[m]的取值范围是（        ）。

A. [m<-1]或[m>0]                B. [-12<m<12]

C. [0≤m<2]                       D. [-1<m<1]

解析：已知抛物线为[y=-x2+2xm-m2+2]，整理可得[y=-（x-m）2+2]，则顶点坐标为[（m，2）]，所以[M，N]两点关于对称轴[x=m]对称。

当[m≤0]时，如图1，要使[y1<y2]，则存在[m+1>0]，即[-1<m≤0]；

当[m>0]时，如图2，要使得[y1<y2]，则存在[m-1<0]，即[0<m<1]；

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图1                              图2

综上可得[-1<m<1]，故正确答案为[D]。

通过特殊值法求解。令[m=1]，则可得[M（0，1）]，[C（0，1）]，则点[M]的翻折点[N]此时存在[y1=y2=1]，不符合题意，可以排除选项[A]和[C]；当[m=12]时，得[M-12，1]，[C0，74]，此时可得点[N]的坐标为[32，52]，符合题意，可以排除选项[B]，故可得正确答案D。

二、含参二次函数最值问题

在含参二次函数最值问题中，常见的命题情境是给出二次函数解析式及其定义域，求定义域内的最值。由于参数的存在，二次函数的对称轴位置、顶点位置及开口方向是不确定的，从而进一步影响函数的最值。因此，解题时首先要分析含参二次函数的特点，明确参数对函数图象开口方向、对称轴、顶点位置等图象特征的影响。当对称轴方程含参数时，需进行分类讨论，即考虑对称轴在定义域左侧、在定义域中间、在定义域右侧三类情况。

［例2］二次函数[y=x2+bx+b2]，当[x]满足[b≤x≤b+3]时，函数[y]的最小值为[21]，求函数的解析式。

解析：因为[y=x2+bx+b2]，对称轴为直线[x=-b2]，当对称轴在取值范围左侧，即[-b2<b]时，得[b>0]，则[ymin=yx=b=3b2=21]，[b=7]或[b=-7]（舍去）；当对称轴在取值范围内，即[b≤-b2≤b+3]时，得[-2≤b≤0]，则[ymin=yx=-b2=34b2=21]，所以[b=±27]（舍去）；当对称轴在取值范围右侧，即[-b2>b+3]时，得[b<-2]，则[ymin=yx=b+3=3b2+9b+9=21]，所以[b=-4]或[b=1]（舍去）。

综上，[b=-4]或[7]，则二次函数为[y=x2-4x+16]或[y=x2+7x+7]。

三、含参二次函数图象的交点问题

常见的含参二次函数交点问题有抛物线与坐标轴交点问题、抛物线与线段交点问题、抛物线与其他函数图象交点问题等。其中，含参二次函数图象与[x]轴交点问题尤为典型，主要涉及判断交点个数、求交点坐标及参数的取值范围。解题关键在于理解并灵活运用判别式：当[Δ>0]时，二次函数图象与[x]轴有两个交点；当[Δ=0]时，二次函数图象与[x]轴有一个交点；当[Δ<0]时，二次函数图象与[x]轴无交点。具体解题时，将含参二次函数的系数代入判别式[Δ]，得到关于参数的方程或不等式，解之即可得到参数的值或取值范围。需注意的是，二次项系数不能为[0]，且要考虑题目中的限制条件。对于抛物线与线段的交点问题，主要关注交点存在性、交点坐标及符合题意的参数取值范围。在判断交点存在性时，需给定一个含参二次函数和一条线段，求解二次函数图象与线段所在直线的交点，并检验交点是否在线段上。解题步骤为：首先明确线段与二次函数图象相交的条件；然后将二次函数的解析式和线段所在直线的方程联立，解出交点的坐标；最后根据约束条件，确定满足相关条件时参数的取值范围。

［例3］如图3，二次函数[y=x2+bx+c]的图象经过点[A0，-74]，[B1，14]，点[P]为图象上任意一点，横坐标为[m]，过点[P]作[PQ]∥[x]轴，点[Q]的横坐标为[-2m+1]，[P，Q]不重合，且线段[PQ]长度随[m]增大而减小。（1）求[m]的取值范围；（2）当[PQ≤7]时，写出线段[PQ]与二次函数[y=x2+bx+c-2≤x<13]的图象交点个数及对应的[m]的取值范围。

解析：（1）因为[y=x2+bx+c]的图象经过点[A0，-74]，[B1，14]，把[A]，[B]代入函数解析式可得[b=1]，[c=-74]，所以[y=x2+x-74]。

因为线段[PQ]的长度随[m]增大而减小，且[PQ]∥[x]轴，所以当[P]在[Q]点右侧时，[PQ=m-（-2m+1）=3m-1]，[PQ]的长度随[m]增大而增大，不符合题意；当点[Q]在[P]点的右侧时，[PQ=（-2m+1）-m=-3m+1]，[PQ]的长度随[m]增大而减小，同时说明[-2m+1>m]，即[m<13]。

（2）因为[0<PQ≤7]，由（1）可得[0<-3m+1≤7]，所以[-2≤m<13]。若点[P]与[y=x2+x-74-2≤x<13]的图象左侧端点[C-2，14]重合，由图4可知，随着点[P]向右移动，其横坐标[m]变大，[PQ]长度变小，当过点[E13，-4736]时，点[P]和点[E]关于对称轴对称，此时[y=x2+x-74=x+122-2]，对称轴为直线[x=-12]，根据图象的对称性可得此时点[P]的横坐标为[-43]，但因二次函数中[x]的取值范围为[-2≤x<13]，故函数图象不经过点[E]，当[P]的横坐标为[-43]，即[m=-43]时，点[Q]的横坐标为[-2m+1=113]，[113>13]，所以此时点[Q]在点[E]右侧。如图5，当[-2≤m≤-43]时，[PQ]与图象交点个数为[1]。

如图6，在点[P]移至顶点[D-12，-2]之前，线段[PQ]与图象存在两个交点，且关于对称轴对称，所以当[-43<m<-12]时，线段[PQ]与抛物线始终有两个交点。

如图7，当[P]移动至抛物线顶点时，线段[PQ]与抛物线有一个交点，即[PM=12]；点[P]与点[D]重合，此时，线段[PQ]与抛物线有一个交点。

如图8，当[-12≤m<13]时，[PQ]与图象交点个数为1。

综上所述，当[-2≤m≤-43]或[-12≤m<13]时，直线[PQ]与抛物线有一个交点；当[-43<m<-12]时，直线[PQ]与抛物线有两个交点。

四、含参二次函数图象与几何图形问题

含参二次函数图象与几何图形问题的考查常出现在压轴题中，常见的题型包括求解参数值、动态几何问题。解答时，需以坐标系为桥梁，结合二次函数图象与几何图形，通过构造三角形、四边形等辅助解题。首先，根据题目中的几何条件，建立含参二次函数与几何图形的函数关系，运用几何知识辅助。其次，利用二次函数的图象性质（如开口方向、对称轴、顶点）判断函数图象与几何图形的关系。若涉及交点，则联立求解；若涉及最值或参数取值范围，则利用不等式求解。解题过程中，需注意知识点间的联系与转化，化复杂为简单，化未知为已知。

［例4］如图9，抛物线[y=ax2-2ax+a+10]（[a<0]）的顶点为[P]，作[PM⊥x]轴于点[M]，点[C]是线段[PM]上一点，[CD]∥[x]轴，交抛物线于第一象限一点[D]，过线段[CD]的中点[F]，作[EN⊥CD]，交抛物线于点[E]，交[x]轴于点[N]，直线[CN]交[y]轴于点[G]，点[H]在射线[CN]的延长线上。（1）求顶点[P]的坐标；（2）若四边形[CNDE]是菱形，求[PC]∶[CM]的值；（3）当[GC=12CN=13NH]时，若[AN]平分[∠CAH]，求[a]的值。

解析：（1）顶点[P（1，10）]（过程略）。

（2）[PC]∶[CM=4]∶[3]（过程略）。

（3）如图10，过点[H]作[HK⊥x]轴于点[K]，易得[△ACM]∽[△AHK]，[△CMN]∽[△GON]，[△GON]≌[△HKN]，设[D（m，n）]，则[C（1，n）]，所以[CM=n]。

由[GC=12CN=13NH]，易得[G0，3n2]，所以直线[GH]的解析式为[y=-n2x+3n2]，而[HK=OG=3n2]，所以点[H]的纵坐标为[3n2]，代入[y=-n2x+3n2]可得[H6，-3n2]，即[OK=6]，而[△ACM]∽[△AHK]，其相似比为2∶3，所以[AM]∶[AK=2]∶[3]，由[AM=OA+1]，[AK=OA+6]，得[（OA+1）]∶[（OA+6）=2]∶[3]，可得[OA=9]，所以[A（-9，0）]，将[A（-9，0）]代入[y=a（x-1）2+10]，得[a=-110]。

综上所述，本文总结了中考中几类常见的含参二次函数题型。这些题型各有特点，需学生灵活运用二次函数及几何等知识。因此，在日常学习中，学生应掌握分类讨论、数形结合等数学思想方法，以便快速解答问题。

［   参   考   文   献   ］

[1]  刘长松，陈超.中考二轮复习微专题探究：含参数的二次函数中对称轴、区间、函数值之间的关系探究[J].数理化解题研究，2024（2）：20-22.

[2]  陈金峰.二次函数在中考中的常见问题探究[J].中学教学参考，2024（2）：40-42.

[3]  沃忠波，郑颖.二次函数常见题型及解题策略探究[J].中学教学参考，2023（35）：20-23.

[4]  徐恒.含参数的二次函数区间值[J].初中生世界，2023（7/8）：80-81.

（责任编辑    黄春香）