核心素养视角下初中数学中与圆有关的问题解法探析

［摘 要］初中数学中与圆有关的问题蕴含丰富的数学思维和问题解决技巧，对培养学生空间观念、逻辑思维和数学应用能力至关重要。文章以初中数学中与圆有关的问题，探索核心素养视角下的初中数学解题策略，旨在提升学生的解题能力和数学核心素养。

［关键词］核心素养；解题；初中数学；圆

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2025）02-0029-03

随着新课程改革的不断深入，核心素养成为教育的核心目标。数学教学不应仅限于知识传授，应重视培养学生的思维能力和知识应用能力。本文以初中数学中与圆有关的问题，探讨如何通过问题及解法分析实现学科核心素养的培养。本文聚焦最短路线问题、直线与圆的位置关系问题、点与圆的位置关系问题以及边心距问题，揭示问题解决中核心素养的体现，为初中数学教学提供新的视角和方法。

一、最短路线问题

[例1]如图1所示，[⊙O]的半径为1，[MN]为[⊙O]的直径。点[A]位于[⊙O]上，且[∠AMN=30°]，点[B]为劣弧[AN]的中点。在直径[MN]上取动点[P]，[PA+PB]的最小值为                      。

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图1

分析：本题要求学生利用圆的对称性质，通过轴对称来确定[A]和[B]之间的最短路径。其中，点[B]是劣弧[AN]的中点，这一特殊位置引发了关于等腰三角形和直角三角形的讨论。解题时，首先构建点[B]关于直径[MN]的对称点[B']，并利用“圆周角是圆心角的一半”的性质，分析三角形[AOB']的特性。在此基础上，引入点[P]，结合对称性和直径的性质推导出：当点[P]落在[AB′]与直径[MN]的交点时，[PA+PB]的和有最小值。

解：如图2所示，作点[B]关于直径[MN]的对称点[B']，连接[OA]，[OB]，[OB′]，[AB′]，由轴对称性质可知[AB']即为[PA+PB]的最小值。

∵点[A]位于[⊙O]上，[∠AMN=30°]，

∴圆心角[∠AON=2∠AMN=60°]。

∵点[B]为劣弧[AN]的中点，

∴圆心角[∠BON=12∠AON=30°]。

∵点[B']是点[B]关于直径[MN]的对称点，

∴[∠B'ON=∠BON=30°]。

∵[∠AOB'=∠AON+∠B'ON=60°+30°=90°]，

∴△[AOB']是等腰直角三角形。

∵在等腰直角三角形[AOB']中，[AB']是斜边，[OA]和[OB']是两腰，

∴[AB'=2OA=2×1=2]。

∵[AB']与[MN]的交点即为[PA+PB]值最小的点，

∴[PA+PB]的最小值为[AB'=2]。

评析：本题依托圆的基本属性和对称性原理，旨在提升学生的空间思维和逻辑推理素养。从核心素养视角出发，本题强调数学思维的系统性和创造性，要求学生构造点[B]的对称点[B']，探讨由此形成的几何图形，并通过实际操作验证等腰直角三角形的性质。同时，融入动态思维训练，通过动点[P]的位置变化探索解题的最优策略。本题综合考查学生的几何直观、逻辑推理等核心素养及数学表达能力，解决此类问题有助于学生准确使用数学语言，增强解决实际问题的能力[1]。在教学过程中，教师应引导学生深入理解问题背后的数学原理和思想，思考对称性如何简化问题以及几何直观如何助力解题[2]。

二、直线与圆的位置关系问题

[例2]如图3所示，在Rt△[ABC]中，[∠C=90°]，[BE]为[∠ABC]的平分线，并交[AC]于点[E]。点[D]位于[AB]边上，[DE⊥BE]。请判断直线[AC]与[△DBE]外接圆的位置关系，并说明理由。

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图3

分析：本题主要考查几何图形的切线特性及角平分线性质。解题时，首先分析三角形特性，并基于[BE]是[∠ABC]的平分线推导出相关性质；接着，利用直角性质以及[DE]与[BE]的垂直关系，推出角度关系；最后，结合勾股定理和三角形的外接圆性质，证明在某些条件下[AC]为切线，从而完成解答。本题核心在于应用直角三角形的基本性质及角平分线的性质，结合外接圆和切线的定义进行判断和证明。

解：直线[AC]与[△DBE]外接圆相切。理由：∵[DE⊥BE]，∴[BD]为[△DBE]外接圆的直径，取[BD]的中点[O]（即[△DBE]外接圆的圆心），连接[OE]，如图4所示。

∵[OE=OB]，

∴[∠OEB=∠OBE]，

∵[BE]平分[∠ABC]，

∴[∠OBE=∠CBE]，

∴[∠OEB=∠CBE]，

∵[∠CBE+∠CEB=90°]，

∴[∠OEB+∠CEB=90°]，即[OE⊥AC]，

∴直线[AC]与[△DBE]外接圆相切。

评析：本题为典型几何题，综合考查直角三角形性质、角平分线性质及圆的切线定义与性质。题目在直角三角形的基础上，引入角平分线和垂直线段，要求学生深刻理解并准确应用这些几何概念，通过分析[BE]角平分线和[DE⊥BE]，识别这些线段之间的关系，构造外接圆的圆心，理解切线的性质。题目在考查学生几何图形分析能力的同时，还考查学生将理论知识应用到具体问题中的能力。解题的关键在于判断[BD]为外接圆直径、[AC]为外接圆的切线，这需要熟练运用圆的性质和勾股定理，展示良好的几何思维和严谨的逻辑推理能力[3]。

三、点与圆的位置关系问题

[例3]已知点[P]到[⊙O]上的点的最大距离为6 cm，最小距离为2 cm，则该圆的半径[r]为            。

分析：通过分析点[P]到圆心[O]的最大距离和最小距离可推断点[P]不在[⊙O]上。判断点[P]是在[⊙O]的内部还是外部，需比较圆心到点[P]的距离与圆的半径大小：若圆心到点[P]的距离小于半径，则点[P]在圆内；若大于半径，则点[P]在圆外。解题时需利用圆的定义和性质，结合点到圆的距离关系，明确圆心到圆周上任意点的距离等于圆的半径，以及点到圆的最短距离和最长距离的几何意义，建立点[P]到圆心[O]的距离与圆的半径之间的关系。

解：（1）考虑点[P]在[⊙O]内的情形，如图5所示。

设[PA]和[PB]分别是点[P]到[⊙O]上的最大距离和最小距离，即[PA=6]，[PB=2]，∴[PA+PB=AB=6+2=8]，∵[AB]为直径，∴[⊙O]的半径[r=12AB=12×8=4]，故当点[P]在[⊙O]内部时，[⊙O]的半径[r]为4。

（2）考虑点[P]在[⊙O]外的情形，如图6所示。

设[PA]为点[P]到圆上的最小距离，[PB]为点[P]到圆上的最大距离，即[PA=2]，[PB=6]，

∴[AB=PB-PA=6-2=4]，

∵[AB]是通过圆心[O]的割线段中，圆外点到圆上点的长度差，即[⊙O]的直径，∴[⊙O]的半径[r=12AB=12×4=2]，故当点[P]在[⊙O]外部时，[⊙O]的半径[r]为2。

评析：本题是经典的点与圆位置关系问题，通过考查点到圆上点的最大距离和最小距离来推断圆的半径。此题既考查学生对圆的基本性质的理解，又考查学生的逻辑推理能力和空间想象力[4]。学生需探讨点在圆内和圆外两种情形，这种对比分析能加深学生对圆的几何性质的理解，帮助学生更好地掌握点与圆的位置关系，进而培养学生的空间感知能力和解决复杂几何问题的能力[5]。

四、边心距问题

[例4]如图7所示，已知Rt[△ABC]中，[∠C]是直角。点[D]位于[AB]边上，以[BD]为直径画半圆，圆心为[O]，该半圆与[AC]边恰好相切于点[E]。作[OF⊥BC]，垂足为点[F]。

（1）证明：[OF=EC]；

（2）若[∠A=30°]，[BD=2]，求[AD]的长。

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图7

分析：本题主要考查学生对于边心距概念、圆的切线性质以及三角形的基本几何性质的理解和应用。在解题过程中，学生需运用圆的半径和切线性质，结合直角三角形及特殊角的知识，计算相关线段长度。

解：（1）如图8所示，连接[OE]，

∵[AC]是切线，且与半圆[O]相切于点[E]，

∴[OE⊥AC]，

∵[OF⊥BC]且[∠C=90°]，

∴[∠OEC=∠OFC=∠C=90°]，

故四边形[OFCE]是矩形，

∴[OF=EC]。

（2）∵[BD]为直径，且[BD=2]，

∴圆O的半径[OE=12BD=1]，

∵[∠A=30°]，且[OE⊥AC]，

∴在Rt[△AOE]中，[AO]为斜边，长度为[OE]的两倍，即[AO=2OE=2]，∴[AD=AO-DO=2-1=1]。

评析：本题测试学生对基本几何概念的掌握及综合应用能力。第一问要求学生证明[OF=EC]，利用切线与切点处半径垂直的性质，构建矩形简洁证明，既考查学生对圆的基本性质的掌握，又考查学生几何证明的逻辑性和准确性。第二问结合[∠A=30°]的特殊性，利用直角三角形中的三角函数知识，通过圆的直径求解线段[AD]的长度，此过程有助于促进学生数学核心素养的发展。

综上所述，本文深入分析了最短路线问题、直线与圆的位置关系问题、点与圆的位置问题以及边心距问题等的解题要点，明确了数学教学中核心素养的发展路径。教师应积极探索核心素养导向下的数学解题技巧，形成系统的解题教学方法，同时加强自身的教学能力水平，以提升教学效果和学生的学习效果。

［   参   考   文   献   ］

[1]  伍春兰，丁明怡，葛晓红.数学定理教学的“转识成智”：以初中“垂径定理”起始课为例[J].数学通报，2022（9）：32-36，40.

[2]  王进敬，余庆纯.数学文化视角下“圆的周长”探究式教学[J].数学通报，2023（1）：19-22.

[3]  丁福军.学习机会视角下我国数学教材中的情境任务分析：以初中“圆的性质”为例[J].上海教育科研，2020（1）：74-78，43.

[4]  陶家友.关联调用核心知识   理性构建基本图形：一道尺规作图题的解法探究赏析及教学价值导向[J].数学通报，2022，61（3）：41-46.

[5]  赵思林，崔静静.中学数学建模的问题及其解决[J].教学与管理（中学版），2019（1）：45-47.

（责任编辑    黄春香）