高品质数学教学的几个关键特征

［摘 要］以核心素养为导向的课堂需要由“聚焦质量”向“锤炼品质”转型，高品质数学教学应凸显教学活动的双主体性、学习情境的真实性、教学方式的对话性、教学评价的动态性等关键特征。

［关键词］高品质数学教学；双主体性；真实性；对话性；动态性

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）17-0013-04

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养[1]。如今，数学教育强调学生的素养提升和全面发展。在核心素养成为新课改的核心后，我们应清醒地认识到，一味追求升学成绩的数学教学，已不符合新课改和学生发展的要求。这就需要我们重新审视数学教学的内在价值，深度思考核心素养下所需要的数学教学。

史宁中教授提出，数学核心素养的本质是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界[2]。数学教学应注重培养学生的“三会”思维品质。以核心素养为导向的课堂需要由“聚焦质量”向“锤炼品质”转型，课堂教学品质的提升应当成为课堂教学深度变革的主动追求。

高品质的数学教学，从教的视角看主要是指教师的教学要有启迪性、灵动性、针对性和创造性，从学的视角看主要是指学生的学习要有独立性、主动性、探索性和发展性。综合来讲，高品质的数学教学应具有以下四个关键特征。

一、教学活动的双主体性

早期的数学教学以教师为中心，后来发展为以学生为主体，教师为主导。但教学中学生显然没有占据如此重要的地位，相较于学生，教师数学知识更为丰富，更有引领能力，将教师定位为主导者又回到了“以教师为中心”的老路上。其实，教师是学习共同体中的一员，也是学习者，他能在师生互动中发现教学契机，主动调节教学方案，以顺应学生现场学习的需求；他也可以将由学生激发的教学灵感放入教学现场，激发学生的学习热情和求知欲望。这些都是教师主体性的有力体现。高品质数学教学的活动应具有双主体性。教学活动的双主体性有以下三个明显特征：

（一）坚持以学定教

以往以教材、教学案、教师经验定教其实都没有关注学生未来的发展，学生的主体地位并没有得到尊重。

沪教版（2020年版）高中数学必修第一册“1.1集合初步”第3课时“集合之间的关系”的例7第（2）小题“确定下列每组中两个集合之间的关系：（2）[C=nn=3k+1，k∈N]，[D=nn=3m-2，m∈N]。

教材解法：因为当[k∈N]时，[C]中的元素[n=3k+1=3（k+1）-2]必定属于D，所以[C⊆D]。又因为[-2∈D]，而[-2∉C]，所以[C⊂D]。

对于上述例7中[C=nn=3k+1，k∈N]，[D=nn=3m-2，m∈N]两个集合的认知，学生以列举为主，没有教材那么强的理性思维。“以教定教”的教师只会忙着进行知识灌输和方法传授，而“以学定教”的教师则“心中有人”，会尊重事实，根据学生的认知水平，现场设计一个过渡环节：由列举感受到集合元素的关系，再从整体上认识元素的共性特征，最后再形式化证明，甚至会用变式来巩固学生习得的方法。通过增加过渡环节，不仅促进了学生的深度学习，还教会学生从结论去完善过程，培育学生的数学抽象素养和逻辑推理素养，更体现了从特殊到一般、从粗糙到精致的理性追求。“以学定教”要求教师充分发挥自身的主体作用，做好学生的学习前测和访谈，处处留心观察，主动考虑学生的现实状况，将“教什么”“怎么教”完全建立在学情现状上。在教学中，教师应针对学生出现的问题或者课堂的即时生成，灵活调整教学方案，将教与学有效协调，顺应学生的学习需求，教会学生数学学习的思想和方法。

（二）保证学做结合

教、学、评一致是核心素养培育的基本要求，具体体现为教师主动教，学生自觉学，评价互动一致，师生相互促进。学什么就做什么，学做应相结合。教师可以用教材中的例题和习题的变式或者让学生编题来评价学生所学知识的达成度。如沪教版（2020年版）高中数学必修第一册第61页B组练习3：设[a、b∈R]，已知关于[x]的不等式[（a+b）x+（b-2a）<0]的解集为[（1，+∞）]，求不等式[（a-b）x+3b-a>0]的解集。这道题考查解一次不等式[ax>b]的两个关键点：一是最高次项的系数对解集的影响，二是不等式解集与方程解的关系，体现了数学抽象素养和逻辑推理素养的培育。直接巩固型变式：“设[a、b∈R]，已知关于[x]的不等式[（a+b）x+（b+2a）<0]的解集为[（1，+∞）]，求不等式[（2a-3b）x+3b-2a>0]的解集。”全面理解型变式：“设[a、b∈R]，已知关于[x]的不等式[（a+b）x+（b-2）<0]的解集为空集，求不等式[（a-b）x+3b-a>0]的解集。”深入理解型变式：“设[a、b∈R]，已知关于[x]的不等式[（a+b）x+（b-2a）<0]的解集是[（1，+∞）]的子集，求不等式[（a-b）x+3b-a>0]的解集。”拓展理解型变式：“设[a、b∈R]，已知关于[x]的不等式[ax2+bx+c<0]的解集为[（1，+∞）]的子集，分析[a、b、c]应该满足的条件。”通过这些变式训练，教师可以了解学生对于该知识处于何种核心素养水平。在教学中，教师不要随意降低难度，没有思维含量的问题只会削弱学生的学习激情；也不要过分拔高，用远超学生认知水平的标准去评价学生，那样学生收获的将是满满的挫败感，从而丧失学习热情，最后对学习了无兴致。数学学习过程就是习得的数学理论和数学习题的解题训练相统一的过程。学做结合，重点是“做”，本质在“合”。“做”需以“学”为基，“学”要用“做”来验，互补互生，辩证统一。

（三）关注知识生成

课标倡导探究性学习和研究性学习，突出“学”的主动性，这自然就会带来学的“生成性”和教的“现场性”。这就需要教师有开放的姿态、丰富的知识和广阔的视界。以教为主的课堂，更倾向于做好、做足课前预设，找好教学切入点，但是教师找到的教学切入点一定是最佳的吗？从教者的角度看，这个教学切入点可能是最经济的，但从初学者的角度看，却有可能是脱离数学学习实际的。教师设计的一系列问题可能便于梳理知识、形成解题思路，但这些问题是不是学生学习时产生的真问题？对学生数学思维的发展是否真有帮助？教师教学中更应关注学生在数学学习中的原始体验，关注学生有没有自己的猜想和发现，有没有疑惑，以及在听讲的过程中有什么样的联想和感悟[3]。以学为主的课堂，注重充分发挥学生的主体作用，能引导学生积极开展深度学习。在教学中，教师能结合学习现场，抓住教学契机，促进教学生成，以更贴合学生实践需求的教学方法，调动学生学习的主动性与积极性，促进学生的数学学科核心素养向有利的方向发展，更有效地提升数学教学品质，使数学课堂教学更有活力、更具魅力。

二、学习情境的真实性

教育家苏霍姆林斯基说：“用环境、用学生自己创造的周围情景、用丰富集体精神生活的一切东西进行教育，这是教育过程中最微妙的领域之一。”[4]所有数学知识都有特定的时空、数学体系和语言符号等生存环境。真实、富有意义的数学学习活动情境是数学学科核心素养培育、发展的重要载体。真实的学习情境可以激发兴趣、启迪思维、升华理解，是提升数学教学品质极为重要的因素。

学习情境的真实性，一是体现在贴近日常生活，让学生产生亲切感和有参与的契机上。例如，教学“集合”时，由于师生还不太熟悉，在学生起立后，笔者进行了很生活化的问好：“女生请坐，较高的男生请坐。”以此引入新课，学生对集合的学习兴趣一下子被激发了出来，他们对确定性也有了深刻的理解。二是体现在植根于学生已有的学习经验上。例如，在教学“直线方程”时，笔者设计一个开放性问题：“要确定一条直线，你能有哪些途径？”学生最熟悉的是“两点确定一条直线”，所以首先用初中[y=kx+b]待定系数法处理；然后有“一点和一个方向”，从方向出发，形成方向向量、法向量、倾斜角、斜率；最后有点方向式、点法向式、点斜式、斜截式。这样的处理贴近学生的已有经验，又突出了知识的整体性，有利于培育学生的数学抽象素养和一般数学观念。三是体现在关注学生的学习情感上。满足学生的学习需求，能激发学生的好奇心和好胜心，这种需求可以是数学学习中遇到的，也可以是生活中出现的。我们学校有“重走红色路”“亲情再相逢”等假期社会实践活动，笔者结合这些实践活动引导学生设计出行路线，考虑性价比、交通便捷、景点（会客）数等，这里既涉及排列组合又涉及最优化，有效调动了学生的学习积极性，发挥了学生的创造性，使学生体验到了数学的强大应用价值，获得了数学学习的愉悦感。四是体现在“真实性”和“有数学”上。也就是说，情境创设一定要有数学问题蕴藏其中，要有明确的数学学习任务，问题和任务的设计要新颖、生动、有效、有趣，这样才能引发学生思考与激发学生的学习欲望。

三、教学方式的对话性

数学教学的对话性品质体现在师生借助有意义的问题进行交流，不断思考、探究和解决问题，让学生在交流、讨论中产生思维碰撞，在解决问题的过程中学会知识、掌握技能、感悟思想方法。即时对话能反映学生知识和思维的现状，是学生参与教学活动、主动思考的表现[5]。民主、平等、理解、宽容是开展对话教学的关键。

（一）转变教学观念是对话的基础

转变教学观念是对话的基础。首先，教师要放下威严，以学习者的姿态接近学生，营造一个平等交流的环境。其次，教师要当好组织者和引导者，发挥“穿针引线”的作用。最后，教师要当好学习者和参与者，面对知识要和学生一样充满好奇。如此，学生在对话时才敢畅所欲言，思维方能灵动，智慧才会喷涌。这样，对话才能成为心灵的沟通和思想的呼应。

（二）设计好主问题是对话的关键

对话教学需要提供教学所需的共同话题，因此教师必须设计好主问题。“主问题”是教学中立意高远的统领性问题，具有“以一当十”的作用。例如，在教学“向量的数量积”时，笔者设计这样的主问题：数量积概念中涉及哪些量？你能挖掘出新的变形结论吗？学生在主问题的带动下，自觉探究出：[cos<a]，[b>=a·bab]；[ab=a·bcos<a，b>]；当[a]与[b]同向时，[a·b=ab]；当[a]与[b]反向时，[a·b=-ab]；当[a]与[b]垂直时，[a·b=0]；[-ab≤a·b≤ab]；[acos<a]，[b>=a·bb]；[bcos<a]，[b>=a·ba]；[a=abcos<a，b>b]。这个主问题“引爆”了学生的思维，使学生的学习向纵深发展。这里，学生生成了新的理解[a=abcos<a，b>b]，这一理解虽然是错误的，但反映了学生的现实情况。通过讨论，学生首先发现左右两边式子是不等的，进一步发现没有向量的除法运算，再进一步发现将向量数量积[a·b]类比成[ab]的错误根源，但它和[acos<a]，[b>=a·bb]都是引出投影概念的好素材。可以看出，主问题的设计能有效解决课堂教学中提问过多、过细、过浅的问题，起到较好的引领和支撑作用。当主问题的功能没有得到充分发挥时，教师可以辅以子问题进行追问，进一步完善对问题的理解。比如针对上述问题，笔者提问：“同学们，你们从角度关系上提出许多好结论，非常好！你们还能从向量关系的特殊化上提出新的结论吗？”当教师突出“角”的要素时，学生就想到了“边”的要素，有的学生取[a]为单位向量[e]，得到了[e·b=bcos<a]，[e>]，它很好地揭示了[b]在[a]上的投影就是[b]与[a]同向的单位向量的数量积；再特殊处理，取[b=a]，就有[a2=a2]。子问题要注意围绕主问题设计，应是主问题的深化和延展。通过设计主问题和子问题引导学生主动学习，让学生在思考、解决问题的过程中学会选择研究数学、思考数学问题的视角。