一堂高三试卷评讲课的教学片段与反思

［摘 要］高考数学注重核心素养的考查，尤其是在压轴题的设置上，更能体现出对学生核心素养的考查。压轴题是培养学生数学学科核心素养的好素材。怎样结合压轴题培养学生的数学学科核心素养，是每一个高三数学教师思考的问题。文章通过展示一堂高三试卷评讲课“周考试卷评讲课——如何突破压轴题”的教学片段与反思，为高三数学教师利用压轴题培养学生的数学学科核心素养提供参考。

［关键词］高三；试卷评讲课；教学片段；反思

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）17-0021-04

在“三新”背景下，对学生数学学科核心素养的要求越来越高。数学学科核心素养的培养应该贯穿整个高中数学教学。高考是国家为选拔优秀人才而设置的考试，高考数学注重核心素养的考查，尤其是在压轴题的设置上，更能体现出对学生核心素养的考查。压轴题是培养学生数学学科核心素养的好素材。怎样结合压轴题培养学生的数学学科核心素养，是每一个高三数学教师应深入思考的问题。

笔者在观摩了以“周考试卷评讲课——如何突破压轴题”为主题的高三试卷评讲课后，深受启发，现对此课的教学片段进行展示说明。

［教学片段］

一、试卷展示

师：考试是与两类人对话，一类是命题老师，另一类是阅卷老师。在审题时，我们要揣摩命题老师的命题意图；在答题时，我们要“取悦”阅卷老师。那怎样才能做到“取悦”阅卷老师呢？首先要解答正确，其次要卷面整洁、书写规范。接下来，请同学们欣赏三类试卷。

教师用PPT展示三类试卷：

第一类试卷：书写规范，卷面整洁，没有一点涂改痕迹，得分高。

第二类试卷：卷面糟糕，涂画严重，书写很乱，得分低。

第三类：卷面比较整洁，但是个别书写不注意。比如把4写得像[φ]；[2]中的根号不出头；把[45，63]写成[63，45]。

师：对于上述三类试卷，你们有什么感受？

生A：干净整洁的试卷让人赏心悦目，卷面糟糕的试卷，让人很难受，以后我在答题时要严格要求自己，把卷面写得规范整洁。

师：很好。我们要向优秀学习，让自己变得更加优秀。

二、试卷整体评价

三、答题情况统计

1.成绩分析

高分秘诀1：少犯错误。

高分秘诀2：基础题、中档题拿满分，难题争取步骤分。

2.试卷情况分析（统计人数73人）

[题号 出错人数 题号 出错人数 题号 出错人数 1 6 7 3 13 2 2 0 8 7 14 12 3 1 9 14 15 25 4 2 10 24 16 65 5 7 11 16 6 1 12 58 ]

提示：基础不牢，地动山摇。

3.错因分析

审题之错：由于审题出现失误，看漏条件、看错条件或看错数字等而出错。如第16题锐角三角形这一条件没看到，导致角的范围没取好。

计算之错：由于喜欢口算或心算，不愿意在草稿纸上一步一步地计算而出错。如第20题第（1）问求轨迹方程，结果出错。

抄写之错：由于书写不工整，上面写的字，下面换行时抄错；在草稿纸上写对了，往试卷上誊抄时错了，甚至是选择题涂答案时涂错了。

表达之错：解答题在下结论时没有严格按要求写而出错。如求最小值，有些考生在求出范围后不写最小值；立体几何中找点的位置，有的考生写一个坐标，没有指出具体位置。

“不够严谨”之错：在对参数进行分类讨论时不严密、不完整；忘记“解析几何中直线方程斜率不存在”这一结论。如第21题第（1）问对[a]的讨论不完整，忽略[a=0]。

“不会做”之错：由于存在知识漏洞或新定义理解不到位，而无从下手。

4.学习重点

个人自救：2，3，4，5，6，13，14，18，19。

小组互助：10，11，15。

重点讲解：12，16， 21。

四、错题分析及纠正

本套试卷的第12、16、21题分别为选择题、填空题和解答题的压轴题，学生得分非常低，尤其是第16题，全班几乎“全军覆没”。这样的压轴题到底该怎么讲？是让学生再做一遍，还是教师直接讲解？如果再给学生做，他们会不会还是做不出来，从而浪费时间？如果教师直接讲解，学生会不会被动地听，达不到预期的教学效果？“授人以鱼，不如授人以渔。”教师可以采用启发式教学，教学生如何入题、破题，从而达到解题的目的。

A. [-π4，π4] B. [-π2，π4]

C. [-π4，π2] D. [0，π4]

师：题目中设计的[y=sin（ωx+φ）]与[y=cos（ωx+φ）]两个函数的相位和初相是相同的，请问在三角函数变换的过程中[φ]和[ω]起什么作用？

生B：[ω]影响函数的周期，与伸缩变换有关，可控制图象的形状；[φ]与平移变换有关，会影响图象的位置。

师：很好。既然[φ]只与平移变换有关，不影响图象的形状，那么我们可以先看[y=sinωx]和[y=cosωx]的图象。大家最熟悉的是[y=sinx]和[y=cosx]，不妨先看它们的图象。（画[y=sinx]和[y=cosx]的图象）

师：以上交点的坐标是多少？

生C：[π4，22]，[5π4，-22]，[9π4，22] …

师：将[y=sinx]和[y=cosx]改为[y=sinωx]和[y=cosωx]，则图象的交点是多少？结合题意，你还能观察出什么？

生D：交点为[π4ω，22]，[5π4ω，-22]，[9π4ω，22]…，这个三角形为等腰直角三角形，斜边上的高为[2]，即为斜边的一半，所以斜边是[22]，即周期为[22]。

师：非常好。算出了周期，再观察一下图形，那三个交点的坐标是多少？

生E：周期是[22]，所以[ω=π2]，于是交点为[24，22]，[524，-22]，[924，22]。

师：现在可以开始平移了，此时 [y=sin（ωx+φ）=sinπ2x+2πφ]，请问根据题意，向左或向右最多能平移几个单位？

生F：向左或向右最多能平移[24]个单位。

师：为什么？

生F：因为[-π2<φ<π2]，所以[-22<2πφ<22]，为了保证在[x∈0，522]内有三个点，向左或向右最多能平移[24]个单位。

师：很好。现在[φ]所满足的关系式是什么？

生F：[-24<2πφ<24]。

师：很好。答案就是A。

总结与反思：解答这类压轴题，我们要挖掘变量的本质，一步一步地“退”，退到不能再“退”，这样变量的本质就出来了。三角函数的图象与变量的关系要清楚；要横看周期，竖看振幅，特殊点看初相。

师：给大家两分钟将此题整理一下，同时再做一下下面的补漏练习。

补漏练习：已知[ω>0]，顺次连接函数[y=sinωx]与[y=cosωx]的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则[ω=]（ ）。

A. [π] B. [6π2] C. [4π3] D. [3π]

师：答案是多少？

生G：B。

［案例2］（第五次周考第16题）锐角[△ABC]中，[a、b、c]为角[A、B、C]所对的边，点[G]为[△ABC]的重心，若[AG⊥BG]，则[cosC]的取值范围为             。

师：题目中的哪几个条件比较关键？

生H：锐角、重心和垂直。

师：很好。怎么解读这三个条件？

生H：看到锐角，我会想到三个内角都是锐角，或三条边中任何两边的平方和大于第三边。看到重心，我会想到重心的性质：（1）重心是三条中线的交点，并把中线分成2比1；（2）重心的坐标是三角形顶点坐标和的三分之一；（3）向量[GA]、[GB]、[GC]的和为零向量。看到垂直，我会想到勾股定理。

师：非常好。根据生H的分析，大家再看看能否解答该题？

生H：延长[AG]、[BG]分别交[BC]、[AC]于[E]、[D]（如图3），设[GE=x]，[DG=y]，则[c2=4x2+4y2]，[b24=4x2+y2]，[a24=x2+4y2]，所以[5c2=a2+b2]，又[cosC=a2+b2-c22ab=25ba+ab]，又[c2+a2>b2]，[c2+b2>a2]，所以[23<b2a2<32]，由双勾函数的图象可知[cosC∈45，63]。

师：很好。按照刚才的条件转化，很快就可以解决问题。

生I：连接[CG]并延长[CG]交[AB]于点[F]，在找三边关系式时，根据题意可知[CF=32c]，在△[AFC]中[b2=c24+9c24-2×c2×c4cos∠AFC]，在△[BFC]中[a2=c24+9c24-2×c2×c4cos（π-∠AFC）]，两式相加得[5c2=a2+b2]，下面的同上。

师：能发现[CF=32c]，再利用两次余弦定理，非常好。

生J：对[CF=12]（[CA+CB]）两边平方，再用一次余弦定理，就可以得到[5c2=a2+b2]。

生H：平行四边形的对角线平方和等于四条边的平方和，或者根据中线长定理，很容易得到[5c2=a2+b2]。

学生踊跃发言，但都是围绕[5c2=a2+b2]进行讨论，难道就没有别的办法了吗？垂直就不能转化成别的了吗？这时，学习委员（生K）站起来发言了。

生K：我的方法跟他们都不一样。因为[AG⊥BG]，所以我想到的是点[G]的轨迹是以[AB]为直径的圆。取[AB]的中点为[O]，则[OC=3OG=32AB]，所以点[C]在以[O]为圆心，[32AB]为半径的圆上。为了保证△[ABC]为锐角三角形，则点[C]只能在[DE]上或对称的下方（如图4），由对称性可知，当点[C]在[D]或[E]时，角[C]最小；当点[C]在[F]时，角[C]最大。根据等量关系可以求出[cosC∈45，63]。

师：非常好。生K跳出了三角形，借助圆得到了答案，为他点赞。你能证明你所求的取值范围的正确性吗？

生K：可采用坐标法，以[O]为原点，[AB]所在直线为[x]轴，建立直角坐标系，设[AB=2]，则[C]的轨迹为 [x2+y2=9（-1<x<1）]，[cosC=CA·CB2CACB=425-x2∈45，63]。

生A：以[GA]、[GB]分别为[x]轴和[y]轴建立直角坐标系，设[A（m，0）][，B（0，n）]，则[C]为（-m，-n），[cosC=CA·CB2CACB]可以表示成[m]、[n]的函数。再利用三个内角都是锐角，等价于向量的数量积大于0，求出[m]、[n]满足的不等式，进而求出范围。

师：很棒！建立直角坐标系遵循对称和垂直的原则，生A做得非常好，希望大家再动手算算。

总结与反思：该类压轴题条件繁多，要逐个击破，任何一个单一的条件大家都理解，但是放在一起也要能整合信息，达到解题的目的。三角形与向量是一个很好的结合点，能够很好地考查学生的数学学科核心素养。