聚焦核心素养 发展数学思维 提升关键能力

［摘 要］在核心素养导向下，中考数学对学生综合能力的考查力度不断加大，“综合与实践”题逐渐成为新课程改革背景下中考数学命题的新趋势。但学生在解答这类试题时面临诸多挑战，教师在进行解题教学时也遇到了困难。文章以一道“综合与实践”题为例，从解题方法和核心素养两个维度对此类试题进行分析与思考，为“综合与实践”题的研究提供参考，并提出初中数学教学应关注学生数学核心素养的提升、数学思维的发展以及体现“教—学—评”一致性的建议。

［关键词］“综合与实践”题；核心素养；数学思维；解法探究；教学启示

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）23-0001-05

在核心素养的引领下，初中数学学业水平考试（全文简称“中考”）中“综合与实践”题应运而生，成为中考的一道亮丽风景线。“综合与实践”题大致可分为实践操作型、思想方法学习型和新概念定义型三大类，其背景与学生的日常生活、社会实际和跨学科知识紧密联系，强调在解题过程中对学生的思维进行训练，要求学生能够综合运用数学知识解决问题。“综合与实践”题通过设计开放性问题，引导学生积极探索和创新，旨在发展学生的数学思维、提升学生的数学核心素养和综合能力。

在解答“综合与实践”题时，学生面临诸多挑战，如题意复杂难以读懂、缺乏创新思维、缺少实际操作经验、数学语言表达困难等。这些挑战迫切要求教师对教学策略进行调整，给予学生正确引导，促进学生综合能力的提升。本文对一道思想方法学习型“综合与实践”题的解法进行探究，为教师提供教学参考。

一、试题呈现与分析（评）

（一）试题呈现

（2021—2022学年湖南省岳阳经济开发区七年级上学期期末数学试题改编）

（1）【特例感知】如图1，已知线段[MN=30 ][cm]，[AB=2 ][cm]，[C]、[D]分别是[AM]、[BN]的中点。若[AM=12] [cm]，则[CD=]                     。

（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知[∠AOB]在[∠MON]内部转动，射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]。

①若[∠MON=150°]，[∠ΑΟΒ=30°]，求[∠COD]的度数；

②请你猜想[∠AOB]，[∠COD]和[∠MON]三个角有怎样的数量关系，并说明理由。

（3）【类比探究】如图3，[∠AOB]在[∠MON]内部转动，若[∠MON=150°]，[∠ΑΟΒ=30°]，[∠MOC=k∠AOC]，[∠NOD=k∠BOD]，则[∠COD]的度数为                （用含有[k]的式子直接表示计算结果）。

（二）试题分析

本题涵盖线段中点、角平分线等知识点。本题的问题设计层层递进，遵循由特殊到一般的探究规律，有助于学生积累数学基本活动经验，养成良好的逻辑思维习惯。对于第（1）问，学生需厘清线段之间的关系推理出特定线段的长度，要求学生基于图象、题设条件感知线段间的数量关系。第（2）问要求学生将一维线段的解题思路迁移应用到二维角度问题中，考查学生能否正确理解并熟练运用第（1）问的解题策略。第（3）问在第（2）问的基础上进一步将具体角度关系抽象化，引导学生探究[∠AOB]、[∠COD]和[∠MON]三者之间更为一般的数量关系，考查学生能否将已有的解题经验和方法迁移应用到新问题中，以有效解决问题。本题旨在让学生“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”，培养学生的运算能力、推理能力、模型观念、应用意识和创新意识。

二、解法探究与赏析（学）

（一）解法探究

本题难度不大，但通过“一题多解”能够多角度、多维度地促进学生核心素养、综合能力的提升及数学思维的发展。基于初中生的认知水平，本文主要探讨以下几种解法。

［问题（1）求解］

该题为填空题，主要利用线段中点的相关知识进行求解，存在多种可能的解题思路。鉴于[CD=AC+AB+BD]以及[AB]的长度已确定，解题的关键在于把未知量转化为已知量，即将[AC]和[BD]用已知的量[AB]来表示。下面展示4种解题思路及对应的解法。

［思路1］直接分析题设条件、各线段之间的数量关系，计算出[AC]和[BD]的长度，进而求得[CD]的长度。

［解法1（直接法）］∵[MN=30]，[AB=2]，[AM=12]，∴[BN=MN-AB-AM=16]，∵点C、D分别是AM、BN的中点，∴[AC=12AM=6]，[BD=12BN=8]，∴[CD=AC+AB+BD=6+2+8=16]。

［思路2］将其中一个未知数设为变量，这里假设[AC=x]，此时的关键思想仍然是化归与转化，用已知的量表示[BD]，这样就容易求出[CD]的长度。

［解法2（方程思想）］设[AC=x]，∵[MN=30 ]，[AB=2]，点C、D分别是AM、BN的中点，∴[AM=2AC=2x]，∴[BN=MN-AB-AM=30-2-2x=28-2x]，又∵[BD=12BN]，∴[BD=28-2x2=14-x]，∴[CD=AC+AB+BD=x+2+14-x=16]。

［思路3］在设定一个变量的基础上，进一步设定两个变量，这里假设[AC=x]，[BD=y]，此时[CD=x+y+2]，无须分别求出[x、y]，求得[x+y]后整体代入即可求出[CD]的长度。

［解法3（整体思想）］设[AC=x]，[BD=y]，∵点C、D分别是AM、BN的中点，∴[MC=AC=x]，[ND=BD=y]，∵[MN=30]，[AB=2]，∴[MN=MC+AC+AB+BD+ND=x+x+2+y+y=30]，即[2x+2+2y=30]，[x+y=14]，∴[CD=AC+AB+BD=x+2+y=x+y+2=14+2=16]。

［思路4］把线段[MN]想象成一段绳子，此时可将绳子上的[A、B]两点重合，即把[AB]段“割掉”，抑或是在绳子[MN]的一端“补上”一段与[AB]长度相等的绳子。

［解法4（割补法）］“割”：如图4，将绳子上的[A、B]两点重合，重合的点记作点[H]，此时整段绳子[MN=28]，由题意可得[C、D]分别是[HM、HN]的中点，得[HC=12HM=7]，[HD=12HN=7]，则[CD=HC+HD=7+7=14]，此时拉直绳子，将隐藏的[AB]段复原，由于[AB]段位于[CD]段中间，且[AB=2]，所以拉直后的[CD]段长度还需加上[AB]段的长，即[CD=14+2=16]。这一思路说明只要题设条件不变，线段[AB]的位置可以自由移动（点[A]不超过点[M]，点[B]不超过点[N]），其中相关量之间的数量关系不变。

“补”：如图5，若在绳子[MN]右端“补上”一段与[AB]长度相等的绳子，记这段绳子为[NH]，此时[NH=AB=2]，[MH=32]，因为[C、D]分别是[AM]、[BN]的中点，所以[AC=12AM]，[BD=12BN]，又因为[CD=AC+AB+BD]，将相关量代入即可求得[CD=12MH=12×32=16]。

［问题（2）求解］

①这一小问是对第（1）问的解法进行迁移，虽然条件简化，问题情境不同，但解题思路类似。在列式计算时可以明确第（1）问感知的数量关系，也说明了只要题设条件不变，试题情境可以变化，其中相关量之间的数量关系不变。具体解法如下：

［解法1（直接法）］∵射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，∴[∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°]，∴[∠AOC+∠BOD=12×120°=60°]，∴[∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°]。

［解法2（方程思想）］设[∠AOC]为[α]，∵射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOM=2∠AOC=2α ]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=150°-2α-30°=120°-2α]，∴[∠BOD=12∠BON=12×（120°-2α）=60°-α]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=α+30°+60°-α=90°]。

［解法3（整体思想）］设[∠AOC]为[α]，[∠BOD]为[β]，∵射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOM=2∠AOC=2α]，[∠BON=2∠BOD=2 β]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠MON=∠AOM+∠AOB+∠BON=2α+30°+2 β=150°]，即[2（α+β）=120°]，[α+β=60°]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=α+30°+β=α+β+30°=60°+30°=90°]。

［解法4（割补法）］相较于前三种解法，这一解法能够快速计算出[∠COD]的度数，但其解题步骤的表述并不简洁。因此，本文仅呈现其解题思路，而不详细展示解题过程。

“割”：如图6，顺时针旋转[∠MOA]，使射线OA与OB重合，重合的射线记作OH，此时[∠MON=120°]，由射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠HOM]和[∠HON]，得[∠HOC=12∠HOM]，[∠HOD=12∠HON]，接着由[∠COD=∠HOC+∠HOD]代入相关量可求出[∠COD=60°]。此时将射线[OA]和[∠MOA]旋转至原来的位置，因为[∠AOB]在[∠COD]内部，且[∠AOB=30°]，所以[∠COD]实际上还应增加[∠AOB]的度数，即[∠COD=90°]。

“补”：如图7，若在[∠MON]右侧“补上”与[∠AOB]度数相等的角，记该角为[∠NOH]，此时[∠NOH=∠AOB=30°]，所以[∠MOH=∠MON+∠NOH=150°+30°=180°]，因为射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]，所以[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，又由[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD]，代入相关量可求得[∠COD=12∠MOH=90°]。

②这一小问要求学生探究[∠AOB]，[∠COD]和[∠MON]三者之间的数量关系，实际上是对前两个问题中已感知和明确的数量关系的验证，由此得出结论：从线段到角度，只要题设条件不变，试题情境可以变化，线段[AB]（在线段[MN]上）或[∠AOB]（在[∠MON]内部）可以自由移动，其中相关量之间的数量关系不变，即[CD=MN+AB２]，[∠COD=∠MON+∠AOB2]。而该问题的求解思路仍然与前两个问题一致，这里展示直接法的解题过程。

解：∵射线[OC]和射线[OD]分别平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，∴[∠AOC+∠ΒOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）]，∵[∠AOM+∠AOB+∠BON=∠MON]，∴[∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB]，∴[∠AOC+∠BOD=12（∠MON-∠AOB）]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=12（∠MON-∠AOB）+∠AOB＝12（∠MON+∠AOB）]。