基于深度学习理论的高中数学概念教学探索

［摘 要］高中数学概念通常具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的关联性，其教学效果直接关乎学生的数学素养培养及后续学习。深度学习理论为高中数学概念教学提供了新的视角和方法。文章以“三角函数的概念”的教学为例，探讨如何在深度学习理论指导下，有效设计高中数学概念教学，引导学生进行深度思考，进而使学生从浅层理解走向深度理解，从而透彻理解数学概念，提升学习效果，发展数学学科核心素养。

［关键词］深度学习理论；高中数学；概念教学

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）32-0014-04

一、深度学习的基本内涵

深度学习的概念最早由美国学者马顿和萨尔约提出。他们在调查学生阅读过程时发现，学生采用两种截然不同的学习方式：一种是浅层学习，即依赖死记硬背；另一种是深度学习，强调理解学习内容。基于此，他们首次提出了深度学习的概念。郭华教授指出，深度学习是在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功并获得发展的有意义的学习过程。深度学习的最终目标是促进学生全面发展，培养具有创造力和合作精神的未来社会实践者。深度学习要求教师精心设计学习主题，引导学生积极参与，深入理解并掌握知识。深度学习关注学生的学习主动性，教师作为学习活动的设计者和组织者，应引导学生主动探索，让学生通过理解和应用知识，培养思维能力，提升解决问题的能力。

二、高中数学概念教学的重要性

概念教学是高中数学教学的重要环节。数学概念是数学知识的基础，也是培养学生解决问题能力和逻辑思维的重要工具。高中数学概念具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的关联性，部分学生感到难以理解和掌握。因此，在高中数学概念教学中，教师应运用深度学习理论精心设计教学，引导学生积极参与，进行深度思考，从而透彻理解数学概念。

三、基于深度学习理论的高中数学概念教学实践

三角函数是典型的周期函数，对物理、天文学习及解决实际问题至关重要。尽管学生在学习指数函数、对数函数、幂函数后已有一定基础，但三角函数中的对应关系较为复杂，部分学生仍觉得难以理解。本文以人教A版高中数学教材必修第一册第五章第二节“三角函数的概念”的教学为例，探讨如何将深度学习理论融入教学，以帮助学生更好地理解和掌握三角函数的概念。

环节一：提出问题，引出新知

师：在我们的生活中存在各种周期现象，如单摆运动、交变电流、四季更迭等。匀速圆周运动是周期现象的代表，在生活中有许多做匀速圆周运动的物体，如摩天轮开动后的座舱、电风扇启动后的叶片、钟表上转动的指针，它们都在做匀速圆周运动。我们常用函数模型来描述世界的变化规律。那么，匀速圆周运动的规律如何用函数模型来描述？

设计意图：借助生活实例，让学生体会到数学既源于生活又用于生活，从而激发学生的学习兴趣。同时，通过提问引导学生思考，明确本节课的学习重点是构建函数模型。

环节二：探索新知，形成概念

师：请根据上述问题构建函数模型。

学生活动：先独立思考，然后进行交流，最后构建出如图1所示的函数模型。

问题1    在图1中，点[P]在[⊙Ο]上，从点[A]起逆时针旋转，如何准确描述点[P]的位置变化？

师生活动：学生观察到，点[P]位置随着角[α]的变化而变化。教师引导学生理解，角[α]大小的变化引起其终边[OP]与圆的交点[P]的位置变化，因此可以借助角[α]的大小准确描述点[P]的位置变化。考虑到角[α]的大小与[⊙Ο]的半径无直接关系，教师建议先从单位圆上点的运动开始探究。

问题2    要准确描述点[P]在单位圆上的位置，需要借助什么数学工具？

学生活动：学生讨论后决定采用平面直角坐标系进行研究。通过合作交流，学生建立了如图2所示的平面直角坐标系，并确定点[A]的坐标是（1，0），点[P]的坐标是（x，y）。

问题3   任意给定一个角[α]，你能求出点[P]的坐标（x，y）吗？

设计意图：通过精心设计问题，引导学生观察与思考，鉴于学生在抽象角和坐标问题上可能存在学习困难，本环节从特殊角切入，为学生搭建理解的桥梁，进而培养他们的直观想象、数学抽象及数学建模等核心素养。

思考2：对于上述每个特殊角，点[P]的坐标是否唯一确定？

师生活动：学生针对每个特殊角进行计算，确认能准确求出唯一确定的点[P]的坐标。

设计意图：通过两道思考题，逐步引导学生了解知识生成过程，掌握从特殊到一般的探究方法，培养学生的数学运算核心素养。

问题4    对于任意给定的角[α]，其终边OP与单位圆的交点P的坐标是否唯一确定？

师生活动：教师利用GeoGebra软件动画展示点[P]随角[α]大小变化而变化的过程。学生观察后确认，无论角[α]如何变化，点[P]的横坐标、纵坐标均唯一确定。随后，教师引导学生分析这一过程，找到角[α]与点[P]坐标之间的关系。

师生活动：教师引导学生理解，点[P]的横坐标[x]和纵坐标[y]均由角[α]决定，并据此引出三角函数的定义。

设计意图：通过分析点P的横坐x、纵坐标[y]与角[α]（弧度）之间的关系，帮助学生将这一概念与所学的函数知识建立联系。此过程不仅为接下来教学三角函数的定义奠定了基础，还引导学生验证了这一定义的普遍性，从而培养其逻辑思维能力和数学抽象素养。

环节三：理解概念，深入探究

问题5    请阅读教科书第177页至178页的三角函数定义的内容，并思考以下问题：

（1）三个三角函数分别对应哪些关系？它们的符号各是什么？

（2）三个三角函数的定义域分别是什么？

（3）初中所学的锐角三角函数的定义与高中所学的三角函数的定义有何关联？

坐标，你能给出对应的三个三角函数值吗？

师生活动：学生先独立阅读教科书，并回答（1）、（2）两个问题。接着，教师引导学生回顾初中所学的锐角三角函数的定义，并通过比值运算，验证其与高中所学的三角函数定义的一致性，从而解决问题（3）。最后，学生根据三角函数的定义回答问题（4）。

设计意图：在概念形成的关键阶段，确保学生准确理解三角函数的定义及其要素。通过搭建新旧知识之间的联系桥梁，使学生体会锐角三角函数定义与任意角三角函数的定义之间的内在联系，并借助特殊角的坐标，准确表达三角函数值，从而深化对三角函数的理解。

环节四：应用新知，拓展思维

师生活动：教师指导学生作图，共同分析并得出答案。

追问：通过例1的解答，你能概括出利用三角函数的定义求解三角函数值的基本步骤吗？

师生活动：引导学生进行总结，得出以下步骤：（1）将给定角置于平面直角坐标系中；（2）绘制单位圆并构造直角三角形；（3）求出角的终边与单位圆的交点坐标；（4）根据三角函数的定义确定对应的三角函数值。

设计意图：通过让学生运用三角函数的定义解决简单问题，使他们亲身体验求解过程，总结解题基本步骤，从而深化对三角函数定义内涵的理解，并提升解决问题的能力。同时，在练习过程中培养学生的数学运算、直观想象等核心素养。

师生活动：教师首先引导学生分析问题，随后与学生共同探讨并给出证明思路。

设计意图：通过习题引导学生构建直角三角形，识别其中的相似三角形，并巧妙运用相似性，依据三角函数的定义进行证明。

环节五：归纳总结，深化认知

问题6    通过本节课的学习，你有什么收获？请从数学知识、思想方法、数学应用三个方面进行总结。

师生活动：教师提问后，鼓励学生积极分享个人见解，教师根据学生的回答进行适时的补充与点评。

设计意图：借助问题引导，帮助学生系统地梳理本节课所学知识，构建完整的知识体系，同时培养其反思与总结的能力，进一步深化对三角函数概念的理解。

环节六：布置作业，巩固提升

基础作业：教科书第179至第180页练习第1、第2、第3题。

拓展作业：阅读教科书第186页“阅读与思考”栏目内容，了解三角学与天文学。

设计意图：通过设计多元化作业，帮助学生巩固基础知识，同时融入数学文化，拓宽学生视野，让他们认识到数学知识在其他领域中的应用价值。

四、教学反思

（一）创设情境，引发学生深度思考

在“三角函数的概念”的教学中，为使学生领悟任意角三角函数与周期现象的内在联系，笔者精心创设了教学情境。通过摩天轮开动后座舱的运动、电风扇启动后叶片的旋转、钟表中指针的转动等生活实例，学生意识到这些周期现象均可用函数来描述。随后，笔者提出挑战性问题：“匀速圆周运动的规律如何用函数模型来描述？”这一问题既引发了学生的深度思考，又激发了他们的学习兴趣。因此，在高中数学概念教学中，教师应创设贴近学生生活的情境，引导学生基于常识和经验去思考数学问题、学习数学概念。

（二）设计问题串，驱动深度学习

三角函数概念的形成，根植于单位圆上点的运动规律，这与之前所学的基本初等函数概念构建路径有所不同。为此，笔者设计了问题串，引导学生根据生活中的周期现象总结出单位圆上点的运动规律。这一过程不仅促进了学生间的合作探究与互动交流，还使他们共同分析并发现单位圆上点[P]的横坐标、纵坐标与角[α]之间满足的函数关系，进而掌握三角函数的定义。因此，在高中数学概念教学中，教师应设计符合学生认知发展规律的问题串，引导学生深入思考，了解概念的形成过程以深刻理解概念，并着重培养学生的思维能力和创新能力。

（三）迁移应用，促进深度学习

通过例1和例2的练习，学生不仅能够正确解答，还能够自主归纳出运用三角函数的定义求解三角函数值的步骤。此过程反映出学生已成功将所学概念迁移并灵活应用于实际问题中，实现了深度学习的目标。

（四）科学评价，助推深度学习

本节课借助例题练习和课后作业反馈，有效评估了学生对三角函数概念的掌握情况。同时，重视对学生学习过程的监控，鼓励他们反思学习方法和学习效果，并据此及时调整学习策略，以进一步推动深度学习的实现。

综上所述，深度学习理论为高中数学概念教学提供了新的视角和方法。教师将这一理论融入教学设计，通过精心设计深度学习活动，有效引导学生深入理解并灵活应用数学概念，不仅有效提升了学生的数学学科核心素养和思维能力，还全面提高了学生的综合素质。

［   参   考   文   献   ］

[1]  郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.

[2]  王道宇.初中数学深度学习的实践研究[J].中学数学教学，2019（5）：20-24.

[3]  彭瑛晶.利用“六何”深度学习法指导课堂教学：以“三角函数的概念”为例[J].数理天地（高中版），2024（5）：81-83.

[4]  王帅.深度学习视域下高中生三角函数的教学研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2022.