目标指引下的数学解题方法例析

［摘 要］解题非终极目标，而是培养解题能力和借助解题学习。在解题过程中，目标指引至关重要，它不仅能明确解题方向，还能促进思路的灵活转换，从而更有效地接近正确答案并解决问题。文章结合三个案例，探讨目标指引在数学解题中的逻辑应用与方法策略。

［关键词］目标指引；数学解题；减元求最值；设而不求

［中图分类号］    G633.6                ［文献标识码］    A                ［文章编号］    1674-6058（2024）32-0027-03

数学解题活动有助于学生构建数学认知结构，其核心在于培养学生良好的数学思维习惯。然而，数学解题活动易流于形式，而忽视了其核心价值——掌握解题能力。正如罗增儒所言，数学解题不能只是问“怎样解”，也要问“为什么这样解”和“怎么学会解”［1］。这一过程，实质上是深度思考目标指引运用方式的关键过程。

本文精选三个例题，深入剖析数学解题逻辑与方法，着重探讨如何依据目标构思解法。诚然，题目解法多样，但本文并非简单罗列与展示解法，而是从解题思路的生成角度出发，借助目标指引进行深入探究，以期引导学生掌握解题技巧，进而提升学生的解题能力。

一、目标指引下的减元求最值

在处理多变量最值问题时，一个比较有效的策略就是减少未知量的数量。因为求最值时常用基本不等式法，而该方法通常适用于单一变量或两个变量的情况，要求结构满足基本不等式的条件。

分析2：第（2）问要求解三边平方关系的最小值，该关系以分式结构形式呈现。如何转化此问题？

至此实现了角数量的减少，只有一个角[B]。

这时由[cos2B=2cos2B-1]代入得：

评注：从三边关系入手，将其转化为三角正弦关系，进而再转化为一角余弦关系，通过有效的变形，使其满足“基本不等式”的结构要求。在这一目标的指引下，学生产生了积极消元的思路，即通过“减元”实现最值的求解。

二、目标指引下的“算两次”

“算两次”是数学解题中一种行之有效的方法。将等式的左边算一次，将等式的右边算一次，可取得事半功倍的解题效果。从不同等式的角度将同一对象“算两次”常有助于学生有效达成解题目标。

［例2］（2023年高考数学新课标Ⅰ卷第17题）已知在[△ABC]中，[A+B=3C]，[2sin（A-C）=sinB]。

（1）求[sinA]；

（2）设[AB=5]，求[AB]边上的高。

分析1：第（1）问要求[sinA]的值，该如何求解呢？

首先，尝试直接求解角[A]的值来获得其正弦值，但根据已知条件难以直接达成。

评注：题干中的“高”是解题关键，它提示与面积有关，从而引导学生采用面积法和“算两次”的策略。

三、目标指引下的“设而不求”

在处理运动变化问题时，设一些未知量有助于找到其背后的不变关系。有时，为了达成目标，需退一步求解。退一步，问题便能获得解决。当直接求不可行时，这种迂回策略往往可以出奇制胜。

分析：为了证明角度，可以求出该角的某个三角函数值。由于正方形的内角均为直角，因此可以考虑通过求角的正切值来间接求解目标角。然而，直接求解[∠PAQ]的正切值不可行，因此可以采取“设而不求”的策略，先求其他角。

具体的目标是求[∠PAQ]，这个角可以看作是[∠BAP]与[∠DAQ]的和的余角。由于[∠BAP]与[∠DAQ]都是直角三角形的内角，所以可以考虑采用求这两个角的正切值的方法。

证明：设[AB=a]，[BP=x]，[DQ=y]，[∠BAP=α]，[∠DAQ=β]，

则[PC=a-x]，[QC=a-y]，[PQ=x+y]，

由[PQ2=PC2+QC2]，得[（x+y）2=（a-x）2+（a-y）2]，化简得：[ax+ay=a2-xy]，

评注：从正方形的背景中可观察到直角三角形的存在；对变量引入未知量，探究其内在关联。在目标指引下，采用“设而不求”的策略，通过求三角函数值求出角的度数。

高考数学题与课本习题是由专家精心编制的，对于提升学生的数学素养具有显著的导向作用。在解题过程中，明确的目标指引至关重要。事实上，每一个完美的解题过程都是逐步达成目标的过程。有了明确的目标，就有了变形的方向和依据。当解题遇阻时，学生应重新审视问题，在目标指引下转换思路，从而更接近正确答案并最终解决问题。

数学是思维的体操，解题则是锻炼思维的有效方式。解题并非目的，通过解题学习解题方法、提升解题能力才是关键。以目标为引领，指导解题的思维活动，将有助于学生数学核心素养的培养。

［   参   考   文   献   ］

[1]  陈蒲汉，何小亚.数学解题反思新解[J].数学通讯，2013（4）：12-14.

[2]  蔡际红，高成功.“蘑菇”是怎样采到的[J].中学数学教学，2011（1）：36-39.