以学习为中心的数学复习课实践与思考

［摘 要］以学习为中心的课堂强调以学生的学习活动作为整个课堂教学的中心。引发学生自主学习和促进学生发展是以学习为中心的课堂的根本目的。在以学习为中心的数学复习课中，教师需要通过学习活动来引导学生掌握基础知识与基本技能，形成基本思想和基本活动经验，并内化为稳定的、可复制的能力，形成核心素养。

［关键词］以学习为中心；复习课；核心素养；矩形

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）32-0001-04

《论语》有云：“温故而知新。”数学复习课不应是简单机械地重复，而应让学生在原有的基础上获得新认识，构建新结构，习得新经验。近期，笔者执教了一节“矩形的复习”公开课，有幸得到丁峰老师的点评，对笔者启发很大。笔者对以学习为中心的复习课教学感触良多，现将这节课的教学及思考整理成文，与同行分享。

一、以学习为中心的课堂的内涵

以学习为中心的课堂是指在教师有效指导下，以课堂教学为载体，以学习为核心，引发学生自主学习，最终使学生得到发展的课堂。在这样的课堂中，学生是知识的主动建构者，教师的适时指导是学生学习质量的保证，师生是学习的共同体。

以学习为中心的课堂是从以教师为中心的传统范式转变为以学生为中心的学习范式，由关注教师的“教”转变为注重学生的“学”。

二、教学背景分析

（一）学情分析

经过近三年的初中学习，学生已经学习了特殊四边形的性质与判定等相关知识，但这些知识都是在直观感知基础上的归纳认识，学生头脑中固有的经验是把平行四边形、矩形、菱形、正方形作为独立的图形看待。本节课意在加强特殊四边形之间的知识联系，深化知识理解，优化知识结构。核心在于让学生能够将四边形的知识体系进行结构化整理和选择性应用。

（二）教学目标

1.通过知识梳理和回顾，能自主构建特殊四边形性质与判定的知识结构图。

2.通过完成对应考点练习，能用矩形的性质解决相关求角度和线段长度的问题以及矩形判定问题。

3.能理解几何直观在解决问题过程中的重要性，建立形与数的联系，建构数学问题的直观模型。

（三）教学重难点

通过自主梳理和探究，将四边形知识体系进行结构化整理和选择性应用，并体会其中的数学思想方法，强化数学认知。

三、教学过程

（一）任务驱动，形成脉络

问题1：如图1所示，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，[∠ACB=30°]，[BC=3]。

任务一：若四边形ABCD为平行四边形，请写出你能确定的边和角。

任务二：若四边形ABCD为矩形，请写出你能确定的边和角。

任务三：若四边形ABCD为菱形，请写出你能确定的边和角。

任务四：思考满足条件的四边形ABCD是否是正方形，并说明理由。

教学说明：“矩形”并不是一个需要去识记的、孤立的知识。矩形应当和其他的特殊四边形一起作为一个需要理解的、统一的和连贯的概念系统。从任务一到任务四，变化条件让学生运用已有的知识解决问题。任务的引入给问题的解决找到了一个支点，学生借助已有知识经验和通过教师引领，思维得到了拓展。

教学分析：以学习为中心的课堂强调学习内容注重“结构化”。本节课的复习重点虽然是矩形，但矩形是承接平行四边形的性质与判定，类比菱形学习，开启正方形性质与判定学习的重要一环，因而需要培养学生在大观念下思考并认识事物的思维，让学生既见“树木”，又见“森林”，帮助学生构建立体化的概念体系。

（二）一题多解，开阔思路

问题2：如图2所示，在矩形ABCD中，[E]是边[BC]上一点，[∠AED=90°]，[∠EAD=30°]，[F]是[AD]边的中点，[EF=4] cm，则[BE=]                cm。

追问1：把题目的条件都标注之后你能得到哪些特殊的三角形，能求出哪些线段的长度？

教学说明：由[∠AED=90°]可以得到直角三角形AED，并且EF为直角三角形AED的斜边中线，可求AD。在矩形ABCD中，AD∥BE，[∠EAD=30°]，[∠AEB]为其内错角，所以[∠AEB]也是[30°]，在直角三角形AED中结合AD，可以将AE求出。数学解题非常注重由“已知”看“可知”的思维过程。在解决问题的过程中，学生遇到思维瓶颈很有可能是其中某一个已知或可知得不到。因此，在平时的解题训练过程中教师应注重对学生的逻辑思维进行培养。本题主要训练学生由“已知”看“可知”的思维，即由因导果的思维。

追问2：求出的这些线段长度能够求出[BE]吗？

追问3：还可以用其他方式求解吗？

教学说明：学生在回答追问2的问题时运用矩形性质配合直角三角形斜边中线性质和含30°角的直角三角形可以求出BE。但此题方法很多，教师需要引导学生对各种方法进行梳理，培养学生一题多解的能力，发散学生的思维。在之前的已知条件基础上，还可以运用三角形AED和三角形EBA相似，运用相似三角形的性质求解BE。在教学中，还有学生提出在直角三角形AED中运用三角函数进行求解。

教学分析：学习任务是以学习为中心的课堂的核心，让学生完成高认知水平的任务，是促进学生深度学习与落实核心素养的重要途径。一题多解有利于满足学生的好奇心，展现学生的个性，培养学生的创新思维，为学生营造敢想、善思的学习氛围，进而激活学生主动学习的情感，使学生的思维活力竞相涌动，创新的火花不断迸发。

问题3：通过上面的训练，你如何在矩形中求线段的长度？

追问1：放到三角形中有哪些常用的求线段长度的要点？

追问2：利用矩形的性质可以求线段的长度吗？请思考后独立完成图3的知识整理。

教学说明：本节课的重点之一是通过完成对应的考点练习，帮助学生正确运用矩形的性质解决相关问题。题目训练只是低层次要求，要更好地帮助学生形成数学知识的网状结构，指导学生进行知识之间的正迁移，使碎片化思想、单一性思考不断走向结构性思想、结构性思考，乃至在问题解决过程中形成抽象思维。

（三）一题多变，提升效率

问题4：如图4所示，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，且[∠AED=90°]。

（1）若[AB=2]，[BC=5]，求[BE]。

（2）如图5所示，若[F]为[AD]边的中点，作点[E]关于点[F]的对称点[G]，连接[AG]、[DG]，判断四边形[AEDG]的形状，并说明理由。

（3）在（2）的条件下，当矩形[ABCD]的边[AD]与[AB]满足什么条件时，四边形AEDG为正方形，并说明理由。

教学说明：问题4中的第（1）问是作为问题3的巩固性任务。在解决问题3时，教师采用一题多解的方式进行讲解，其中有一种方法即为用相似性解决问题。因此设置第（1）问作为前面问题的巩固。问题4的第（2）、（3）问则作为前面问题的拓展性任务。第（2）问考查学生对于对称点的认识，从而得到EF与FG相等。并且由题目告知F为AD的中点，得到在四边形GAED中对角线相互平分，由此得到四边形GAED为平行四边形。再由题目条件[∠AED=90°]进一步得到平行四边形GAED为矩形。第（3）问在第（2）问的基础上进一步考查正方形的判定，即一组邻边相等的矩形是正方形，由此再进一步探究原矩形ABCD的边长关系。问题4在前面设问的基础上做进一步延伸，既能巩固四边形相互之间的判定关系，又能拓展学生思路，可谓一举两得。

教学分析：在以学习为中心的课堂中，教师需要关注学生学习效果的“增值化”。复习课教学应聚焦于学生知识体系是否构建、思维是否进阶、思想方法是否渗透、数学素养是否提升。题目设置应由关注难度、进度和熟练度转向关注深度、广度和关联度。“一题多变”可以带来多维的复习效果。对于母题，可以进行图形变化、条件增减、问题拓展等，同时组织有序的探究活动，以达到以点带面的效果。这种活动形式简洁、高效，既减轻了学生的学习负担，提高了学生的学习兴趣和探究能力，也为培养学生的创新能力提供了广阔的空间。

（四）教师导学，分层学习

问题5：如图6所示，有一张长方形纸片ABCD， [AB=8] cm，[BC=10] cm。点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边[BC]恰好经过点D，则线段DE的长为             cm。

追问1：由矩形的性质，你能得出哪些结论？

追问2：由折叠的性质，你能得出哪些结论？

追问3：由“BC的对应边[BC]恰好经过点D”这个条件能得出哪些结论？

追问4：你能找到已知两边的直角三角形吗？你能求出未知的第三边吗？

追问5：可以将DE放置在哪个三角形中求解？

追问6：你想到用什么方法求解了吗？

教学说明：在常规的课堂中，教师大多是呈现问题后，留出时间给学生自己思考。但在这个环节中，基础稍弱的学生会无从下手。学生独立思考过后就是小组讨论，如果上一个环节出现学生缺乏思考的情况，那么在小组讨论环节中这部分学生就会出现低效、浪费时间的情况，以至于到最后的师生对话环节，他们还没有掌握本题的解法，而讲解又结束了。因此，不妨对常规模式进行优化，如呈现问题后，教师导学，即学生读题，教师进行追问式引导，帮助学生梳理相关条件，引导学生关注已知。在学生独立思考的过程中，教师巡视，进行个别点拨，针对不同层次的学生进行分层指导和教学，让每个学生都能从解题中获得经验，都能拓展思维，开拓思路。

教学分析：以学习为中心的课堂强调学习方式的“多样化”。引导式的师生活动，不仅能给不同学生提供思考空间，让学生掌握解题思维，而且能使教师通过边讲边练及时了解学生的知识内化情况。将师生共同参与、学生自主学习、学生小组合作等多种学习方式贯穿于学习活动中，可引导学生在解决问题与完成任务的过程中实现知识间的横向关联及纵向融通，进而使学生实现思维进阶、能力发展、素养提升。

问题6：由折叠得到前后两个图形全等，你能得出什么结论？

追问1：由对应的角相等怎样去求其他角度？

追问2：由对应的线段相等怎样求其他线段的长度？思考后完成图7。

教学说明：折叠问题是初中几何的重要题型。在完成问题5后，利用思维导图梳理解题思路，让学生明确折叠变换的本质是轴对称，折叠前后的图形是全等的，折叠前后的对应点所连线段被对称轴垂直平分。通过“一题一总结，一类一导图”的形式帮助学生条理清晰地回顾折叠的知识点，并建立折叠与矩形性质之间的联系。

教学分析：以学习为中心的课堂强调学科内容的结构化重整，重在实现学科内容的整合与融通。复习课要打破传统的“梳理概念，查漏补缺”的单向思维，要引导学生对知识体系进行梳理、重建，实现知识点的横向串联、纵向并联和整体混联，最终让学生能构建出完整的知识体系和形成符合自身认知规律的能力体系，以及思维水平达到抽象结构水平。

四、教学反思

（一）以学定教：确保教学设计的科学性

教师在进行教学设计时，应时刻将学生的学习置于中心点。任何教学模式都不是万能的，不能脱离学生的学习基础、学习能力、学习目标和学习习惯来设定教学目标、教学内容、教学方法和教学过程。以学定教是确定教学内容和方法的基本标准。促进学生的学习才是课堂教学的目标，教师应当结合学生的学习情况不断调整和改进自身的教学行为；根据“学习”的发生规律明确教与学的任务，发挥彼此的作用，实现各自的价值。