聚焦圆锥曲线创新题

［摘 要］近几年，高考数学命题发生了悄然变化，一些注重人文精神、立德树人，显现学科素养渗透的题型应运而生。圆锥曲线是高考永恒的考点。文章结合三类圆锥曲线创新题，从三个方面进行分析探讨，以使学生感受数学的博大精深和数学世界的无限风光。

［关键词］圆锥曲线；创新题；高考；高中数学

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0005-03

随着课程改革的不断深化，数学试题随之也发生了悄然变化，一些注重人文精神、立德树人，显现学科素养渗透的题型应运而生。笔者结合数学文化题、新定义题和光学性质题三类题探讨几类圆锥曲线创新题，以使学生感受数学的博大精深和数学世界的无限风光。

一、圆锥曲线数学文化题

这类题目往往以与圆锥曲线有关的数学史（如数学家故事）为背景，或以与现实生活中的圆锥曲线有关的事件为背景，体现圆锥曲线的由来或在现实生活中的应用，充满数学文化味，但本质上考查的还是直线与圆锥曲线的相关问题。

［例1］折纸是我国的传统文化，然而，在折纸中却蕴含着丰富的数学内容，譬如：取一张圆形纸片，按照以下四个步骤折纸（如图1）。

步骤一：以[E]为圆心，在圆形纸片不同于圆心处取一点，标记为[F]。

步骤二：将纸片进行折叠，使圆形纸片的圆周恰好通过点[F]。

步骤三：将纸片展开，则会留下一道折痕。

步骤四：重复以上步骤二与步骤三，则会得到越来越多的折痕。

通过折叠发现，这些折痕所围成的图形是一个椭圆。如果取一张半径为4的圆形纸片，设定点[F]与圆心[E]的距离为[23]，则按上述方法折纸。

（1）以点[F]、[E]所在的直线为[x]轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆[C]的标准方程；

（2）设椭圆[C]的下顶点为[D]，过点[D]作两条互相垂直的直线[l1]、[l2]，这两条直线与椭圆[C]的另一个交点分别为[M]、[N]。设直线[l1]的斜率为[k（k≠0）]，[△DMN]的面积为S，当[Sk>169]时，求[k]的取值范围。

分析：（1）根据已知条件，用定义法求椭圆C的标准方程；（2）设直线[l1]、[l2]的方程，与椭圆方程联立方程组，求出M、N的坐标及弦长，表示出△DMN的面积，通过不等式[Sk>169]求k的取值范围。

解：（1）以[FE]的中点[O]为原点，[FE]所在的直线为[x]轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，设[M（x，y）]为椭圆上一点，由题意可知， [MF+ME=AE=4>EF=23]，所以[M]点的轨迹是以[F]、[E]为焦点，长轴长[2a=4]的椭圆，因为[2c=23]，[2a=4]，所以[c=3]，[a=2]，则[b2=a2-c2=1]，所以椭圆[C]的方程为[x24+y2=1]。

（2）由（1）知，椭圆C的方程为[x24+y2=1]，[D（0，-1）]，所以直线[l1]：[y=kx-1（k≠0）]，[l2]：[y=-1kx-1]，如图3所示，设[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，联立[x24+y2=1，y=kx-1，]消去y并整理得[（1+4k2）x2-8kx=0]，所以[x1=8k1+4k2]，所以[y1=8k21+4k2-1]，所以[DM=x21+（y1+1）2=64k2（1+4k2）2+64k4（1+4k2）2=8k1+4k21+k2]，联立[x24+y2=1，y=-1kx-1，]消去y并整理得[（4+k2）x2+8kx=0]，所以[x2=-8kk2+4]，所以[y2=8k2+4-1]，所以[DN=x22+（y2+1）2=64k2（4+k2）2+64（4+k2）2=84+k21+k2]，所以[S=12DM·DN=12×8k1+4k21+k2·84+k21+k2=32k（1+k2）（1+4k2）（4+k2）]，由[Sk>169]，得[32（1+k2）（1+4k2）（4+k2）>169]，整理得[4k4-k2-14<0]，得[-74<k2<2]，又[k2>0]，所以[0<k2<2]，所以[-2<k<0]或[0<k<2]，故[k]的取值范围为[（-2，0）⋃] [（0，2）]。

点评：本题以折纸为背景引出椭圆，考查直线与椭圆的位置关系。解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意挖掘题目中的每一个已知条件，探寻确定直线、椭圆的条件，当涉及直线方程的设法时务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形；（2）熟练掌握联立直线与椭圆方程得出一元二次方程后的运算方法，关注根与系数之间的关系、斜率、弦长、三角形的面积等问题。

二、圆锥曲线新定义题

圆锥曲线新定义题的命制，一般在圆锥曲线的基础上定义出一种新的曲线，我们只需遵循新定义将新问题直接转化为圆锥曲线问题来解决。这类题型主要考查学生的理解能力和转化能力。

［例2］我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线。已知椭圆[C1：x24+y2b2=1（0<b<2）]，双曲线[C2]是椭圆[C1]的“姊妺”圆锥曲线，[e1]、[e2]分别为[C1]、[C2]的离心率，且[e1e2=154]，点[M]、[N]分别为椭圆[C1]的左、右顶点。

（1）求双曲线[C2]的方程；

（2）设过点[G（4，0）]的动直线[l]交双曲线[C2]右支于[A]、[B]两点，若直线[AM]、[BN]的斜率分别为[kAM]、[kBN]。（i）试探究[kAM]与[kBN]的比值[kAMkBN]是否为定值。若是定值，求出这个定值。若不是定值，请说明理由。（ii）求[w=k2AM+23kBN]的取值范围。

分析：（1）根据“姊妺”圆锥曲线的定义设出双曲线的方程[x24-y2b2=1]，利用[e1e2=154]求得参数[b]的值，即得答案。（2）（i）设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直线[AB]的方程为[x=ty+4]，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合[kAMkBN]的表达式，化简即可得出结论；（ii）设直线[AM]的方程为[y=k（x+2）]，代入双曲线方程，根据韦达定理可解得[xA=2（4k2+1）1-4k2]，结合[A]在双曲线右支，可得[xA>0]，即可求得[kAM]的范围，同理求得[kBN]的范围，结合二次函数性质，即可求得答案。

解：（1）由题意可设双曲线[C2：x24-y2b2=1]，则[e1e2=4-b22×4+b22=154]，解得[b2=1]，所以双曲线[C2]的方程为[x24-y2=1]。

（2）（i）设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直线[AB]的方程为[x=ty+4]，由[x=ty+4，x24-y2=1，]消元得[（t2-4）y2+8ty+12=0]。

则[t≠±2]，[Δ=16t2+192>0]，

且[y1+y2=-8tt2-4，y1y2=12t2-4，]

[∴kAMkBN=y1x1+2y2x2-2=y1x1+2×x2-2y2=y1（ty2+2）y2（ty1+6）=ty1y2+2y1ty1y2+6y2=12tt2-4-16tt2-4-2y212tt2-4+6y2=-4tt2-4-2y212tt2-4+6y2=-13 ]；

或由韦达定理可得[y1+y2y1y2=-2t3]，即[ty1y2=-32（y1+y2）]，

∴[kAMkBN=y1x1+2y2x2-2=y1x1+2×x2-2y2=y1（ty2+2）y2（ty1+6）=ty1y2+2y1ty1y2+6y2=-32（y1+y2）+2y1-32（y1+y2）+6y2]  [=y1-3y2-3y1+9y2=-13]，即[kAM]与[kBN]的比值为定值[-13]。

（ii）设直线[AM]的方程为[y=k（x+2）]，代入双曲线方程并整理得[（1-4k2）x2-16k2x-16k2-4=0（1-4k2≠0）]，

因为点[M]为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为[-2]，由韦达定理得：[-2xA=-16k2-41-4k2]，解得[xA=2（4k2+1）1-4k2]。因为点[A]在双曲线的右支上，所以[xA=2（4k2+1）1-4k2>0]，解得[k∈-12，12]，即[kAM∈-12，12]，同理可得[kBN∈-∞，-12⋃] [12，+∞]，

由（i）中结论可知[kBN=-3kAM∈-∞，-12⋃] [12，+∞]，得[kAM∈-∞，-16⋃16，+∞]，所以[kAM∈-12，-16⋃] [16，12]，故[w=k2AM+23kBN=k2AM+23（-3kAM）=k2AM-2kAM]，设[h（x）=x2-2x]，其图象的对称轴为[x=1]，

则[h（x）=x2-2x]在[-12，-16，16，12]上单调递减，故[h（x）∈-34，-1136⋃1336，54]，故[w=k2AM+23kBN]的取值范围为[-34，-1136⋃1336，54]。

点评：本题是一道新定义题，主要考查学生的探究能力和创新能力。解答本题的关键在于准确理解新定义，由此求得双曲线方程；难点在于（2）中定值的求解以及参数的取值范围的确定。解答本题时要设直线方程，并将其和双曲线方程联立，利用根与系数的关系化简求值。本题计算比较复杂，要特别细心。

三、圆锥曲线光学性质题

圆锥曲线光学性质及其应用是教材中圆锥曲线章节末的阅读与思考内容。将光学性质融入圆锥曲线相关问题，不仅能让考生了解光的反射原理，还能考查圆锥曲线的实用性，并增强试题的综合性。

［例3］抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合。设抛物线C：[y2=4x]的焦点为F，过点[（7，0）]的直线交C于A、B两点，且[AF⊥BF]，若C在A、B处的切线交于点P，Q为[△PAB]的外心，则[△QAB]的面积为         。

分析：设直线[l]的方程为[y=k（x-7）]，联立抛物线方程，结合韦达定理，由[AF⊥BF]得[k2=12]，利用弦长公式求出[AB]，利用抛物线的光学性质及圆的性质知[△QAB]是等腰直角三角形，从而求出面积。

解：如图5所示，易知抛物线C的焦点为[F（1，0）]，显然当[AB⊥x]轴时，AF不垂直于BF，设过点[（7，0）]的直线l的斜率为[k（k>0）]。则直线l：[y=k（x-7）]，将[y=k（x-7）]代入[y2=4x]，得[k2（x-7）2=4x]，即[k2x2-2（7k2+2）x+49k2=0]。设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，则[x1+x2=2（7k2+2）k2]，[x1x2=49]，又[FA=（x1-1，y1）]，[FB=（x2-1，y2）]，所以[FA·FB=（x1-1）（x2-1）+y1y2=0]，所以[（x1-1）（x2-1）+k（x1-7）×k（x2-7）=0]，即[（1+k2）x1x2-（1+7k2）·（x1+x2）+1+49k2=0]，所以[（1+k2）×49-（1+7k2）×2（7k2+2）k2+1+49k2=0 ]，即[8k2-4=0]，解得[k2=12]，所以[AB=1+k2x1-x2=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+k2·][2（7k2+2）k22-4×49=1+k2·][16k4+112k2=123=1+k216k4+112k2=123 ]，

设PA，PB与x轴正方向的夹角分别为[α、β]，由抛物线的光学性质可知[∠APB=α+β]，[∠AFB=2α+2β=π2]，故[∠APB=α+β=π4]，且由圆的性质可知[∠AQB=2∠APB=π2]，所以[△QAB]是等腰直角三角形，其中[AQ=BQ=22AB]，故[SΔQAB=12AQ·BQ=AQ22=AB24=108]。

点评：本题以抛物线的光学性质为背景，考查直线与抛物线的位置关系，求解这类问题有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决问题。

从上述三类圆锥曲线创新题来看，它们更贴近数学，更贴近生活，更符合育人的理念。而理解数学、热爱数学、用好数学或将成为未来数学高考命题的方向。

［   参   考   文   献   ］

［1］  王立雪.手工活动与圆锥曲线［J］.高中数学教与学，2023（7）：22-23，56.

［2］  应丽珍，江智如.素养导向下对非对称韦达问题的解法探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（11）：20-23.

（责任编辑   黄桂坚）