聚焦函数单调性的考查

［摘 要］单调性是函数的重要性质之一，也是各类考试命题的热点。文章结合五个典例从五个方向进行探讨，以帮助学生突破学习难点，发展学生的思维，培养学生的核心素养。

［关键词］函数；单调性；高中数学

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0017-03

单调性是函数的重要性质之一，研究函数一般都从研究它的单调性开始。那么从试题考查角度看，函数的单调性主要考查什么？我们一起去探秘。

一、考查函数单调性的判断与证明

关于函数单调性的判断与证明试题，难度中等。判断函数的单调性方法有定义法、导数法、图象法等，而函数的单调性证明方法有两种：定义法和导数法。

［例1］已知函数[f（x）=lnx-x+1x-1]。

（1）求值：[f（2）+f12+f（3）+f13+…+f2023+f12023]；

（2）判断函数[f（x）]的单调性，并证明你的结论。

分析：（1）计算[f（x）+f1x]即可发现和的规律；（2）利用作差法或导数法即可判定其单调性。

解：（1）过程略，答案：[f（2）+f12+f（3）+f13+…+f2023+f12023=0×2022=0]。

（2）函数[f（x）]的定义域为（0，1）∪（1，+∞），记为区间[D]，[f（x）=lnx-1-2x-1]在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，证明如下：

证法1（定义法）：设[∀x1]，[x2∈D]，则[f（x1）-f（x2）=lnx1-1-2x1-1-lnx2-1-2x2-1=lnx1x2+2（x1-x2）（x1-1）（x2-1）]。

①当[0<x1<x2<1]时，[0<x1x2<1]，∴[lnx1x2<0]，[2（x1-x2）（x1-1）（x2-1）<0]，∴[f（x1）-f（x2）<0]，于是[f（x1）<f（x2）]， ∴ [f（x）]在（0，1）上单调递增；

②当[1<x1<x2]时，同理可得[0<x1x2<1，∴lnx1x2<0]，[2（x1-x2）（x1-1）（x2-1）<0]，即[f（x1）<f（x2）]，∴ [f（x）]在（1，+∞）上单调递增，故[f（x）=lnx-1-2x-1]在（0，1）和（1，+∞）上单调递增。

证法2（导数法）：因为[f（x）=lnx-1-2x-1]，所以[f（x）=1x+2（x-1）2]，当[x∈（0，1）]时，[f（x）>0]；当[x∈（1，+∞）]时，[f（x）>0]，故[f（x）=lnx-1-2x-1]在（0，1）和（1，+∞）上单调递增。

二、考查复合函数的单调性

复合函数的单调性的考查，要求考生理解复合函数的概念，并会求复合函数的单调区间，或会判断复合函数在某个区间上的单调性。对于这类问题，考生必须掌握求复合函数[y=f（g（x））]的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两个基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间。

［例2］（1）函数[f（x）=128-2x-x2]的单调递减区间为              。

（2）设[f（x2+1）=loga（4-x4）（a>1）]，则[f（x）]的值域是                  。

分析：（1）利用复合函数的单调性“同增异减”，结合二次函数与指数函数的单调性即可解答。（2）根据换元法先求出[f（x）]的表达式，然后利用复合函数的单调性“同增异减”，结合二次函数与对数函数的单调性即可解答。

解：（1）因为复合函数[f（x）=128-2x-x2]是由[t=8-2x-x2]与[y=12t]复合而得，而[y=12t]在[R]上单调递减，所以[f（x）]的单调减区间即为[t=8-2x-x2]的单调增区间，因为[t=8-2x-x2=-x2-2x+8]开口向下，对称轴为[x=-1]，所以[t=-x2-2x+8]的单调增区间为[-∞，-1]。

（2）设[x2+1=t（t≥1）]，则[f（t）=loga（4-（t-1）2）（t≥1）]，于[f（x）=loga（4-（x-1）2）（x≥1）]。设[u=4-（x-1）2（x≥1）]，根据二次函数性质，[x∈1，+∞]时，[u]关于[x]单调递减；根据对数函数性质，[y=logau]在定义域上递增。于是由复合函数单调性的性质，[f（x）=loga（4-（x-1）2）]在[1，+∞]上单调递减，而[f（1）=loga4]，于是[f（x）]的值域是[-∞，loga4]。

三、考查根据函数的单调性求参数值

根据函数的单调性求参数值，一般出现在选择题或填空题中，已知函数单调性求参数的范围的常用方法：（1）直接法。直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。（2）分离参数法。先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决。（3）数形结合法。先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解。

［例3］已知函数[f（x）=x（lnx+1）-ae2x-xlna]，若对任意两个不相等的正实数[x1]、[x2]，都有[f（x1）-f（x2）x1-x2<2]，则实数[a]的取值范围为            。

分析：设[x1>x2]，由题意可得函数[g（x）]在（0，+∞）是减函数，原问题转化为[g（x）=lnx-2ae2x-lna<0]（[x>0]）恒成立，即[h（x）=lnx-2ae2x-lna<0 ]（[x>0]）恒成立，即求[h（x）max<0]即可。

解：若对任意两个不相等的正实数[x1]、[x2] 都有[f（x1）-f（x2）x1-x2<2]恒成立，不妨设[x1>x2]，所以[f（x1）-f（x2）<2x1-2x2]，即[f（x1）-2x1<f（x2）-2x2]，令[g（x）=f（x）-2x=x（lnx+1）-ae2x-xlna-2x=x（lnx-1）-ae2x-xlna]，则[g（x1）<g（x2）]，所以函数[g（x）]在（0，+∞）上单调递减，则[g（x）=lnx-2ae2x-lna≤0（x>0）]恒成立，则令[h（x）=lnx-2ae2x-lna<0 （x>0）]，即[h（x）max≤0]即可，[h（x）=1x-4ae2x]，因为[h（x）]在（0，+∞）上单调递减，存在零点[x0]，使得[1x0=4ae2x0]，即[14x0=ae2x0]，两边取对数可得[ln14x0=ln（ae2x0）=lna+2x0]，即[lna=-ln4x0-2x0]，所以当[x∈（0，x0）]时，[h（x）>0]，[h（x）]在[（0，x0）]上单调递增，当[x∈（x0，+∞）]时，[h（x）<0]，[h（x）]在（x0，+∞）上单调递减，所以[h（x）max=h（x0）=lnx0-2ae2x0-lna=lnx0-12x0+ln4x0+2x0=ln4x02+2x0-12x0≤0]，令[t=2x0]，则[h（t）=2lnt+t-1t（t>0）]，[h（t）=2t+1+1t2>0]，[h（t）]在（0，+∞）上单调递增，且[h（1）=0]，要求[h（t）≤0]，解得[0<t≤1]，即[0<2x0≤1]，则[0<x0≤12]，因为[1x0=4ae2x0]，即[a=14x0·e2x0]，令[k（x）=14x·e2x]，[x∈0，12]，[k（x）=-4e2x（1+2x）（4x·e2x）2]，[x∈0，12]，所以[k（x）<0]，[k（x）]在[0，12]上单调递减，当[x=12]时，[k（x）min=k12=14×12×e2×12=12e]。当[x]趋近于0时，[k（x）]趋近于正无穷，所以[k（x）∈12e，+∞]，故[a∈12e，+∞]。

四、考查利用函数单调性比大小

利用函数的单调性比大小的试题一般以选择题为主，其不仅仅考查考生能否利用函数的单调性比大小，而且考查考生能否根据数值特征构造函数，并利用导数研究函数的单调性。这类试题综合性较强，难度也较大。

［例4］（1）已知[f（x）]是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数[x1]、[x2]，都有[x2f（x1）-x1f（x2）x1-x2<0]。记[a=f（3.13.2）3.13.2]，[b=f（3.23.1）3.23.1]，[c=f（log3.23.1）log3.23.1]，则（ ）。

A. [a<b<c] B. [b<a<c]

C. [c<a<b] D. [c<b<a]

（2）设[a=ln102-ln100]，[b=151]，[c=tan0.02]，则（ ）。

A. [a>c>b] B. [b>c>a]

C. [c>b>a] D. [c>a>b]

分析：（1）将给定不等式变形可得函数[y=f（x）x]在（0，+∞）上单调递减，再构造函数比较[3.13.2]与[3.23.1]的大小即可推理判断作答；（2）依题意[a=ln1+150]，[b=151]，[c=tan150]，令[f（x）=tanx-ln（1+x）]，[x∈（0，1）]，利用导数说明函数的单调性，即可判断[a]、[c]，再令[h（x）=-lnx-1+x]，[x∈（0，1）]，利用导数说明函数的单调性，即可判断[a]、[b]，即可得解。

解：（1）对任意两个不相等的正数[x1]、[x2]，[x2f（x1）-x1f（x2）x1-x2<0⇔f（x1）x1-f（x2）x2x1-x2<0]，则有函数[y=f（x）x]在（0，+∞）上单调递减，令[g（x）=lnxx]，[x>e]，[g（x）=1-lnxx2<0]，即[g（x）]在（e，+∞）上单调递减，于是得[g（3.1）>g（3.2）]，即有[ln3.13.1>ln3.23.2]，从而有[ln3.13.2>ln3.23.1]，因此，[3.13.2>3.23.1>1>log3.23.1>0]，则有[f（3.13.2）3.13.2<f（3.23.1）3.23.1<f（log3.23.1）log3.23.1]，故[a<b<c]。

（2）因为[a=ln102-ln100=ln102100=ln5150=ln1+150]，[b=151]，[c=tan0.02=tan150]，令[f（x）=tanx-ln（1+x）]，[x∈（0，1）]，则[f（x）=cos2x+sin2xcos2x-1x+1=1cos2x-1x+1=x+1-cos2x（x+1）cos2x]，令[m（x）=x+1-cos2x]，则[m（x）=1+2cosxsinx=1+sin2x≥0]，所以[m（x）]在[（0，1）]上单调递增，[m（x）>m（0）=0]，所以[f（x）>0]，所以[f（x）]在[（0，1）]上单调递增，所以[f（x）>f（0）=0]，则[f（0.02）=tan0.02-ln（1+0.02）>0]，即[tan0.02>ln1+150]，即[c>a]，令[h（x）=-lnx-1+x]，[x∈（0，1）]，则[h（x）=-1x+1=x-1x<0]，所以[h（x）]在（0，1）上单调递减，则[h（x）>h（1）=0]，则[h5051=-ln5051-1+5051>0]，即[-ln5051>1-5051=151]，即[ln5150>151]，所以[a>b]。综上可得[c>a>b]。