例析构造三角形中位线策略

［摘 要］三角形中位线是一条重要的线段，在解题过程中构造三角形中位线将事半功倍，能使问题获得突破。文章结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。

［关键词］构造；三角形；中位线；初中数学

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0020-03

三角形中位线是一条重要的线段，三角形中位线定理是初中阶段学习的重要定理。在解题过程中，构造三角形中位线，将事半功倍，能使问题获得突破。本文结合几个例题，探讨构造三角形中位线的策略，给学生一些启示。

一、直接连接两边中点，构造三角形中位线

如果图形中有两个及以上的线段中点，此时，应考虑使用三角形中位线，辅助线作法为直接连接两边的中点，找出这两边所在的三角形，利用三角形中位线定理解决问题。

［例1］如图1所示，在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，[EF⊥AC]于点[F]，[G]为[EF]的中点，连接[DG]；（1）求[EF]的长；（2）求[DG]的长。

分析：（1）如图2所示，连接[DE]，利用三角形中位线定理得[DE=2]，且[DE]∥[AC]，再解直角三角形[EFC]求得[EF]的长；（2）在直角三角形[DEG]中，利用勾股定理求得[DG]的长。

解：（1）如图2所示，连接[DE]，∵在边长为4的等边[△ABC]中，[D]、[E]分别为[AB]、[BC]的中点，∴[DE]是[△ABC]的中位线，∴[DE=2]，且[DE]∥[AC]，[BD=BE=EC=2]，∵[EF⊥AC]于点[F]，[∠C=60°]，∴[∠FEC=30°]，[∠DEF=∠EFC=90°]，∴[FC=12EC=1]，故[EF=22−12=3]。（2）∵[G]为[EF]的中点，∴[EG=32]，∴[DG=DE2+EG2=22+322=192]。

评析：连接DE，既构造了三角形ABC的中位线，又构造了直角三角形DEG。三角形的中位线既发挥了平行于第三边的位置关系作用，又发挥了等于第三边一半的数量关系作用。

［例2］如图3所示，[AC]、[BD]是四边形[ABCD]的对角线，[E]、[F]分别为[AD]、[BC]的中点，[G]、[H]分别为[BD]、[AC]的中点。请你判断[EF]与[GH]的关系，并证明你的结论。

分析：如图4所示，连接[EG]、[GF]、[FH]、[EH]，由三角形中位线定理得[EG=12AB]，[EG]∥[AB]，[FH=12AB]，[FH]∥[AB]，进而得到[EG=FH]，[EG]∥[FH]，于是四边形[EGFH]为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分获得结论。

解：[EF]与[GH]互相平分，理由如下：如图4所示，连接[EG]、[GF]、[FH]、[EH]，∵[E]、[F]分别为[AD]、[BC]的中点，[G]、[H]分别为[BD]、[AC]的中点，∴[EG]是[△ADB]的中位线，[FH]是[△ACB]的中位线，∴[EG=12AB]，[EG]∥[AB]，[FH=12AB]，[FH]∥[AB]，∴[EG=FH]，[EG]∥[FH]，∴四边形[EGFH]为平行四边形，∴[EF]与[GH]互相平分。

评析：本题将三角形的中位线与平行四边形的判定与性质进行结合，图形中有四个线段中点，分别连接后得到了四条三角形中位线，我们只利用两条中位线就解决了问题，同时利用三角形中位线结论中的平行关系与数量关系。

二、取线段中点，构造三角形中位线

在某些四边形中，已知四边形一组对边的中点，因为这一组对边不在同一个三角形中，因此无法直接利用三角形中位线定理，此时再取一条线段的中点，使这些中点连接后构成三角形的中位线。

［例3］如图5所示，在四边形[ABCD]中，[AC]与[BD]相交于点[E]，点[M]、[N]分别为[AD]、[BC]的中点，[MN]分别交[AC]、[BD]于点[F]、[G]，[EF=EG]。求证：[BD=AC]。

分析：如图6所示，取[DC]的中点[H]，连接[MH]、[NH]，则[MH]、[NH]分别是[△ACD]、[△BCD]的中位线，由中位线的性质定理得[MH]∥[AC]且[MH=12AC]，[NH]∥[BD]且[NH=12BD]，由等腰三角形的性质得[∠EFG=∠EGF]，由平行线的性质得[∠HMN=∠HNM]，最后由等角对等边可得结论。

解：如图6所示，取[DC]的中点[H]，连接[MH]、[NH]。∵[M]、[H]分别是[AD]、[DC]的中点，∴[MH]是[△ADC]的中位线，∴[MH]∥[AC]且[MH=12AC]（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），同理：[HN]是[△DCB]的中位线，∴[NH]∥[BD]且[NH=12BD]。∵[EF=EG]，∴[∠EFG=∠EGF]，∵[MH]∥[AC]， [NH]∥[BD]，∴[∠EFG=∠HMN]，[∠EGF=∠HNM]，∴[∠HMN=∠HNM]，∴[MH=NH]，∴[AC=BD]。

评析：本题通过三角形中位线将两条长线段转化为两条短线段，且在同一个三角形内，再利用平行线将等角转化到这个三角形内，其中取DC边的中点构造三角形中位线是解题的关键，当然也可以取AB边的中点构造三角形中位线。

［例4］如图7所示，在四边形[ABCD]中，[AB=CD]，点[E]、[F]分别是边[AD]、[BC]的中点，直线[EF]分别与[BA]、[CD]的延长线交于点[M]、[N]。求证：[∠BMF=∠CNF]。

分析：如图8所示，连接[BD]，取[BD]的中点[P]，连接[PE]、[PF]，由三角形中位线定理得[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，由平行线的性质得[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，由[AB=CD]得[PE=PF]，所以[∠PFE=∠PEF]，即可得出结论。

解：如图8所示，连接[BD]，取[BD]的中点[P]，连接[PE]、[PF]，∵点[E]、[F]分别是边[AD]、[BC]的中点，点[P]为对角线[BD]的中点，∴[PE]为[△ABD]的中位线，[PF]为[△BCD]的中位线，∴[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，∴[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，∵[AB=CD]，∴[PE=PF]，∴[∠PFE=∠PEF]，∴[∠BMF=∠CNF]。

评析：取四边形对角线的中点，连接中点构造三角形中位线是解题的关键，运用中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质即可解决问题。

三、构造三角形，构造三角形中位线

在一些图形中，只有线段的中点，这些线段并未构成三角形，不能使用三角形中位线定理，此时，需要通过构造中位线所在的三角形，才能利用三角形中位线定理解决问题。

［例5］如图9所示，△[ABC]中，[CD]平分[∠ACB]，过点[A]作[AD⊥CD]于点[D]，点[E]是[AB]的中点，连接[DE]，若[AC=20]，[BC=14]，求[DE]的长。

分析：如图10所示，延长[CB]交[AD]延长线于点[F]，由角平分线的定义得到[∠ACD=∠FCD]，由垂直的定义得到[∠ADC=∠FDC=90°]，因此[∠F=∠CAD]，推出[CF=AC=20]，求出[BF]的长，由等腰三角形三线合一得[AD=FD]，可得[DE]是[△AFB]的中位线，从而求出[DE]的长。

解：如图10所示，延长[CB]交[AD]延长线于点[F]，∵[CD]平分[∠ACB]，∴[∠ACD=∠FCD]，∵[AD⊥CD]于点[D]，∴[∠ADC=∠FDC=90°]，∴[∠F=∠CAD]，∴[CF=AC=20]，∵[BC=14]，∴[BF=CF-BC=6]，∵[AC=CF]，[CD⊥AD]，∴[AD=FD]，∵点[E]是[AB]的中点，∴[DE]是[△ABF]的中位线，∴[DE=12BF=3]。

评析：本题只有一个中点，通过延长后得到另一个中点，并形成中位线所在的三角形。三角形中位线必须先确定所在的三角形，然后再找中位线，本题的中位线只使用了中位线与第三边的数量关系。

［例6］我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫作中点四边形，如图11，在四边形[ABCD]中，点[M]在[AB]上且[△AMD]和[△MCB]为等边三角形，[E]、[F]、[G]、[H]分别为[AB]、[BC]、[CD]、[AD]的中点，试判断中点四边形[EFGH]的形状并证明。

分析：如图12所示，连接[AC]、[DB]，由等边三角形的性质得[AM=DM]，[∠AMD=∠CMB=60°]，[CM=BM]，由SAS证明[△AMC ]≌[△DMB]，得[AC=DB]，由三角形中位线定理得[EF]∥[AC]，[EF=12AC]，[GH]∥[AC]，[GH=12AC]，[HE=12DB]，得[EF]∥[GH]，[EF=GH]，再证明[EF=HE]，最后判定四边形[EFGH]的形状。

解：四边形[EFGH]为菱形。理由如下：连接[AC]与[BD]，如图12所示，∵[△AMD]和[△MCB]为等边三角形，∴[AM=DM]，[∠AMD=∠CMB=60°]，[CM=BM]，∴[∠AMC=∠DMB]，在[△AMC]和[△DMB]中，[AM=DM，∠AMC=∠DMBCM=BM，]，∴[△AMC ]≌[△DMB]（SAS），∴[AC=DB]，∵[E]、[F]、[G]、[H]分别是边[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中点，∴[EF]是[△ABC]的中位线，[GH]是[△ACD]的中位线，[HE]是[△ABD]的中位线，∴[EF]∥[AC]，[EF=12AC]，[GH]∥[AC]，[GH=12AC]，[HE=12DB]，∴[EF]∥[GH]，[EF=GH]，∴四边形[EFGH]是平行四边形，∵[AC=DB]，∴[EF=HE]，∴四边形[EFGH]为菱形。

评析：判定中点四边形的形状，一般都需要利用三角形中位线，此时需要连接原四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，形成两个三角形中位线的模型。一般四边形的中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的中点四边形是正方形。

四、作辅助线后出现中点，构造三角形中位线

在一些图形中，由于其他原因的需要，如构造直径所对的圆周角、构造全等三角形，作辅助线后出现了线段的中点，此时要抓住时机，看能否与其他中点形成三角形中位线。

［例7］如图13所示，在边长为2[2]的正方形[ABCD]中，点[E]、[F]分别是边[AB]、[BC]的中点，连接[EC]、[FD]，点[G]、[H]分别是[EC]、[FD]的中点，连接[GH]，则[GH]的长度为               。

解：如图14所示，连接[CH]并延长交[AD]于[P]，连接[PE]，∵四边形[ABCD]是正方形，∴[∠A=90°]，[AD]∥[BC]，[AB=AD=BC=22]，∵[E]、[F]分别是边[AB]、[BC]的中点，∴[AE=CF=12×22=2]，∵[AD]∥[BC]，∴[∠DPH=∠FCH]，∵[∠DHP=∠FHC]，∵[DH=FH]，∴[△PDH ]≌[△CFH]（AAS），∴[PD=CF=2]，∴[AP=AD-PD=2]，∴[PE=AP2+AE2=（2）2+（2）2=2]，∵点[G]、[H]分别是[EC]、[CP]的中点，∴[GH=12EP=1]。

评析：本题的图形里有四个线段的中点，只有两组线段有公共端点，即两条线段可以在同一个三角形中，其他的线段均不在同一个三角形中，即使这样也无法直接连接中点构造三角形中位线。本题在构造全等三角形的过程中自然生成线段的中点，恰与原来的中点形成三角形中位线。

［例8］如图15所示，四边形[ABCD]内接于圆[O]，[AD]是圆[O]的直径，[AD]、[BC]的延长线交于点[E]，延长[CB]交[AF]于点[F]，[∠BAF+∠DCE=90°]。（1）求证：[AF]是圆[O]的切线；（2）点[G]在[CE]上，且[BC=CD=CG]，连接[DG]，[DG=2]，[AB=5]，求[AD]的长。

解：（1）∵四边形[ABCD]内接于圆[O]，∴[∠BAD+∠BCD=180°]，∵[∠DCE+∠BCD=180°]，∴[∠BAD=∠DCE]，∵[∠BAF+∠DCE=90°]，∴[∠BAF+∠BAD=90°]，即[∠FAD=90°]，又∵[AD]是圆[O]的直径，∴[AF]是圆[O]的切线。

（2）如图16所示，连接[OB]、[OC]、[BD]，记[OC]与[BD]相交于点[N]，∵[BC=CD]，∴[∠BOC=∠COD]，又[OB=OD]，∴[BN=DN ]，∵[BC=CG]，∴[CN=12DG=12×2=1]，又∵[OA=OD]，∴[ON=12AB=12×5=2.5]，∴[OC=ON+CN=3.5]，∴[AD=2OC=7]。

评析：本题第二小题作辅助线，其初始目的是利用垂径定理，但形成的图形中点[N]与原图形的两个中点分别形成两条三角形中位线，真可谓 “有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”。

总之，三角形中位线应用广泛，当图形中有较多中点时，考虑构造三角形中位线，当只有一个点时，可以再取中点连接构成三角形中位线；当有线段中点没有三角形时，要通过连接创造三角形。有时在不经意间作辅助线也会出现较多线段中点，此时要抓住机会，使问题得到破解。

（责任编辑 黄桂坚）