与圆有关的最值问题探析

［摘 要］在解析几何问题中，有一类与圆有关的最值问题，经常出现在各种考试中，一直被视为高中数学的难题。文章结合六道例题，从六个方面进行分析，总结求解与圆有关的最值问题的方法路径。

［关键词］圆；最值问题；高中数学

［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］  A ［文章编号］ 1674-6058（2023）32-0023-03

在解析几何问题中，与圆有关的最值问题经常出现在各种考试中，一直被视为高中数学中的难题。那么，求解此类问题有哪些方法路径呢？以下笔者结合一些例题进行分析探讨。

一、利用圆的几何特性

求解与圆有关的最值问题，首先应想到几何法，即利用圆的基本性质与特征，如圆的对称性、圆的垂径定理、圆幂定理和过圆内一点的圆的最短弦的求法等。利用圆的有关性质和重要结论解题，可以帮助我们减少运算量。

［例1］如图1所示，已知直线[l]：[x-y+4=0]与[x]轴相交于点[A]，过直线[l]上的动点[P]作圆[x2+y2=4]的两条切线，切点分别为[C]、[D]两点，记[M]是[CD]的中点，则[AM]的最小值为                  。

解析：由题意设点[P（t，t+4）]，[C（x1，y1）]，[D（x2，y2）]，因为[PD]、[PC]是圆的切线，所以[OD⊥PD]，[OC⊥PC]，所以[C]、[D]在以[OP]为直径的圆上，其圆的方程为：[x-t22+y-t+422=t2+（t+4）24]。又[C]、[D]在圆[x2+y2=4]上，将两个圆的方程作差得直线[CD]的方程为[tx+（t+4）y-4=0]，即[t（x+y）+4（y-1）=0]，所以直线[CD]恒过定点[Q（-1，1）]，又因为[OM⊥CD]，[M]、[Q]、[C]、[D]四点共线，所以[OM⊥MQ]，即[M]在以[OQ]为直径的圆[x+122+y-122=12]上，其圆心为[O'-12，12]，半径为[r=22]，所以[AMmin=AO'-r=-12+42+122-22=22]，所以[AM]的最小值为[22]。

点评：本题的解题关键是求出点[M]的轨迹方程，发现它是一个圆后，自然会想到利用圆的几何特征来求[AM]的最小值。当点[A]位于半径为[r]的圆[M]外时，[P]为圆[M]上任一点，则线段[AP]的最大值为[AM+r]，最小值为[AM-r]。

二、利用三点共线

求两条线段的和或差的最值，一般采用三点共线法。这种方法来源于三角形的三边关系，即两边之和大于第三边和两边之差小于第三边，于是我们发现，当两个点[A]、[B]固定时，求第三个点[P]，使得[AP+BP]最小时，只需点[P]位于线段[AB]上，此时[A]、[P]、[B]三点共线。用同样思路可以求[AP-BP]的最大值。

［例2］如图2所示，平面直角坐标系中，点[A（-3，3）]，[B（-3，-3）]，[C（23，0）]，动点[P]在[△ABC]的内切圆上，则[12PC-PA]的最小值为                。

解析：由两点间的距离公式可知[AB=BC=AC=6]，则[△ABC]是边长为[6]的等边三角形，设[△ABC]的内切圆的半径为[r]，则[S△ABC=34×62=12r×18]，解得[r=3]，因为点[A]、[B]关于[x]轴对称，所以[△ABC]的内切圆的圆心在[x]轴上，易知直线[AB]的方程为[x=-3]，原点[O]到直线[AB]的距离为[3]，所以[△ABC]的内切圆为圆[O]：[x2+y2=3]，设点[P（x，y）]，[PC=（x-23）2+y2=x2+y2-43x+12=4x2-43x+3+4y2=（2x-3）2+4y2=2x-322+y2=2PE]，其中点[E32，0]。

所以，[12PC-PA=PE-PA≥-AE=--3-322+32=-372]，当且仅当点[P]为射线[AE]与圆[O]的交点时，等号成立，故[12PC-PA]的最小值为[-372]。

点评：解答本题的关键在于分析出[PC=2PE]，再利用三点共线以及数形结合思想求得最值。

三、利用基本不等式

求与圆有关的最值问题，我们既要想到应用圆的几何特征，即几何法，又要想到代数法，建立目标函数，在同一道题目中，有时两种方法都要用到，即利用几何性质列式，利用代数运算求最值，这时不要忘了基本不等式的功能。

［例3］设[m∈R]，圆[M]：[x2+y2-2x-6y=0]，若动直线[l1]：[x+my-2-m=0]与圆[M]交于点[A]、[C]，动直线[l2]：[mx-y-2m+1=0]与圆[M]交于点[B]、[D]，则[AC+BD]的最大值是                       。

解析：[x2+y2-2x-6y=0⇒（x-1）2+（y-3）2=10]，圆心M（1，3），半径[r=10，x+my-2-m=0⇒x-2+m（y-1）=0⇒l1]过定点E（2，1），[mx-y-2m+1=0⇒m（x-2）-y+1=0⇒l2]过定点E（2，1），又[1×m+m×（-1）=0]，所以[l1⊥l2]。如图3所示，设[AC]和[BD]的中点分别为[F]、[G]，则四边形[EFMG]为矩形，设[MF=d]，[0≤d≤ME=5]，则[MG=ME2-EG2=ME2-MF2=5-d2 ]，故[AC+BD=210-d2+210-（5-d2）=2（10-d2+5+d2）][≤22（10-d2+5+d2）=230]，当且仅当[10-d2=5+d2]，即[d=102]时取等号， 故答案为[230]。

点评：利用基本不等式求最值，一是要看是否具有基本不等式的特征，即和为定值或积为定值；二是看等号是否可以取到；三要善于应用基本不等式的变形，即[ab≤a+b2≤a2+b22]（[a>0]，[b>0]），当[a=b]时等号成立。

四、利用函数思想

求与圆有关的最值问题，当建立的目标函数，无法用基本不等式求最值时，我们应想到利用函数单调性法求它的最值，有时也免不了要利用导数。

［例4］已知实数[a、b]满足[（a+2）2+（b-3）2=2]，则对任意的正实数[x]，[（x-a）2+（lnx-b）2]的最小值为                 。

解析：因为实数[a、b]满足[（a+2）2+（b-3）2=2]，故[P（a，b）]在圆[C]：[（x+2）2+（y-3）2=2]上。

而[C（-2，3）]，设[g（x）=（x+2）2+（lnx-3）2]，则[g（x）]表示[C]到曲线[y=lnx]上的点的距离的平方。又[g（x）=2×x2+2x+lnx-3x]，因为[h（x）=x2+2x+lnx-3]在（1，+∞）上为增函数，且[h（1）=0]，故当[x∈（0，1）]时，[h（x）<0]，即[g（x）<0]；当[x∈（1，+∞）]时，[h（x）>0]，即[g（x）>0]，故[g（x）]在[（0，1）]上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，故[g（x）]的最小值为[g（1）=18]，所以[C（-2，3）]到曲线[y=lnx]上的点的距离的最小值为[32]，而圆[C]的半径为[2]，故圆[C]上的点到曲线[y=lnx]上的点的距离的最小值为[22]，故[（x-a）2+（lnx-b）2]的最小值为[8]。

点评：解答本题的关键是揭示题目中代数式表示的几何意义，进而想到转化成圆心到几何对象的最值问题来处理并建立目标函数，而目标函数中含有自然对数[lnx]，就不得不用导数法来求最值，充分体现了函数思想的应用。

五、利用对称性质

如果点[A]、[B]位于直线[l]的同侧，[P]为直线[l]上的任意一点，要求[AP+BP]的最小值，那么我们只需先找到点[A]或点[B]关于直线[l]的对称点[A]或[B]，这时[AP+BP]的最小值就是线段[AB]或[BA]的长；如果点[A]、[B]位于直线[l]的同侧，[P]为直线[l]上的任意一点，则[AP-BP]的最大值就是线段[AB]或[BA]的长，此时[P]就是[AB]或[BA]与直线[l]的交点。当与圆有关的最值问题的图形中出现上述情形时，可采用这种方法求最值。

［例5］（1）已知圆[C]的方程为[（x-1）2+（y-1）2=1]，直线[l]：[（3-2t）x+（t-1）y+2t-1=0]恒过定点[A]。若一条光线从点[A]射出，经直线[x-y-5=0]上一点[M]反射后到达圆[C]上的一点[N]，则[AM+MN]的最小值为（ ）。

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

（2）已知圆[C1]：[（x-1）2+（y+1）2=1]，圆[C2：（x-4）2+（y-5）2=9]，点M、N分别是圆[C1]、圆[C2]上的动点，点[P]为[x]轴上的动点，则[PN-PM]的最大值是（ ）。

A. [35+4] B. 9 C. 7 D. [35+2]

解析：（1）圆[（x-1）2+（y-1）2=1]的圆心[C（1，1）]，半径[r=1]，直线[l]可化为[3x-y-1-t（2x-y-2）=0]，令[3x-y-1=0，2x-y-2=0，]解得[x=-1，y=-4，]所以定点[A]的坐标为[（-1，-4）]。设点[A（-1，-4）]关于直线[x-y-5=0]的对称点为[B（a，b）]，由[b+4a+1=-1，a-12-b-42-5=0，]解得[a=1，b=-6，]所以点[B]的坐标为[（1，-6）]。由线段垂直平分线的性质可知，[AM=BM]，所以[AM+MN=BM+MN≥BN≥BC-r=7-1=6  ]（当且仅当[B]、[M]、[N]、[C]四点共线时等号成立），所以[AM+MN]的最小值为6，故选A。

（2）如图5所示，圆[C1]：[（x-1）2+（y+1）2=1]的圆心为[C1（1，-1）]，半径为[1]，圆[C2]：[（x-4）2+（y-5）2=9]的圆心为[C2（4，5）]，半径为[3]。

[∵PN-PMmax=PNmax-PMmin]，又[ PNmax=PC2+3 ]，[PMmin=PC1-1]，∴[PN-PMmax=PC2+3-PC1-1=PC2-PC1+4]。

点[C2（4，5）]关于[x]轴的对称点为[C′2（4，-5）]，[PC2-PC1=PC′2-PC1≤C1C′2=（4-1）2+（-5+1）2=5]，所以[PN-PMmax=5+4=9]，故选B。

点评：到圆上的点距离的最值问题，一般都转化为到圆心的距离的最值问题，所以我们常常把圆看成一个点，于是问题就退化成了一个点与两个点的距离的最值问题，这时自然想到平面几何中的方法：利用点的对称性。

六、利用几何意义与几何性质

对于一些难度比较大的与圆有关的最值问题，我们不仅要揭示题目中给出代数式的几何意义，即以“数”化“形”，还要画出图形，在“形”中充分利用几何性质，将原问题化简，使问题的解决过程直观有效。

［例6］已知实数[x1]，[x2]，[y1]，[y2]满足：[x21+y21=3]，[x22+y22=3]，[x1x2+y1y2=32]，则[3x1+4y1-10+3x2+4y2-10]的最大值为                    。